Rachunek wektorowy

Podstawy elektromagnetyzmu
Wykład 1
Rachunek wektorowy
Co to jest ,,pole”?
Matematyka:
odwzorowanie Rn →Rm które przypisuje każdemu punktowi
wartość (skalarną lub wektorową).
Fizyka:
Własność przestrzeni – oddziaływanie (obserwowane w
postaci sił działających na obiekty)
W tym kursie:
“Pole” oznacza własność lub przestrzeń w której ta
własność jest obserwowana lub funkcję która opisuje tę
własność.
PEM, Wykład 1, Slajd 2
Rachunek wektorowy
Rachunek wektorowy (lub analiza wektorowa) to gałąź
matematyki poświęcona operacjom (różniczkowym i
całkowym) na polach wektorowych, przede wszystkim w
trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej R3
Wektor (euklidesowy) to obiekt geometryczny, który posiada
długość (amplitudę) i kierunek.
Wektory to podstawa
w naukach technicznych!
PEM, Wykład 1, Slajd 3
Dlaczego używamy wektorów!
Przy zmianach układu współrzędnych wektory
zachowują się tak samo, jak punkty.
Dlatego opis pola za pomocą wektorów jest taki
sam we wszystkich układach współrzędnych.
Wektory są wygodne!
[Fizyka] Zasada niezmienniczości: jej idea polega na tym, że współrzędne
(układy współrzędnych) nie istnieją w naturze a priori, a są jedynie narzędziem
opisu natury I jako takie nie powinny odgrywać roli w fundamentalnych prawach
fizyki.
PEM, Wykład 1, Slajd 4
Układ współrzędnych
Układ współrzędnych to system, który używa wartości liczbowych do
jednoznacznego określenia położenia punktów.
Z wykorzystaniem UW jesteśmy w stanie przekształcić problemy sformułowane w
kategoriach geometrii w problemy opisane za pomocą liczb (które można
rozwiązać przez obliczenia).
y
2.65
P(3.33,2.65)
3.33
x
Wektory pozwalają wygodnie i ogólnie opisać generalne
zachowanie się pól, ale inżynier potrzebuje liczb, aby ilościowo
opisać zjawiska, obliczać, przewidywać i projektować...
PEM, Wykład 1, Slajd 5
Kartezjański UW
Wybieramy trzy prostopadłe płaszczyzny
i mierzymy odległości od tych płaszczyzn.
Odległości są dodatnie lub ujemne w
zależności od strony, po której punkt się
znajduje.
x – odległość od płaszczyzny yz
y – odległość od płaszczyzny xz
z – odległość od płaszczyzny xy
PEM, Wykład 1, Slajd 6
Cylindyczny UW
Wybieramy
oś
odniesienia
(linię)
płaszczyznę prostopadłą do oo i
kierunek odniesienia prostopadły do oo.
r – promień – odległość od oo
φ
–
kąt
pomiędzy
kierunkiem
odniesienia i rzutem prostokątnym OP
na płaszczyznę.
 z – odległość od płaszczyzny (ujemna
lub dodatnia)

PEM, Wykład 1, Slajd 7
Sferyczny UW
Wybieramy oś, płaszczyznę i kierunek,
jak w cylindryczny UW.
r – promień jak w cylindrycznym.
 θ – szerokość to kąt pomiędzy OP i
osią.
φ
– długość tak samo, jak w
cylindrycznym UW.

