Całka Fouriera - Katedra Systemów Przetwarzania Sygnałów

PWR ITA
Zakład Teorii Obwodów
Całka Fouriera
Opracował
Dr Czesław Michalik
1
.
1 − ω + 2 jω
Wyznaczyć amplitudową i fazową oraz rzeczywistą i urojoną charakterystykę widmową.
1

1
dla
t
<

2.
Zad. 2. Impuls prostokątny określony jest następująco: Π (t ) = 
1
0
dla
t >

2
Wyznaczyć widmo amplitudowe tego impulsu.
Zad. 3 Impuls trójkątny określony jest następująco:
Zad. 1. Znana jest funkcja widmowa układu H ( jω ) =
1 − t
Λ (t ) = 
0
2
t <1
dla
t >1
dla
.
Wyznaczyć widmo amplitudowe tego impulsu.
Pokazać, że Λ (t ) = Π (t ) * Π (t ) , gdzie * oznacza splot funkcji.
t −4
t −4
Zad. 4 Narysować impulsy Π 
 ,Λ
 i wyznaczyć ich transformaty Fouriera
 8 
 8 
wykorzystując podstawowe właściwości przekształcenia.
Zad. 5 Wyznaczyć transformaty Fouriera poniższych funkcji.
1
a)
−π
f(t)
b)
1
f(t)
t
fragment funkcji sin(t)
π
fragment funkcji cos(t)
−π/2
-1
f(t)
c)
t
π/2
f(t)
d)
10
5
10
t
-10 -8
-6
6
8
10
t
π
-10
-8 -6
6
8
10
π
Zad. 6 Wykorzystując podstawowe właściwości transformaty Fouriera wyznaczyć transformaty
funkcji:
−2 t
f (t ) = 10e ,
a)
b)
f (t ) = Ae − at 1(t ), (a > 0) ,
c)
f (t ) = te− at 1(t ), (a > 0) ,
d) f (t ) = sin(t ) [1(t ) − 1(t − 2nπ ) ] , n − liczba naturalna .
Zad. 7 Wyznaczyć H ( jω ) =
U wyj
U wej
, następnie charakterystykę amplitudową H ( jω ) i fazową
{arg{H(jω)} układu narysowanego poniżej. Dane: C = 1 F, R = 1 Ω, β = -2.
1
PWR ITA
Zakład Teorii Obwodów
C
β
R
C
Uwyj
R
Uwej
Zad. 8 Dla układu przedstawionego poniżej wyznaczyć funkcję transmitancji T ( jω ) =
2R
U 2 ( jω )
.
U1 ( jω )
2R
-
IWO
+
U1
C
U2
R
IWO - idealny wzm. operacyjny
Zad. 9 Obliczyć widmo amplitudowe sygnału r(t).
R
L
p(t)
p(t) = e(t)
r(t) = u(t)
1
C
t
C = 2 F, L = 1 2 H, R =1 Ω
1
Zad. 10 Sygnał p(t ) = 2e− t 1(t ) został podany na wejście idealnego filtru dolnoprzepustowego
(rys. poniżej):
p(t)
r(t)
H(jω)
1⋅ e− jω t0
H ( jω ) = 
0
dla
dla
ω < 1,
ω > 1.
t0 - parametr
Wyznaczyć energię sygnału na wejściu i wyjściu filtru.
Zad. 10 Dany jest sygnał f ( t ) = e
−a t
. Określić szerokość zajmowanego przez ten sygnał pasma, w
którym zawarte jest 99% energii sygnału.
Zad. 11 Czy istnieje układ o charakterystyce widmowej H ( jω ) =
a
, a > 0.
ω + b2
2
Odpowiedź uzasadnić.
Rozwiązanie
Ad. 1
Charakterystyka amplitudowa: A(ω ) = H ( jω ) =
2
1
(1 − ω ) + ( 2ω )
2 2
2
=
1
.
1+ ω 2
PWR ITA
Zakład Teorii Obwodów
π
 ω 2 −1  
Charakterystyka fazowa : arg { H ( jω )} = −  sign(ω ) + arctan 
 .
2
2
ω



1−ω 2
.
Rzeczywista charakterystyka widmowa : V ( jω ) = Re { H ( jω )} = 4
ω + 2ω 2 + 1
−2ω
Urojona charakterystyka widmowa : X ( jω ) = Im { H ( jω )} = 4
.
ω + 2ω 2 + 1
Ad. 2
Metodą różniczkowania otrzymujemy następującą transformatę Fouriera impulsu prostokątnego
ω 
Π (t ) ↔ Sa   (rys. poniżej).
2
Π(t) ↔ F( jω )
1
t
−
1
2
1
2
Π '(t ) ↔ jω F ( jω ) = e
⇒ F ( jω ) =
e
j
ω
2
δ (t + 12 )
−
−e
jω
−j
t
1
2
−δ (t − )
1
2
ω
2
j
ω
2
−e
−j
ω
2
⇒
ω 
sin  
2
ω 

