Asymptotyczna normalnośc i asymptotyczna efektywność
Transkrypt
Asymptotyczna normalnośc i asymptotyczna efektywność
Asymptotyczna normalnośc i asymptotyczna efektywność estymatorów Definicja 1. Estymator ĝ(X1 , . . . , Xn ) wielkości g(θ) jest asymptotycznie normalny, jeżeli √ ∀θ∈Θ ∃σ2 (θ) n(ĝ(X1 , . . . , Xn ) − g(θ)) −→d N (0, σ 2 (θ)), n −→ ∞, 2 tzn. rozkład statystyki ĝ(X1 , . . . , Xn ) jest (dla dużych n) zbliżony do rozkładu N (g(θ), σ n(θ) ). 2 2 Ozn. ĝ(X) ∼ AN (g(θ), σ n(θ) ). Wielkość σ n(θ) nazywamy asymptotyczną wariancją estymatora ĝ(X1 , . . . , Xn ). √ Twierdzenie (Metoda delta) Jeżeli dla ciągu zmiennych Tn mamy n(Tn − µ) −→d N (0, σ 2 ) przy n −→ ∞ i h : R −→ R jest funkcją różniczkowalną w punkcie µ, to √ n (h(Tn ) − h(µ)) −→d N (0, σ 2 · (h0 (µ)2 ). Definicja 2. Jeżeli ĝ jest asymptotycznie normalnym estymatorem g(θ). Wówczas asymptotyczną efektywność estymatora określamy jako as.ef(ĝ) = (g 0 (θ))2 n (g 0 (θ))2 = . σ 2 (θ)In (θ) σ 2 (θ)I1 (θ) Jest to modyfikacja ’zwykłej’ efektywności: rolę wariancji estymatora nieobciążonego przejęła asymptotyczna wariancja estymatora normalnego. Definicja 3. Estymator ĝ nazywamy asymptotycznie efektywnym, jeżeli ∀θ∈Θ as.ef(ĝ) = 1. 1