PEM, Wykład 1, Slajd 8
Przekształcenia
Kartezjański
(x,y,z)
Kartezjański
(x,y,z)
Sferyczny
(r,θ,φ)
=  x  y
=arctan  y / x
z=z
2

Cylindryczny
(ρ,φ,z)
Sferyczny
(r,θ,φ)
Cylindryczny
(ρ,φ,z)
2
=  2 z2
=arctan  / z
=arctan  y / x 
x = cos


r=  x 2  y 2 z2
=arccos  z /r 
=
y = sin 
z=z
x=r sin  cos
=r sin 
y=r sin sin 
z=r cos
=
z=r cos teta
To nie wszystko! Więcej na następnej stronie ....
PEM, Wykład 1, Slajd 9
Przekształcenia wersorów
Kartezjański
(x,y,z)
x
y
1 = 1 x  1 y


y
z
1 =− 1 x  1 y


1 z =1 z
Kartezjański
1x , 1 y , 1z
Cylindryczny
(ρ,φ,z)

Cylindryczny 1 =cos1  −sin 1
x
1 ,1 , 1 z  1 y =sin  1 cos 1
1 z =1 z
Sferyczny
Sferyczny
(r,θ,φ)
x 1 x  y 1 y z 1 z
r
x z 1 x  y z 1 y −2 1 z
1 =
r
− y 1x x 1 y
1 =

z

1r = 1   1 z
r
r
z

1 = 1 − 1 z
r
r
1 =1
1r =
1 x=sin  cos1 r cos  cos1 −sin  1
1r ,1 , 1 1 y =sin sin 1 r cos cos1  cos 1
1 z =cos 1r −sin 1 
To jeszcze nie koniec.... ale musimy poczekać na więcej.
PEM, Wykład 1, Slajd 10
1 =sin 1 r cos 1
1 =1
1 z =cos 1r −sin 1 
Reprezenatacja wektorów
Wektory zachowują się jak punkty i dlatego też są tak
samo reprezentowane w UW.
y
Z
P(3.33,2.65)
2.65
v=[3.33,2.65]
3.33
v=[0,0,5.3]
x
A
PEM, Wykład 1, Slajd 11
Podstawowe operacja na
wektorach
Mnożenie przez skalar
Iloczyn skalara (pola skalarnego) i wektora (pola wektorowego),
to wektor (pole wektorowe):
w=av
v
Suma (różnica)
Dodając lub odejmując wektory (pola wektorowe),
otrzymujemy wektor (pole wektorowe):
w=v+u
v
u
w=v + u
PEM, Wykład 1, Slajd 12
Iloczyn skalarny
Iloczyn dwóch wektorów (pól wektorowych), dający w wyniku skalar
(pole skalarne):
v
s = v ∙ u = |v||u| cos θ
Własności:
Iloczyn skalarny jest przemienny:
v∙u=u∙v
jest też rozdzielny względem sumy
(różnicy) wektorów:
u
θ
θ
s
o
c
|v|
Przy pomocy współrzędnych:
w∙(v+u)=w∙u+w∙v
v = [ vi, vj, vk ], w = [ wi, wj, wk ]
v ∙ u = viwi+vjwj+vkwk
PEM, Wykład 1, Slajd 13
Iloczyn wektorowy
Iloczyn dwóch wektorów (pól wektorowych), dający w wyniku wektorr
(pole wektorowe):
v×u
w = v × u = |v||u| sin θ 1n
Własności:
Iloczyn wektorowy jest antyprzemienny:
v×u=-u×v
jest też rozdzielny względem dodawania:
w×(v+u)=w×u+w×v
u
|
v×u|
θ
v
Używając współrzędnych:
v = [ vi, vj, vk ], w = [ wi, wj, wk ]
[
i
j k
v × u = det v i v j v k
wi w j wk
PEM, Wykład 1, Slajd 14
]
Nabla – specjalny „wektor”
Wygodna notacja dla trzech operacji różniczkowych stosowanych w
rachunku wektorowym:
[
∇=
∂ ∂ ∂
,
,
∂x ∂y ∂z
]
Reprezentowany
przez symbol
odwróconego
trójkąta
Co to jest pochodna cząstkowa?
f(x,y,z)=2xy+sin y + y e- z
∂f
=2 y
∂x
∂f
=2 x +cos y+e−z
∂y
∂f
=− y e−z
∂z
PEM, Wykład 1, Slajd 15
Gradient
Gradient skalarnego pola f to pole wektorowe wskazujące
kierunek najszybszego wzrostu f.
[
∇ f  x , y , z=
∂f ∂f ∂f
,
,
∂x ∂y ∂z
f  x , y = x 2  y 2
∇ f x , y = [ 2 x , 2 y ]
PEM, Wykład 1, Slajd 16
]
Gradient – przykład
Pole dipola (+q,-q): powierzchnia 3D, linie ekwipotencjalne i kierunek
gradiantu.
(Example from http://www.gnuplot.info/demo/vector.html)
PEM, Wykład 1, Slajd 17
Całka liniowa pola wektorowego
b
∫L u r ⋅d r=∫a u r t ⋅r ' t dt
gdzie
r :[a ,b] L to parametryczny opis L
|dr|
u
ur
∫L ur ⋅d r≈∑i  Liur i
PEM, Wykład 1, Slajd 18
2
1
3
...
i
...
Całka liniowa gradientu
∫L ∇ f⋅d r=f e−f b
e
L
b
PEM, Wykład 1, Slajd 19
Stosujemy to twierdzenie całkując u wzdłuż linii.
Jeśli u jest gradientem jakiejś funkcji skalarnej
to całka nie zależy od wyboru L.
Strumień pola wektorowego
=∬S u⋅ndS
un
n
PEM, Wykład 1, Slajd 20
u
Dywergencja
Dywergencja wektorowego pola u to pole skalarne, określające
źródło (lub anty-źródło) u w danym punkcie.
∇⋅u=lim r  0
∯S r  u⋅n dS
∣V r ∣
u= [ u x  x , y , z , u y x , y , z ,u z x , y , z ]
∂ u x  x , y , z ∂ u y  x , y , z  ∂ u z  x , y , z 
∇⋅u=


