Analiza zespolona

Nazwa przedmiotu:
Analiza zespolona
Complex Analysis
Kierunek:
Rodzaj przedmiotu:
przedmiot obowiązkowy dla
wszystkich specjalności
Rodzaj zajęć:
wykład, ćwiczenia
Matematyka
Poziom kwalifikacji:
II stopnia
Liczba godzin/tydzień:
2WE, 2C
Semestr: I
Liczba punktów:
6 ECTS
PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE
I KARTA PRZEDMIOTU
CEL PRZEDMIOTU
C1. Zapoznanie studentów z fundamentalnymi pojęciami, zagadnieniami i twierdzeniami (z
dowodami) analizy zespolonej dotyczącymi funkcji holomorficznych i meromorficznych jednej
zmiennej zespolonej.
C2. Wypracowanie umiejętności stosowania wiedzy z zakresu analizy zespolonej do rozwiązywania
problemów.
C3. Wskazanie licznych, często zaskakujących różnic między funkcjami rzeczywistymi zmiennej
rzeczywistej a funkcjami zespolonymi zmiennej zespolonej.
WYMAGANIA WSTĘPNE W ZAKRESIE WIEDZY, UMIEJĘTNOŚCI I INNYCH KOMPETENCJI
1.
Wiedza z zakresu analizy matematycznej I-III.
2.
Wiedza z zakresu funkcji zespolonych.
EFEKTY KSZTAŁCENIA
EK 1 - Student definiuje szereg Laurenta i wymienia twierdzenia dotyczące rozwijania funkcji w
szereg Laurenta. Student przeprowadza klasyfikację punktów osobliwych odosobnionych, zna
twierdzenia charakteryzujące punkty odosobnione. Potrafi określić rodzaj osobliwości .
EK 2 - Student definiuje pojęcie residuum funkcji i potrafi zastosować do obliczania całek z funkcji
holomorficznych, całek niewłaściwych z funkcji rzeczywistych, całek z funkcji
trygonometrycznych
EK 3 - Student oblicza transformaty Laplace’a funkcji , zna własności przekształcenia Laplace’a,
potrafi obliczać oryginały, stosuje metodę operatorową do rozwiązania równań różniczkowych.
EK 4 - Student potrafi sformułować twierdzenia opisujące rozkład funkcji holomorficznych i
meromorficznych.
TREŚCI PROGRAMOWE
Liczba
Forma zajęć – WYKŁADY
godzin
W 1 – Powtórzenie – funkcje holomorficzne, równania Cauchy-Riemanna.
2
W 2 – Punkty zerowe funkcji holomorficznej, krotność punktu zerowego.
2
Szeregi Laurenta, pierścień zbieżności szeregu Laurenta, przykłady.
W 3 – Twierdzenia o rozwijaniu funkcji w szereg Laurenta. Punkty osobliwe 2
odosobnione-klasyfikacja
W 4 – Charakteryzacja punktu pozornie osobliwego, bieguna, istotnie osobliwego
W 5 – Residua funkcji. Twierdzenie całkowe o residuach. Przykłady.
Zastosowanie residuów do obliczania całek niewłaściwych z funkcji wymiernych
W 6- Obliczanie całek niewłaściwych z zastosowaniem lematu Jordana. Całki z funkcji
trygonometrycznych z wykorzystaniem residuów. Całki z funkcji wieloznacznych.
W 7 – Przekształcenie Laplace’a, transformata i oryginał. Własności przekształcenia
Laplace’a. Różniczkowanie i całkowanie oryginału i transformaty. Wzór RiemannaMellina.
W 8 – Metody wyznaczania oryginałów, przykłady zastosowania metody
operatorowej do rozwiązywania równań różniczkowych i całkowych
W9- Zachowanie się funkcji analitycznej w nieskończoności. Pochodna w
nieskończoności, residuum w nieskończoności.
W 10 – . Iloczyny nieskończone liczbowe. Własności. Iloczyny funkcyjne.
W 11 – Rozkład funkcji całkowitej. Twierdzenie Weierstrassa o rozkładzie, przykłady
W 12– Rząd funkcji całkowitej. Małe twierdzenie Picarda.
W13 –Funkcje meromorficzne. Rozkład funkcji meromorficznej na ułamki proste.
Twierdzenia Mittag-Lefflera.
W 14 – Przykłady do twierdzenia Mittag-Lefflera. Funkcja gamma Eulera, funkcja beta
Eulera, funkcja „zeta” Riemanna.