=
= Sa  
ω
2
2
1
2
ω 
Widmo amplitudowe F ( jω ) = Sa   przedstawiono poniżej.
2
ω 

2
Sa 
Ad. 3
Transformatę Fouriera Λ(t) można wyznaczyć
Kolejne operacje przedstawiono na rysunku poniżej.
3
stosując
metodę
różniczkowania.
PWR ITA
Zakład Teorii Obwodów
Λ(t) ↔ F( jω )
1
t
-1
1
−j
ω  j
Λ '(t ) ↔ jω F ( jω ) = Sa    e 2 − e 2
 2 
ω
 1
Πt + 
 2
ω 
⇒ F ( jω ) = Sa 2  
2
1
t
-1
1
 1
Πt − 
 2
-1
ω 
Widmo amplitudowe F ( jω ) = Sa 2   przedstawiono poniżej.
2
ω 
Sa 2  
2
Wiadomo, że F{ f1 (t ) ∗ f 2 (t )} = F1 ( jω ) F2 ( jω ) , ponieważ
ω 
ω 
ω 
F{Π (t )} = Sa   , a F{Λ (t )} = Sa   ⋅ Sa   ,
2
2
2
z tego wynika, że Λ (t ) = Π (t ) ∗ Π (t ).
Ad. 4
t −4
 ω  − j 4ω
Π
= 8Sa ( 4ω ) e − j 4ω
 ↔ 8Sa  8  e
 8 
2 
1
t
0
4
8
4
ω

⇒

PWR ITA
Zakład Teorii Obwodów
1
t −4
2  ω  − j 4ω
Λ
= 8Sa 2 ( 4ω ) e− j 4ω
 ↔ 8Sa  8  e
 8 
2 
t
-4
0
4
12
Wykorzystano następujące właściwości transformaty Fouriera:
f (t ) ↔ F ( jω ),
f (t − t0 ) ↔ F ( jω )e − jω t0 ,
f (at ) ↔
1  ω
F  j .
a  a
Ad. 5
a)
f (t) ↔ F( jω)
f '(t ) ↔ jωF( jω)
f ''(t )
δ(t-π)
-δ(t+π)
f ''(t ) ↔ −ω 2 F ( jω ) = − F ( jω ) + e − jωπ − e jωπ ⇒
⇒ F ( jω ) =
2sin (ωπ )
e− jωπ − e jωπ
=j
2
1−ω
(ω 2 −1)
b)
f (t) ↔ F( jω )
f '(t ) ↔ jωF( jω)
5
PWR ITA
Zakład Teorii Obwodów
−δ (t + π2 )
δ (t + π2 )
f(t)''
f ''(t ) ↔ −ω 2 F ( jω ) = − F ( jω ) + e
⇒ F ( jω ) =
e
jω π2
+e
1−ω 2
−
jω π2
=
jω π2
+e
− jω π2
2cos ( ωπ2 )
⇒
1−ω 2
c)
 t +8
 t −8
 t +8
 t − 8 
f (t ) = 5  Π 
+Π
 + Λ
 + Λ
 ↔
 4 
 2 
 2 
  4 


 ω
 ω
↔ 5  4 Sa  4  ( e j 8ω + e − j 8ω ) + 2 Sa 2  2  ( e j 8ω + e − j 8ω )  = 20 cos ( 8ω ) ( 2 Sa ( 2ω ) + Sa 2 (ω ) )
 2
 2


d)
  t +8
 t −8
 t +8
 t − 8 
f (t ) = 10  Π 
+ Π
− Λ
 − Λ
 ↔
 4 
 2 
 2 
  4 


 ω
 ω
↔ 10  4 Sa  4  ( e j 8ω + e − j 8ω ) − 2Sa 2  2  ( e j 8ω + e − j 8ω )  = 40 cos ( 8ω ) ( 2 Sa ( 2ω ) − Sa 2 (ω ) )
2
2






Ad. 6
a)




1
1
1
1
−2 t
f (t ) = 10e = 10 ( e 2t 1(−t ) + e −2t 1(t ) ) ↔ 10 
+
ω 2
ω
 2 1− j
1+ j 

2
2
 1
1 
40
= 10 
+
=
2
 2 − jω 2 + jω  4 + ω
Wykorzystano następujące właściwości transformaty Fouriera (jeśli f (t ) ↔ F ( jω ) ):
1  ω
1
F{ f (−t )} = F (−ω ), F{ f (at )} = F  j  ,
F{e−α t 1(t )} =
a  a
α + jω
A
,
α + jω
d
d
1
1
c) f (t ) = te − at 1(t ) ↔ j
F ( jω ) = j
=
,
dω
dω α + jω (α + jω )2
b) f (t ) = Ae − at 1(t ) ↔
wykorzystano właściwość transformaty Fouriera: F{tf (t )} = j
6
d
F ( jω ) .
dω
PWR ITA
Zakład Teorii Obwodów
d)
f (t ) = sin(t ) [1(t ) − 1(t − 2nπ ) ] ⇒
f '(t ) = cos(t ) [1(t ) − 1(t − 2nπ ) ] + sin(t ) [δ (t ) − δ (t − 2nπ )] = cos(t ) [1(t ) − 1(t − 2nπ ) ] ⇒ ,
f ''(t ) = − sin(t ) [1(t ) − 1(t − 2nπ ) ] + cos(t ) [δ (t ) − δ (t − 2nπ ) ] = − f (t ) + δ (t ) − δ (t − 2nπ )
ponieważ
f (t ) ↔ F ( jω ) ⇒ f ''(t ) ↔ −ω 2 F ( jω ) = − F (ω ) + 1 − e − jω 2 nπ ⇒