∂x
∂y
∂z
2
∇⋅u=x  y
[
x 3 y2
u=
,
3 2
PEM, Wykład 1, Slajd 21
]
Twiedzenie Gaussa
(Ostrogradzkiego, Gaussa-Ostrogradzkiego)
∭V ∇⋅u dV =∯∂V u⋅n dS
Całka objętościowa z dywergencji wektorowego pola u jest równa
strumieniowi u przez powierzchnię ograniczającą tę objętość.
n
S
n
V
n
PEM, Wykład 1, Slajd 22
n
Rotacja
Rotacja wektorowego pola u to pole wektorowe, które
określa wirowość u w wybranym punkcie.
∇ ×u=lim r 0
∯S r n×u dS
∣V r ∣
u= [ u x  x , y , z , u y x , y , z ,u z x , y , z ]
∣
1x
∇ ×u= ∂
∂x
ux
1y
∂
∂y
uy
[
]
y 3 x2
u=
, ,0
3 2
1z
∂
∂z
uz
∇ ×u= [ 0, 0, x− y 2 ]
PEM, Wykład 1, Slajd 23
∣
Interpretacja rotacji
[
y 3 x2
u=
, ,0
3 2
]
∇ ×u= [ 0, 0, x− y 2 ]
PEM, Wykład 1, Slajd 24
Twierdzenie Stokesa
Dokładnie: Kelvina-Stokesa (specjalny przypadek ogólniejszego tw. Stokesa).
∬S ∇ ×u dS=∮∂ S u d r
Strumien rotacji wektorowego pola u przez określoną powierzchnię jest
równa cyrkulacji u wzdłuż brzegu (zamkniętego) tej powierzchni.
u
dS
S
∂S
PEM, Wykład 1, Slajd 25
Twierdzenie Greena
Zastanówmy się nad rotacją 2D wektora, opisanego w 3D jako u=[ L, M, 0 ]:

∇ ×u=
 
 