W 15 – Funkcje okresowe i eliptyczne. Powierzchnie eliptyczne.
Forma zajęć - ĆWICZENIA
C 1 – Funkcje holomorficzne – powtórzenie. Wyznaczanie funkcji holomorficznej, jeśli
dana jest jej część rzeczywista lub urojona.
C 2 –Wyznaczanie punktów zerowych funkcji holomorficznej, krotność punktu zerowego,
krotność punktów zerowych iloczynu funkcji holomorficznych
C 3 – Rozwijanie funkcji w szereg Laurenta.
C 4 – Klasyfikacja punktów osobliwych odosobnionych. Określanie rodzaju osobliwości.
C 5 – Obliczanie residuów funkcji w biegunach i punktach istotnie osobliwych
C 6 – Twierdzenie całkowe o residuach, zastosowanie do obliczania całek.
C 7 – Obliczanie całek niewłaściwych z funkcji rzeczywistych z zastosowaniem residuów
C 8 - Kolokwium
C 9 – Całki z funkcji trygonometrycznych
C 10,C11 – Wyznaczanie transformat Laplace’a oraz wyznaczanie oryginałów metodą
residuów i metodą rozkładu na ułamki proste. Zastosowanie transformaty
Laplace’a do rozwiązywania równań różniczkowych i całkowych
C 12 – Badanie zachowania się funkcji w nieskończoności, Określanie residuum w
nieskończoności.
C 13 – Badanie zbieżności iloczynów nieskończonych. Badanie bezwzględnej zbieżności
iloczynów funkcyjnych. Przykłady do twierdzenia Weierstrassa o rozkładzie
C 14 – Kolokwium
C 15 – Przykłady do twierdzenia Mittag-Lefflera.
NARZĘDZIA DYDAKTYCZNE
1. – wykład w formie prezentacji multimedialnych i z wykorzystaniem tablicy
2. – zestawy zadań do samodzielnego rozwiązania
3. – ćwiczenia z wykorzystaniem tablicy
SPOSOBY OCENY ( F – FORMUJĄCA, P – PODSUMOWUJĄCA)
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
Liczba
godzin
2
2
2
2
2
2
2
2
2
4
2
2
2
2
F1. – ocena przygotowania do ćwiczeń
F2. – ocena aktywności na ćwiczeniach
P1. – ocena umiejętności zastosowania poznanych definicji i twierdzeń- zaliczenie na ocenę
P2. – ocena umiejętności rozwiązywania postawionych problemów – kolokwium
P3 – Ocena z egzaminu
OBCIĄŻENIE PRACĄ STUDENTA
Forma aktywności
Godziny kontaktowe z prowadzącymi
Zapoznanie się ze wskazaną literaturą
Przygotowanie do ćwiczeń
Przygotowanie do kolokwiów
Przygotowanie do egzaminu
Obecność na egzaminie
Obecność na konsultacjach
Suma
SUMARYCZNA LICZBA PUNKTÓW ECTS DLA PRZEDMIOTU
Liczba punktów ECTS, którą student uzyskuje na zajęciach
wymagających bezpośredniego udziału prowadzącego
Liczba punktów ECTS, którą student uzyskuje w ramach zajęć o
charakterze praktycznym, w tym zajęć laboratoryjnych i
projektowych
Średnia liczba godzin na
zrealizowanie aktywności
30W 30C → 60 h
22 h
30 h
15 h
15 h
3h
5h
150 h
6 ECTS
2,7 ECTS
3,6 ECTS
LITERATURA PODSTAWOWA I UZUPEŁNIAJĄCA
1. Leja F., Funkcje zespolone, PWN, Warszawa 1973,
2. Szabat B.W., Wstęp do analizy zespolonej, PWN, Warszawa 1974,
3. Krzyż J., Ławrynowicz J., Elementy analizy zespolonej, WNT, Warszawa 1981,
4. J. Długosz, Funkcje zespolone, teoria przykłady zadania, OW GiS Wrocław 2005.
5. B. Szafnicki, Zadania z funkcji zespolonych, PWN Warszawa 1971
6. Rudin W., Analiza rzeczywista i zespolona, PWN, Warszawa 1986,
7. Hormander L., Complex analysis in several variables, North-Holland Publishing Company,
Amsterdam-London 1973.