− j  ω nπ −  sin (ω nπ )
e
−e
(
)
1 − e − jω 2 nπ e
− jω nπ sin (ω nπ )
2

⇒ F (ω ) =
=
= 2 je
= 2e
1−ω 2
1−ω 2
1−ω 2
1−ω 2
Widmo amplitudowe tego sygnału np. dla n = 5 przedstawiono poniżej:
− jω nπ
jω nπ
− jω nπ
π
F ( jω ) = 2
sin(5ωπ )
1−ω 2
Ad. 7
Aby wyznaczyć H ( jω ) badanego układu zastosujemy metodę napięć węzłowych.
C
C
R
Uwej
VA
βVB
R
VB
Uwyj=βVB
Równania wynikające z metody napięć węzłowych są następujące:
1
1

1)
 + 2 sC  VA − U wej − sCVB − sCU wyj = 0,
R
R

2)
3)
1

− sCVA +  + sC  VB = 0,
R

U wyj = β VB .
Rozwiązując ten układ równań otrzymamy:
U wyj
U wej
=
β CRs
−2 s
.
= 2
2
C R (1 − β ) s + 3CRs + 1 3s + 3s + 1
2
2
−2 jω
= A(ω )e jϕ (ω ) ,
2
1 − 3ω + 3 jω
2ω
gdzie A(ω ) =
(charakterystyka amplitudowa),
9ω 4 + 3ω 2 + 1
H ( jω ) = H ( s ) s = jω =
7
PWR ITA
Zakład Teorii Obwodów
A(ω)
π
 3ω 
sign ω ( 3ω 2 − 1) + arctan  2 
2
 3ω − 1 
π
a
(wykorzystano zależność arg {a + jb} = sign(b) − arctan   )
2
b
Ad. 8
Zastosujmy metodę ‘hop-hop’. Metoda ta polega na tym, że układamy tylko równania
wynikające z I i II prawa Kirchhoffa oraz prawa Ohma, zakładając, że IWO ma następujące
właściwości:
1. U + − U − = 0 (różnica napięć na wejściu + i – jest równa zero; zwierać tych węzłów jednak nie
wolno),
2. prądy wpływające do wejścia + i – są równe zeru.
(
ϕ (ω ) =
)
I1
2R
I1
2R
IWO
+
C
U1
I2
U2
R
I2
IWO - i deal ny wzm . operacyj ny
Można ułożyć, zatem następujące równania (liczba równań musi być równa liczbie niewiadomych
– U1 jest znaną wielkością):
1.
2.
1 

U1 ( s ) =  R +
 I2 ,
sC 

U 2 ( s ) = − I1 2 R + I 2 R
I1 2 R =
1
I2.
sC
U
1 − sRC
Rozwiązując ten układ otrzymuje się: 2 = H ( s ) = −
.
U1
1 + sRC
Charakterystyka amplitudowa:
3.
A(ω ) = H ( s ) s = jω =
1+ ω 2
1+ ω 2
= 1 - układ wszechprzepustowy.
Charakterystyka fazowa:
π
 C 2 R 2ω 2 − 1  
ϕ ( w) = −  sign(ω ) + arctan 
 .
2
2
CR
ω



8
PWR ITA
Zakład Teorii Obwodów
Ad. 9
R
ω  j
e(t ) = Π ( t − 12 ) ↔ E ( jω ) = Sa   e 2
2
L
ω
U(jω)
E(jω)
ω 
E ( jω ) = Sa  
2
1
C
C = 2 F, L = 1 2 H, R =1 Ω
1
t
Transmitancja układu wynosi
1
1
U ( jω )
1 − ω 2 − j 2ω
1
jω C
jω 2
=
=
=
=
e jϕ ( w) ,
4
4
1
1
1+ ω
E ( jω ) R + jω L +
ω +1
1 + jω 12 +
:
jω C
jω 2
π
 2 (ω 2 − 1)  


