7. Asymptotyczne własności estymatorów

Statystyka matematyczna (2 mie, 2014/2015)
7. Asymptotyczne własności estymatorów
Ćw. 7.1 Niech X1 , . . . , Xn będzie próbą z rozkładu wykładniczego E(θ). Pokaż, że
(
)
n
T (X1 , . . . , Xn ) = exp −
,
X1 + . . . + Xn
jest mocno zgodnym ciągiem estymatorów wielkości g(θ) = Pθ (X > 1).
Ćw. 7.2 Niech X1 , . . . , Xn będzie próbą z rozkładu Poissona P(λ). Pokaż, że
)
(
#{1 6 i 6 n : Xi > 0}
T (X1 , . . . , Xn ) = − ln 1 −
n
jest mocno zgodnym ciągiem estymatorów parametru λ.
Ćw. 7.3 Niech X1 , . . . , Xn będzie próbą z rozkładu Poissona P(λ). Sprawdź, czy średnia
z próby jest asymptotycznie efektywnym estymatorem parametru λ.
Ćw. 7.4 Niech X1 , . . . , Xn będzie próbą z rozkładu N (0, θ). Uzasadnij asymptotyczną
normalność estymatora parametru θ postaci
1∑ 2
T (X1 , . . . , Xn ) =
X .
n i=1 i
n
Czy jest on estymatorem asymptotycznie efektywnym?
Ćw. 7.5 Niech X1 , . . . , Xn będzie próbą z rozkładu Cauchy’ego C(0, θ). Zbadaj asymptotyczną normalność estymatora
1∑
1(a,∞) (Xi )
n i=1
n
T (X1 , . . . , Xn ) =
wielkości g(θ) = Pθ (X1 > a), gdzie a jest ustaloną liczbą rzeczywistą, i wyznacz
jego asymptotyczną wariancję.
Ćw. 7.6 Niech X1 , . . . ,√
Xn będzie próbą z rozkładu Poissona P(λ). Uzasadnij, że zmi√
√
enna losowa 2 n( X̄n − λ) ma w przybliżeniu (dla dużych n) rozkład normalny
standardowy.
Statystyka matematyczna (2 mie, 2014/2015)
7. Asymptotyczne własności estymatorów.
Zadania do samodzielnego rozwiązania
Zad. 7.1 Niech X1 , . . . , Xn będzie próbą z rozkładu wykładniczego E(θ). Pokaż, że
n
∑
1
T (X1 , . . . , Xn ) = 2n
Xi2 jest mocno zgodnym ciągiem estymatorów wariancji
rozkładu E(θ).
i=1
Zad. 7.2 Niech X1 , X2 , . . . , Xn będzie próbą z rozkładu Poissona P(λ). Zbadaj, dla
jakich wartości a ∈ R \ N
∑
n + nk=1 1{2} (Xk )
T (X1 , . . . , Xn ) =
n−a
jest mocno zgodnym ciągiem estymatorów wielkości g(λ) = 1 + Pλ (X = 2)?
Zad. 7.3 Niech X1 , . . . , Xn będzie próbą z rozkładu N (θ, σ 2 ). Sprawdź, czy średnia z
próby jest asymptotycznie efektywnym estymatorem parametru θ.
Zad. 7.4 Niech X1 , . . . , Xn będzie próbą z rozkładu N (θ, 1). Pokaż, że estymator
1∑
T (X1 , . . . , Xn ) =
1(−∞,a] (Xi ),
n i=1
n
a∈R
wielkości g(θ) = Pθ (X1 6 a), gdzie a jest ustaloną liczbą rzeczywistą, jest asymptotycznie normalny i wyznacz jego asymptotyczną wariancję.
Zad. 7.5 Niech X1 , . . . , Xn będzie próbą z rozkładu wykładniczego E(θ). Uzasadnij, że
estymator wielkości g(θ) = e−θ postaci
(
)
1
T (X1 , . . . , Tn ) = exp −
X̄n
jest asymptotycznie normalny i wyznacz jego asymptotyczną wariancję.
Zad. 7.6 Niech X1 , . . . , Xn będzie próbą z rozkładu zero-jedynkowego z parametrem p.
Pokaż, że estymator
n
∑
Xi + 3
i=1
T (X1 , . . . , Xn ) =
n+5
parametru p jest asymptotycznie normalny i wyznacz jego asymptotyczną wariancję.