Algebra z Geometrią Analityczną

Algebra z Geometrią Analityczną
Macierze i układy równań - zadania
1. Znaleźć wzór na n-tą potęgę macierzy:
1 1
0 1
!
λ 1
0 λ
,
!
!
cos α − sin α
sin α cos α
,
!
a 0
2. Niech A =
, gdzie a 6= b. Sprawdzić, że każda macierz B spełniająca warunek AB =
0 b
BA (mówimy wtedy, że macierze A i B komutują) jest diagonalna. Czy fakt ten pozostaje
prawdziwy bez warunku a 6= b? Czy fakt ten pozostaje prawdziwy dla macierzy kwadratowych
dowolnego stopnia?
1 2
3 4
3. Znaleźć wszystkie macierze, które komutują z macierzą
!
.
4. Kwadrat każdej z poniższych macierzy jest macierzą jednostkową (sprawdź to np. dla dwóch
ostatnich):
1 0
1 −1
!
2 −3
1 −2
,
!
2 − 43
4 −2
,
!
5 − 24
7
7 −5
!
Układając odpowiedni układ równań znaleźć wszystkie macierze X stopnia 2, takie że X 2 jest
macierzą jednostkową.
5. Każda z liczb 145, 
203,
1

znacznik macierzy  2
2
261 dzieli
 się przez 29. Nie obliczając wyznacznika udowodnić, że wy4 5

0 3  również dzieli się przez 29.
6 1
!
1 4
6. Niech A =
. Znaleźć wszystkie liczby λ, takie że równanie AX = λX, gdzie X jest
4 1
wymiaru 2 na 1, ma niezerowe rozwiązanie X. Znaleźć X dla poszczególnych wartości λ.
7. Rozwiązać równania macierzowe z niewiadomą macierzą X:
1 2
3 4
!−1
X=
1
3
!
,

−1
1 2 3


X 0 5 6 
1 1 2
=
1 1 4
3 −2 2
!
8. Wykazać, że
1
1
1
1
x1
x2
x3
x4
x21
x22
x23
x24
x31 x32 = (x2 − x1 )(x3 − x1 )(x4 − x1 )(x3 − x2 )(x4 − x2 )(x4 − x3 )
x33 x34 Uogólnić tę równość na dowolny wyznacznik Vandermonde’a
1
1
···
1
x1 x21
x2 x22
··· ···
xn x2n
· · · xn−1
1
n−1 · · · x2 · · · · · · · · · xn−1
n
9. Wykazać, że dla dowolnego n > 1 i dowolnych punktów płaszczyzny
(x1 , y1 ), · · · , (xn , yn )
takich że xi 6= xj dla i 6= j, istnieje dokładnie jeden wielomian P (x) stopnia co najwyżej n − 1,
taki że
P (xi ) = yi dla i = 1, · · · , n.
[Wskazówka. Niech P (x) = a0 + a1 x + · · · + an−1 xn−1 . Podstawienia P (xi ) = yi prowadzą do
układu n równań z niewiadomymi a0 , · · · , an−1 . Przeanalizuj wyznacznik tego układu].
10. Znaleźć wartości a, dla których spełniona jest równość |AB| + A2 = |C|, gdzie






2 2 −1
1 4 −1
1 4 −1






1 C = 2 1 1 
A= 0 a 1 B = 0 2
2 0 2
2 13 1
0 0 1
11. Zbadać istnienie rozwiązania układu
x1 − x2
x1 + x2
2x1
3x1 − x2
− x3 − x4
− 2x3 + 2x4
− 3x3 + x4
− 4x3
=
2
=
3
= a−b
= a+b
w zależności od parametrów a, b. Znaleźć rozwiązanie w tych przypadkach, gdy istnieje.
12. Dla jakich wartości parametrów a, b rząd macierzy





a
−7
−1
2

2 b
9
2 8 −6 


2 2
0 
2 −1 3
jest najmniejszy?
13. Na ile sposobów można zapakować do pudełka łyżki, noże i widelce, jeżeli pudełko ma zawierać
35 sztuk sztućców, a waga netto sztućców w pudełko ma wynosić 3,75 kg? Jedna łyżka waży 120
gramów, jeden nóż 90 gramów, a jeden widelec 70 gramów. Ile maksymalnie widelców można
zapakować do pudełka przy zachowaniu wszystkich podanych warunków?
14. W pewnej fabryce produkuje się trzy modele telewizorów kolorowych: model X, model Y i model
Z. Wyprodukowanie 1 sztuki modelu X wymaga 2 godzin pracy elektroników i 2 godzin pracy
montażystów. Wyprodukowanie 1 sztuki modelu Y wymaga 1 godziny pracy elektroników i 3
godzin pracy montażystów. Wyprodukowanie 1 sztuki modelu Z wymaga 3 godzin pracy elektroników i 2 godzin pracy montażystów. Warunki technologiczno-organizacyjne umożliwiają pracę
w wymiarze 100 godzin tygodniowo dla elektroników i 100 godzin tygodniowo dla montażystów.
Ile sztuk każdego modelu można produkować tygodniowo, aby wykorzystać cały dostępny czas?
Ile maksymalnie sztuk modelu Y można produkować tygodniowo przy zachowaniu wszystkich
podanych warunków? Czy można tak zaplanować produkcję, aby wytwarzana tygodniowo liczba
sztuk modelu Y była o 150% większa od liczby sztuk modelu X?
15. Na ile sposobów kasjerka w banku może wypłacić klientowi kwotę 1000 złotych w banknotach o
nominałach 10, 20, 50 i 100 złotych, tak aby liczba banknotów pięćdziesięciozłotowych była dwa
razy większa od liczby banknotów dziesięciozłotowych, a liczba banknotów dwudziestozłotowych
była o 5 większa od liczby banknotów pięćdziesięciozłotowych ?
P.Kajetanowicz