 .
ϕ (ω ) = −
sign(ω ) + arctan


2
2ω



1
Charakterystyka amplitudowa : A(ω ) =
.
ω 4 +1
Widmo amplitudowe sygnału u(t) opisane jest następującą zależnością:
1
ω 
U (ω ) =
Sa   .
ω 4 +1  2 
Ad. 10
Energia sygnału na wejściu filtru:
1. Z definicji : Ewej = ∫
∞
−∞
2. Z tw. Parsevala :
f (t )dt = 4 ∫
2
∞
0
1

e dt = 4  e−2t  = 2 .
 −2
0
∞
−2 t
f (t ) ↔ P ( jω ) =
3. ⇒ Ewej =
=
1
2π
∫
∞
−∞
2
⇒
1 + jω
2
∞
4
arctan (ω ) 
−∞
2π
Energia sygnału na wyjściu filtru :
1. Z tw. Parsevala:
1
Ewyj =
2π
∫
∞
−∞
1 ∞ 4
dω =
2π ∫−∞ 1 + ω 2
2 π π 
=  +  = 2.
π 2 2
P ( jω ) dω =
R( jω ) dω =
∫
4
dω =
1+ ω 2
1
4
2 π π 
=
arctan (ω )  =  +  = 1.
−1
2π
π 4 4
2
9
1
2π
1
−1
PWR ITA
Zakład Teorii Obwodów
Ad. 11
Energia sygnału: Es = ∫
f 2 (t )dt = 2∫ e −2 at dt =
1
.
−∞
0
a
Aby określić szerokość zajmowanego przez ten sygnał pasma należy skorzystać z tw. Parsevala,
2a
najpierw wyznaczając transformatę Fouriera sygnału f(t) (patrz zad. a)
.
f (t ) ↔ F ( jω ) = 2
ω + a2
Zatem należy rozwiązać następujące równanie całkowe:
99
99
1 ωg
4a 2
Es =
=
dω .
100
100a 2π ∫−ω g (ω 2 + a 2 )2
Wykorzystując
∞
zależność:
∞
∫
1
( x2 + a2 )
2
x
arctan  
x
a ,
dx = 2 2
+
3
2
2a
2a ( x + a )
równanie
całkowe
przekształca się do równania:
 ωg
200 (ω g2 + a 2 ) arctan 
 a

2
2
 − 99πω g + 200aω g − 99π a = 0 .

