ANALIZA FUNKCJONALNA LISTA 2 1. Pokazać, że każdy podzbiór

ANALIZA FUNKCJONALNA
LISTA 2
1. Pokazać, że każdy podzbiór ośrodkowej przestrzeni metrycznej jest przestrzenią
ośrodkową.
2. Podzbiór Y przestrzeni metrycznej X jest ciągowo zwarty jeżeli każdy ciąg (yn )
w Y ma podciąg (ynk ), który jest zbieżny do punktu y ∈ Y . Pokazać, że
(a) każdy ciągowo zwarty podzbiór przestrzeni metrycznej jest domknięty,
(b) każdy ciągowo zwarty podbiór przestrzeni metrycznej jest ograniczony.
3. Skonstruować przynajmniej w jednej z przestrzeni metrycznych l1 , l∞ , c, c0 , c00 lub
C[a, b] ograniczony zbiór domknięty, który nie jest ciągowo zwarty.
4. Pokazać, że l1 ⊂ l2 i że ta inkluzja jest właściwa, tzn. l2 6= l1 . Uogólnić ten fakt i
pokazać, że jeżeli 1 ≤ p < q ≤ ∞, to lp ⊂ lq oraz że ta inkluzja jest właściwa.
5. Mierzalna funkcja rzeczwista lub zespolona f na przestrzeni miarowej (X, µ)
nazywa się istotnie ograniczona jezeli istnieje skończona stała c, taka że |f (x)| ≤ c
prawie wszędzie na X. Oznaczamy przez
ess sup|f |
lub
ess supx∈X |f (x)|
infimum zbioru takich stałych c. Pokazać, że przestrzeń L∞ (X, µ) funkcji istotnie
ograniczonych na zbiorze X z metryką
ρ(f, g) = ess supx∈X |f (x) − g(x)|,
gdzie identyfikujemy funkcje różniące się na zbiorze miary zero, jest przestrzenią
zupełną (podobnie jak B(S), której zupełność była pokazana na wykładzie).
Można przyjąć, że X jest podzbiorem prostej R i µ jest miarą Lebesgue’a.
6. Pokazać, że L2 [a, b] ⊂ L1 [a, b] i że ta inkluzja jest właściwa. Uogólnić ten fakt i
pokazać, że Lq [a, b] ⊂ Lp [a, b] jeżeli 1 ≤ p < q ≤ ∞ i że ta inkluzja jest właściwa.
7. Pokazać, że dla przestrzeni Xp = Lp (R) oraz Xq = Lq (R), gdzie 1 ≤ p < q ≤ ∞,
nie jest prawdą ani inkluzja Xp ⊂ Xq ani Xq ⊂ Xp .
8. Przestrzeń liniową nazywamy liniową przestrzenią metryczną jeżeli jest to przestrzeń
metryczna, w której metryka ρ spełnia nastepujący warunek ciągłości: jeżeli
αn → α, βn → β oraz xn → x, yn → y
gdzie zbieżność ciągów xn , yn jest w metryce ρ, to
αn xn + βn yn → αx + βy
w metryce ρ. Czy przestrzenie metryczne B(S), c, c0 , c00 , lp , C[a, b], Lp (X, µ) są
liniowymi przestrzeniami metrycznymi?
1
9. Czy w liniowych przestrzeniach metrycznych z poprzedniego zadania metryka ρ
pochodzi od normy, tzn istnieje norma x →k x k taka, że ρ(x, y) =k x − y k?
10. Pokazać, że w przestrzeni ciągów (rzeczywistych lub zespolonych) x = (x1 , x2 , . . .)
metryka zadana wzorem
∞
X
1 |xn − yn |
ρ(x, y) =
2n 1 + |xn − yn |
n=1
nie pochodzi od normy.
11. Który z podanych funkcjonałów na R2 jest normą?
p
(a) F (x) = 2x21 + 3x22
(b) F (x) = |x1 + x2 |
(c) F (x) = |2x1 | + |x2 |
(d) F (x) = x21 + x22
(e) F (x) = max{|x1 |, |x2 |}
(f) F (x) = max{|x1 |, x2 }
12. Niech X = C 1 [a, b] będzie przestrzenią funkcji rzeczywistych lub zespolonych,
które mają na [a, b] ciągłą pochodną. Czy funkcjonały
(a) F (f ) = supx∈[a,b] |f 0 (x)|,
(b) F (f ) = supx∈[a,b] |f (x)| + supx∈[a,b] |f 0 (x)|,
są normami na X?
13. Które z unormowanych przestrzeni metrycznych z zadania 8 są przestrzeniami
Banacha?
14. Dwie normy, x →k x k1 oraz x →k x k2 w tej samej przestrzeni liniowej X są
równoważne, jeżeli zachodzi równoważność:
lim kxnk1 = 0 ⇐⇒ lim kxnk2 = 0
n→∞
n→∞
dla dowolnego ciągu (xn ) w X. Pokazać, że dwie normy na przestrzeni liniowej
X są równoważne wtedy i tylko wtedy gdy istnieją liczby dodatnie α, β takie że
α k x k1 ≤k x k2 ≤ β k x k1
dla dowolnego x ∈ X.
15. Podać przykład przestrzeni liniowej i określonych w niej dwóch nierównoważnych
norm.
R. Lenczewski
2