∂0 ∂M
∂ L ∂0
∂M ∂L
−
i
−
j
−
k
∂ y ∂z
∂z ∂x
∂x ∂ y
Obliczmy strumień rotacji tego pola przez pow. 2D dS=[dx×dy]:
∬s ∇ ×u d S=∬s ∇×u⋅k dS=∬S
Zgodnie z tw. Stokesa:
∬S



∂M ∂L
−
dS
∂x ∂ y
∬S ∇ ×u dS=∮∂ S u d r

∂M ∂L
−
dS=∮∂ S u⋅d r=∮∂ S [ L , M ,0]⋅[dx ,dy , dz ]=∮∂ S  L dx M dy 
∂x ∂ y
Twierdzenie Greena:
PEM, Wykład 1, Slajd 26
∮∂ S  L dxM dy =∬S


∂M ∂L
−
dS
∂x ∂ y
Pochodne drugiego stopnia
Ogólnie – matematyka daje nam szereg możliwości:
Dla skalara:
∇⋅∇ f
oraz
∇ ×∇ f ≡0
oraz
∇ ×∇×u
Dla wektora:
∇ ∇⋅u
oraz
∇⋅∇ ×u≡0
Najważniejszy z naszego p. widzenia jest laplasjan:
 f =∇⋅∇ f =∇ 2 f
Który dla pola wektorowego możemy zdefiniować jako:
∇ 2 u=∇ ∇⋅u−∇ ×∇×u
PEM, Wykład 1, Slajd 27
Własności
Rotacja gradientu jest zawsze polem zerowym:
∇ ×∇ f ≡0
Pozwala to wyrazić każde pole bezwirowe przez pole skalarne.
Dywergencja każdej rotacji jest polem zerowym:
∇⋅∇ ×u≡0
Pozwala to wyrazić bezźródłowe pole wektorowe za pomocą innego
wektora.
PEM, Wykład 1, Slajd 28
Pole zachowawcze (potencjalne)
Pole wektorowe u jest potencjalne, jeśli jest gradientem pola
skalarnego:
u=∇ f
Jak pokazaliśmy wcześniej, rotacja takiego pola musi być zere:
∇ ×u≡0
e
L
Z tw. Stokesa wynika, że:
∮∂ S u d r=∬S ∇×u dS=0
∮C u d r=∮C ∇ f d r=0
b
L'
∫L ∇ f⋅d r =f  e−f  b
∫L' ∇ f⋅d r=f e−f  b
PEM, Wykład 1, Slajd 29
Pole solenoidalne
Pole wektorowe u nazywamy solenoidalnym (bezźródłowym)
jeśli jego dywergencja jest zerem:
∇⋅u=0
Jak pokazano wcześniej pole solenoidalne możemy wyrazić za pomocą
rotacji innego pola wektorowego:
∇⋅∇ ×w≡0

u=∇ ×w
Z twierdzenia Gaussa wynika, że strumień pola solenoidalnego przez
dowolną powierzchnię zamkniętą jest zerem:
∯∂ V u d S=∭V ∇⋅u dV =0
PEM, Wykład 1, Slajd 30
Pseudowektor
Wcześniej powiedzieliśmy, że przy przekształceniach układów
współrzędnych wektory zachowują się jak punktu. Jednak przy
Odbiciu lustrzanym pola mogą zachowywać się różnie:
Pole elektryczne E od dodatniego ład. q.
E jest wektorem.
PEM, Wykład 1, Slajd 31
Pole magnetyczne B od pojedynczego przew .
B jest pseudowektorem.
Tensor
Tensory można zrozumieć jako następny element w szeregu:
skalar, wektor, …
W ogólności należy je rozumieć jako wielowymiarowe tablice
funkcji.
[
t xx t xy
T=
t yx t yy
]
W teorii pola mają wiele zastosowań, ale my będziemy ich
używać przede wszystkim do opisu nietrywialnych materiałów.
PEM, Wykład 1, Slajd 32