ω
Dzieląc obydwie strony równania przez a2 i podstawiając x = g otrzymuje się równanie:
a
2
2
200 ( x + 1) arctan ( x ) − 99π x + 200 x − 99π = 0 .
Aby otrzymać rozwiązanie tego równania należy skorzystać z jednej z metod numerycznych, np.
ω
metody Newtona, otrzymamy x = g ≈ 3.372250562 . Czyli ω g ≈ 3.37a .
a
Ad. 11
Skorzystajmy z podstawowego warunku realizowalności
∞
∞
a
a cos (ω t )
a
1
jω t
ω
=
F{ H ( jω )} =
e
d
dω = e − b t (całka wzięta z tablic).
2
2
2
2
∫
∫
2π −∞ ω + b
π 0 ω +b
2b
Z powyższej zależności widać, że h(t ) ≠ 0 dla t < 0 (czyli układ odpowiada wcześniej niż
przyłożone pobudzenie δ (t ) ), zatem podstawowy warunek realizowalności nie jest spełniony. Nie
istnieje taki układ SLS, którego charakterystyka widmowa mogłaby być opisana zależnością
H ( jω ) . Przepisując H ( jω ) w innej postaci i podstawiając jω = s otrzymujemy
a
.
H (s) =
( b + s )( b − s )
Ta postać wyjaśnia, że H ( jω ) nie może być charakterystyką widmową układu realizowanego, gdyż
jest to układ niestabilny w sensie BIBO (jeden z biegunów H(s) leży w prawej półpłaszczyźnie).
DODATEK
(poruszane problemy wykraczają poza zakres materiału)
Stabilność układów SLS. Stabilność w sensie BIBO
Stabilność układów stanowi ważny problem teoretyczny i praktyczny. Dotyczy on zarówno
układów do przetwarzania i transmisji sygnałów, jak i układów służących do ich generacji. Układy
należące do pierwszej grupy powinny być stabilne, m.in. po to, by nie wnosić własnych składowych
do sygnałów użytecznych, układy drugiej grupy – powinny generować sygnały o założonych
parametrach. Niezamierzona niestabilność może być przyczyną awarii lub zniszczenia układu.
10
PWR ITA
Zakład Teorii Obwodów
Dany układ, zależnie od wyboru zmiennych do opisu, może być uznany za stabilny, albo za
niestabilny. Na przykład, jeśli za reakcję samochodu wybierzemy jego prędkość, będzie on stabilny,
natomiast, jeśli będzie nią pokonana droga, będzie on niestabilny (droga rośnie z czasem jak jedzie
samochód). Oczywiście, przy założeniu, że samochód jest niezniszczalny.
Rozważmy obecnie inny rodzaj stabilności, a mianowicie stabilność względem pobudzenia.
Potraktujemy obwód SLS jako układ transmisyjny o WP równych zero, z jednym wejściem i
jednym wyjściem (rys. 1).
Układ
SLS
WP= 0
p(t)
r(t)
Rys. 1 Układ SLS z jednym wejściem i jednym wyjściem.
Załóżmy, że reakcja impulsowa układu h(t) i pobudzenie p(t) są funkcjami przyczynowymi,
tzn., że h(t) = 0 i p(t) = 0 dla t <0.
Definicja stabilności BIBO
Układ SLS nazywamy stabilnym w sensie BIBO, jeżeli dla każdego ograniczonego i
przyczynowego pobudzenia p(t), tj. takiego, że
p (t ) ≤ C p < ∞, t ≥ 0
reakcja układu jest ograniczona, tzn.
r (t ) ≤ Cr < ∞, t ≥ 0.
Na podstawie tej definicji trudno zbadać, czy dany układ jest, czy też nie stabilny. Następujące
twierdzenie rozstrzyga to zagadnienie na podstawie reakcji impulsowej układu.
Twierdzenie 1
Układ SLS jest stabilny w sensie BIBO wtedy i tylko wtedy, gdy jego charakterystyka
impulsowa h(t) ma postać: h(t) = ao δ(t) + ho(t), ao – dowolna liczba rzeczywista i jest spełniony
warunek:
Co ≡ ao + ∫ ho (t )
∞
dt < ∞.
0−
Dla układów SLS funkcja H(s) jest wymierna, czyli o postaci
L( s )
(*)
H (s) =
,
M (s)
gdzie L(s) i M(s) – wielomiany zmiennej s (M(s) – wielomian charakterystyczny układu), to można
sformułować następujące twierdzenie.
Twierdzenie 2
Jeżeli L(s) i M(s) nie mają wspólnych czynników, to powyższe sformułowanie można zastąpić
równoważnym:
dla układu SLS stabilnego w sensie BIBO:
(1) st L(s) ≤ st M(s),
(2) M(s) ≠ 0 dla Re s ≥ 0.
Wszystkie podane wyżej warunki są zarówno konieczne jak i wystarczające dla BIBO
stabilności układów SLS.
Definicja
Wielomian M(s), który nie ma pierwiastków dla Re s ≥ 0 nazywamy wielomianem
Hurwitza.
11
PWR ITA
Zakład Teorii Obwodów
Jeżeli więc zadana jest funkcja układu SLS o postaci (*), to zbadanie tego, czy funkcja ta
opisuje układ BIBO stabilny, można sprowadzić do sprawdzenia warunków (1) i (2), przy
założeniu, że nie posiadają wspólnych czynników dla Re s≥ 0.
Sprawdzenie warunku (1) jest trywialne. Podamy więc sposób na sprawdzenie warunku (2),
bez potrzeby wyznaczania położenia pierwiastków wielomianu M(s).
Warunkiem koniecznym na to, by wielomian M(s)∈ WH jest to wszystkie współczynniki
wielomianu były różne od zera i tego samego znaku. Jest to także warunek dostateczny dla
wielomianów stopnia n ≤ 2.
Spełnienie warunku dostatecznego jest testowane za pomocą opisanych niżej kryteriów
algebraicznych.
Kryterium 1
Wyznaczamy część parzystą i nieparzystą wielomianu charakterystycznego M(s):
P(s) = [ M(s) + M(- s)]/2 – część parzysta M(s),
N(s) = [ M(s) - M(- s)]/2 – część nieparzysta.M(s)
przy tym, oczywiście M(s) = P(s) + N(s).
Zdefiniujmy funkcję: F(s) = P(s)/N(s), gdy st [P(s)] > st [N(s)], natomiast,
gdy st [P(s)] < st [N(s)] to F(s) = N(s)/P(s) i zapiszmy F(s) w postaci ułamka łańcuchowego o
postaci:
F ( s ) = q1s +
1
q2 s +
.
1
•+
•+
1
qn s
M(s) jest wielomianem Hurwitza (M(s) ∈ WH) wtedy, i tylko wtedy, gdy: qi > 0 dla i=1, 2, ...,
n, gdzie n = st [M(s)].
Kryterium 2 – kryterium (algebraiczne) Routha Hurwitza
Tworzymy tablicę współczynników wielomianu: M(s) = ansn + an-1sn-1 + . . .a1s +a0 o n+1 wierszach,
jak to pokazano poniżej.
Tablica Routha-Hurwitza
(1)
(2)
(3)
(4)
(...)
(n+1)
an
an-1
bn-1
cn-1
…
…
an-2
an-3
bn-3
cn-3
…
…
an-4
an-5
Bn-5
cn-5
…
…
…
…
…
…
…
…
Wiersze od 3. do n+1 tworzymy wg podanego niżej schematu:
• wiersz (3) tworzymy na postawie wierszy (1) i (2), korzystając przy tym ze wzorów:
an an −2
1
1 an an − 4
bn −1 = −
, bn −3 = −
,•••
an −2 an −1 an −3
an −1 an −1 an −5
• wiersz (4) tworzymy na postawie wierszy (2) i (3):
1 an −1 an −3
1 an −1 an −5
cn −1 = −
, cn −3 = −
,•••
bn −1 bn −1 bn −3
bn −1 bn −1 bn −5
pozostałe wiersze tablicy Routha – Hurwitza (aż do n+1) wypisuje się wg tych samych reguł.
Sprowadzają się one do realizacji następującej procedury:
12
PWR ITA
Zakład Teorii Obwodów
1. wpisujemy współczynniki wielomianu M(s) w dwóch pierwszych wierszach, w kolejności
malejących potęg s, na przemian – wiersz górny, wiersz dolny, przesuwając się ruchem
zygzakowym z lewa na prawo,
2. współczynniki pozostałych wierszy obliczamy wg powyższych wzorów, przy tym zawsze w
pierwszej kolumnie wyznacznika stoją dwa elementy pierwszej kolumny i dwóch wierszy
leżących bezpośrednio powyżej obliczanego, a w drugiej - dwa elementy tych wierszy i
kolumny przesuniętej o jedną pozycję na prawo.
3. jeśli w pierwszej kolumnie wystąpi element mniejszy lub równy zero (koniec testu!), lub nie ma
n+1 elementów większych od zera (an > 0) - M(s)∉ WH.
4. element kolumn 2, 3 i dalszych, równy zero, nie jest wpisywany, z tego też powodu brak
elementu jest równoważny elementowi równemu zero na danej pozycji.
Kryterium Routha-Hurwitza
M(s) jest wielomianem Hurwitza wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie elementy pierwszej
kolumny są dodatnie (ujemne) i ich liczba jest równa liczbie współczynników wielomianu M(s), tj.
n+1:
an > 0, an-1 > 0, bn-1 > 0, cn-1 > 0, …
Przykład 1
Niech M(s)= s5 + 8 s4 +6s3 +32 s2 +8 s +24, wówczas: P(s) = 8 s4 + 32 s2 + 24, N(s) = s5 + 6 s3
+ 8 s, F(s) = N(s) / P(s).
Wykonujemy dzielenie: (s5 + 6 s3 + 8 s) przez (8 s4 + 32 s2 + 24) otrzymujemy: 1/8*s oraz
resztę (2 s3 +5 s). Następnie dzielimy (8 s4 + 32 s2 + 24) przez resztę (2 s3 +5 s) i otrzymujemy 4 s i
resztę 12 s2+24. Procedurę tą powtarzamy łącznie 5 razy i otrzymujemy:
1
F (s) = s +
8
4s +
1
1
.
1
1
s+
6 12s + 1
1
s
24
Dla wielomianu M(s) 5. stopnia otrzymaliśmy rozkład na ułamek łańcuchowy z pięcioma
współczynnikami qk > 0, k = 1, 2,…,5, stąd wniosek: M(s) ∈ WH.
Zastosujmy kryterium Routha – Hurwitza dla badanego wielomianu M(s). Otrzymujemy
poniższą tablicę.
1
6
8
8
32
24
2
5
12
24
1
24
Współczynniki pierwszej kolumny tej tablicy są dodatnie i jest ich n+1 = 6. Wniosek jest
identyczny jak poprzednio: M(s)∈ WH.
Przekształcenie całkowe Fouriera (PCF)– właściwości i zastosowanie
Para przekształceń całkowych o postaci:
∞
1
f (t ) =
F ( jω ) e jω t dω
∫
2π −∞
13
(2)
PWR ITA
Zakład Teorii Obwodów
∫
∞
F ( jω ) =
f (t ) e − jω t dt
(3)
−∞
nazywana jest parą transformat Fouriera, gdzie F(jω)dω/(2π) - zespolona amplituda prążka o
pulsacji ω. Wzory (3) i (2) noszą również, odpowiednio, nazwę prostego i odwrotnego
przekształcenia
całkowego
Fouriera,
co
zapisujemy
symbolicznie:
−1
f(t)↔F(jω), F(jω) = F{f(t)} oraz f (t ) = F { F ( jω )} .
Jeżeli:
1. f(t) jest ograniczona w każdym ograniczonym podprzedziale (t1, t2), oraz podprzedział ten
można podzielić na skończoną liczbę podprzedziałów, w których funkcja ta zmienia się
monotonicznie,
2. f(t) jest ciągła w każdym podprzedziale (t1, t2),, z wyjątkiem skończonej liczby punktów
nieciągłości typu skokowego,
3. f(t) jest bezwzględnie całkowalna w przedziale ( - ∞, ∞),
wówczas równość:
∞
∞
 jω t
1 
− jωτ
f (t ) =
 ∫ f (τ )e dτ  e dω
(4)
∫
2π −∞  −∞

zachodzi prawie wszędzie. Wzór (4) nosi nazwę wzoru całkowego Fouriera.
Jeżeli f(t) jest funkcją rzeczywistą, wówczas uwzględniając postać funkcji
podcałkowej w (3), F(jω) = F*(-jω). Zapisując F(jω) w postaci wykładniczej F(jω) = A(ω)ejϕ(ω),
otrzymujemy: A(ω) = A(-ω), ϕ(ω) = - ϕ(-ω), gdzie A(ω) – charakterystyka amplitudowa –
(funkcja parzysta ω), ϕ(ω) – charakterystyka fazowa sygnału f(t) (funkcja nieparzysta ω).
F(jω) nosi nazwę funkcji widmowej sygnału. Wykorzystując te oznaczenia możemy wzór (3)
zapisać dla f = ω/(2π) w postaci:
f (t ) = ∫ 2 A( f )df cos(2π ft + ϕ ( f ))
∞
(5)
0
Wzór (5) pozwala nadać interpretację fizykalną widmu amplitudowemu i fazowemu
sygnału w dziedzinie częstotliwości f. W odróżnieniu od widma sygnału okresowego widma
sygnałów nieokresowych są na ogół funkcjami ciągłymi zmiennej ω.
Jeżeli sygnały nie spełniają warunku bezwzględnej całkowalności, wówczas możemy
rozszerzyć klasę funkcji opisywanych w dziedzinie częstotliwości za pomocą transformat
Fouriera o funkcje zawierające dystrybucje delta Diraca i funkcje skokowe w dziedzinie
zmiennej ω.
Z postaci prostego i odwrotnego przekształcenia Fouriera wynikają podane niżej
właściwości. Pozwalają one lepiej zrozumieć relacje zachodzące pomiędzy dziedzinami czasu i
częstotliwości. Będziemy zakładali, że odpowiednie transformaty Fouriera istnieją.
Właściwości przekształcenia całkowego Fouriera (PCF)
1. Liniowość
∑ a f (t ) ↔ ∑ a F ( jω )
i i
i
i
i
i
2. Symetria (f(t) ↔H(jω))
F (t ) ↔ 2π f (−ω ), F (t ) = F ( jω ) ω →t , f (−ω ) = f (t ) t → − ω
3. Różniczkowanie funkcji czasu
f ( n ) (t ) ↔ ( jω ) n F ( jω ) .
14
PWR ITA
Zakład Teorii Obwodów
Różniczkowanie uwypukla obecność w widmie sygnału składowych wysokoczęstotliwościowe kosztem składowych wolnozmiennych.
4. Całkowanie funkcji czasu
t
F ( jω )
∫−∞ f (τ )dτ ↔ jω + π F (0)δ (ω )
Całkowanie dyskryminuje składowe wysokoczęstotliwościowe kosztem składowych niskoczęstotliwościowych.
5. Różniczkowanie funkcji F(ω)
d n F ( jω )
(− jt ) n f (t ) ↔
dω n
6. Przesunięcie funkcji czasu
f (t − to ) ↔ F ( jω ) e − jω to
Przesunięcie przebiegu f(t) w czasie o to nie zmienia jego widma amplitudowego. Widmo
fazowego jest korygowane przez liniowo zmienną, w funkcji ω, składową - ωto.
7. Twierdzenie o modulacji w dziedzinie czasu i częstotliwości (ωo – pulsacja, T – stała
czasowa)
f (t )e jω ot ↔ F [ j (ω − ω o )] (por. właściwość 6)
1
f (t ) cos(ω o t ) ↔ [ F [ j (ω + ω o ) + F [ j (ω − ω o )]
2
1
[ f (t + T ) + f (t − T )] ↔ F ( jω ) cos(ω T )
2
Modulacja w dziedzinie czasu/częstotliwości powoduje przesunięcie w dziedzinie
częstotliwości/czasu.. Obserwowana symetria wynika z właściwości (2).
8. Splot funkcji f(t) i h(t) całkowalnych z kwadratem
g (t ) = f (t ) ∗ h(t ) =
∫
∞
f (t − τ ) g (τ )dτ ↔ F ( jω ) H ( jω )
−∞
W dziedzinie częstotliwości operacji splotu dwóch funkcji czasu odpowiada operacja
mnożenia funkcji widmowych obydwu funkcji.
9. Iloczyn funkcji czasu
∞
1
1
f (t ) g (t ) ↔
F ( jω ) ∗ G ( jω ) =
∫ F ( jη )G[ j (ω − η )]dη
2π
2π −∞
10. Zmiana skali czasu i częstotliwości (twierdzenie o podobieństwie)
1
 ω
f (at ) ↔
F  j  , ⇒ f (−t ) ↔ F ( − jω )
a
 a
Kompresja czasowa sygnału powoduje jego rozciągnięcie w dziedzinie częstotliwości i
odwrotnie, rozciągnięcie w dziedzinie czasu powoduje kompresję widma sygnału. Tak więc
sygnały szybkozmienne charakteryzują się szerszym widmem niż sygnały wolnozmienne.
11. Funkcja przyczynowa bezwzględnie całkowalna
f (t )1(t ) ↔ F ( s) s = jω
Reakcja impulsowa układu BIBO stabilnego SLS
h(t ) ↔ H ( s ) s = jω = H ( jω )
Funkcja układu jest równa transformacie Fouriera jego reakcji impulsowej.
12. Funkcja okresowa (por. twierdzenie o modulacji)
f (t ) =
∑
∞
n =−∞
F n e jnω ot ↔ 2π
∑ F δ (ω − nω
∞
n
o
)
n =−∞
15
PWR ITA
Zakład Teorii Obwodów
Widmo funkcji okresowej (funkcji o nieograniczonej energii i skończonej mocy
średniej) zawiera impulsy delta Diraca przy pulsacjach nωo, n = 0, ±1, ±2,… pomnożone przez
2πFn.
13. Funkcja spróbkowana z okresem T=2π/ωo:
1 ∞
f s (t ) = f (t ) δ p (t ) ↔ ∑ F [ j (ω − nω o )]
T n =−∞
Widmo funkcji spróbkowanej (funkcji f(t) zmodulowanej przez periodyczny ciąg
δp(t)) jest przebiegiem periodycznym utworzonym przez poprzesuwane o wielokrotność pulsacji
ωo = 2π/T widmo f(t).
14. Jeżeli sygnał f(t) jest funkcją parzystą t, tj. f(t) = f(-t), wówczas F(jω) – funkcja
rzeczywista ω.
15. Jeżeli sygnał f(t) jest funkcją nieparzystą t, tj. f(t) = - f(-t), wówczas F(jω) – funkcja
urojona ω.
Ważniejsze transformaty Fouriera
1. Delta Diraca: δ(t)↔1 (na podstawie właściwości próbkującej δ(t)). Funkcja widmowa
stała i rzeczywista.
2. Skok jednostkowy: na podstawie właściwości (3):
t
1
+ πδ (ω )
1(t ) = ∫ δ (τ )dτ ↔
ω
j
−∞
3. Funkcja stała f(t) = A = const., A↔2πA δ(ω) (na podstawie symetrii PCF). W widmie
występuje tylko składowa stała.
4. Funkcja „znak” – sgn(t) = 2 1(t) - 1↔2/(jω). Dominacja składowych
niskoczęstotliwościowych. Widmo fazowe ϕ(ω) = - sgn(ω) π/2.
5. Funkcja sgn(ω) (na podstawie symetrii PCF):
j
↔ sgn(ω )
πt
6. Funkcja 1(ω) (na podstawie twierdzenia o symetrii):
1
j 
δ (t ) +
↔ 1(ω ) .

2
2π t 
7. Funkcja próbkująca z okresem T = 2π/ωo:
δ p (t , T ) = δ T (t ) ↔ ω oδ p (ω , ω o )
Widmo jest także funkcją próbkującą w dziedzinie częstotliwości pomnożoną przez ωo.
8. Przyczynowa funkcja wykładnicza :e –a t1(t)↔1/(a+jω). Widmo amplitudowe i fazowe.
1
ω
A(ω ) =
, ϕ (ω ) = − arctan( ).
2
2
a
a +ω
9. Funkcja bramkowa: fb(t) = 1(t + T) – 1(t – T) ↔ 2T Sa(ωT), ( Sa(x) = sin(x)/x ), oraz na
zasadzie symetrii: (ωo/π)Sa(ωot) ↔ [1(ω + ωo) – 1(ω - ωo)]
1
10. cos(ω ot ) = (e jω ot + e− jω ot ) ↔ π [ δ (ω − ω o ) + δ (ω + ω o )]
2
Gęstość widmowa energii sygnału
Niech f(t) będzie sygnałem rzeczywistym o skończonej energii, tj. takim, że f(t) = f*(t) i
W=
∫
∞
f (t )
2
−∞
16
dt < ∞
(6)
PWR ITA
Zakład Teorii Obwodów
Poszukujemy wyrażenia na energię sygnału f(t) opisanego w dziedzinie częstotliwości za
pomocą funkcji F(jω). W tym celu wykorzystamy PCF:
∞
1
jω t
f (t ) =
∫ F ( jω ) e dω
2π −∞
∫
∞
F ( jω ) =
f (t ) e− jω t dt
−∞
i zapiszemy funkcję podcałkową w (6) w postaci:
∞
1
2
f (t ) = f * (t ) f (t ) = f * (t )
F ( jω ) e jω t dω .
∫
2π −∞
Stąd
∞
∞
∞
 1 ∞

1
jω t
ω
ω
=
ω
W = ∫ f * (t ) 
F
(
j
)
e
d
dt
F
(
j
){
[ f (t )e − jω t ]∗ dt}dω =

∫
∫
∫
2π −∞
−∞
−∞
 2π −∞

=
1
2
F ( jω ) dω .
∫
2π −∞
Ostatecznie otrzymujemy równanie Parsevala (zwane twierdzeniem Parsevala) o postaci:
∞
∞
1
2
2
W = ∫ f (t ) dt =
F ( jω ) dω ,
∫
2π −∞
−∞
które można zapisać w postaci równoważnej:
∞
∫ A (2π f )
∞
W=
2
−∞
df = 2∫ A2 ( f ) df ,
∞
0
gdzie A(f) – charakterystyka amplitudowa sygnału w dziedzinie częstotliwości f = ω/(2π).
Wyrażenie
dW = A2 ( f ) df ,
określa energię elementarnej składowej sygnału f(t), której widmo leży w przedziale
{f, f + df}, natomiast
dW
= A2 ( f ),
df
widmową gęstość energii przy częstotliwości f. Energia sygnału nie zależy natomiast od
charakterystyki fazowej. Zmiana widma fazowego wpływa jednak na kształt sygnału.
17