8. Saks St., Zygmund A., Funkcje analityczne, PWN, Warszawa 1959.
PROWADZĄCY PRZEDMIOT ( IMIĘ, NAZWISKO, ADRES E-MAIL)
1. dr Maria Lupa [email protected]
2. dr Wiesław Królikowski wiesł[email protected]
MATRYCA REALIZACJI I WERYFIKACJI EFEKTÓW KSZTAŁCENIA
Efekt
kształcenia
EK1
Odniesienie
danego efektu do
efektów
zdefiniowanych
dla kierunku
Matematyka
K_W04
K_W05
K_W07
K_U04
K_U05
Cele
przedmiotu
Treści
programowe
Narzędzia
dydaktyczne
Sposób
oceny
C1, C2, C3
W1-W4
C1-C4
1, 2, 3
F1, F2
P1, P2,P3
EK2
EK3
EK 4
K_W01
K_W05
K_W07
K_U04
K_U05
K_W01
K_W05
K_W07
K_U03
K_U05
K_U14
K_W05
K_W07
C1, C2, C3
W5-W7
C5-C9
1, 2, 3
F1, F2
P1, P2,P3
C1, C2, C3
W8-12
C6–C15
1, 2, 3
F1, F2
P1, P2,P3
C1, C2, C3
W13-W15
1, 2, 3
F1, F2
P1, P2,P3
II. FORMY OCENY – SZCZEGÓŁY
Na ocenę 2
Na ocenę 3
Na ocenę 4
Na ocenę 5
EK 1 Student nie
spełnia
wymagań na
ocenę
dostateczną.
Student potrafi
rozwinąć funkcję w
szereg Laurenta,
znaleźć pierścień
zbieżności szeregu
Laurenta. Potrafi
określić rodzaje
punktów osobliwych
Student potrafi znaleźć
pierścień zbieżności
szeregu Laurenta. Potrafi
rozwinąć funkcję w szereg
Laurenta w zadanym
pierścieniu oraz przy
zmianie pierścienia.
Potrafi określić rodzaje
punktów osobliwych
Student potrafi znaleźć
pierścień zbieżności szeregu
Laurenta. Potrafi rozwinąć
funkcję w szereg Laurenta w
zadanym pierścieniu oraz przy
zmianie pierścienia. Potrafi
określić rodzaje punktów
osobliwych
Student zna wszystkie
definicje i twierdzenia podane
na wykładzie dotyczące
szeregu Laurenta i punktów
osobliwych.
EK 2 Student nie
spełnia
wymagań na
ocenę
dostateczną.
Student zna pojęcie
residuum funkcji ,
potrafi obliczyć
residuum funkcji oraz
zastosować do
obliczania całek z
funkcji
holomorficznych,
Student poprawnie
podaje definicję residuum
funkcji, bez kłopotów
oblicza residuum funkcji
oraz zna i stosuje
twierdzenie całkowe o
residuach. Potrafi dobrze
obliczyć całkę niewłaściwą
Student bardzo dobrze zna
wszystkie definicje i
twierdzenia o residuach
funkcji i bez kłopotów potrafi
je stosować do rozwiązywania
postawionych problemów.
Dyskutuje nad sposobami
rozwiązania postawionego
zadania.
EK3 Student nie
spełnia
wymagań na
ocenę
dostateczną
Student oblicza
transformaty Laplace’a
funkcji oraz oryginały,
stosuje transformatę
do rozwiązania
prostych równań
różniczkowych
Student oblicza
transformaty Laplace’a
funkcji, oraz zna metody
wyznaczania oryginałów,
stosuje transformatę do
rozwiązania prostych
równań różniczkowych
Student bardzo dobrze zna
wszystkie twierdzenia
dotyczące transformaty
Laplace’a, posługuje się
własnościami transformat.
zna metody wyznaczania
oryginałów, stosuje rachunek
operatorowy do
rozwiazywania równań
różniczkowych i całkowych
EK4 Student nie
spełnia
wymagań na
ocenę
dostateczną.
Student potrafi
sformułować
twierdzenia opisujące
rozkład funkcji
holomorficznych i
meromorficznych .
Student potrafi
sformułować twierdzenia
opisujące najważniejsze
własności funkcji
holomorficznych i
meromorficznych i
naszkicować poznane
dowody .
Student bez problemów
potrafi sformułować
twierdzenia opisujące rozkład
funkcji holomorficznych i
meromorficznych , potrafi
przedstawić poznane dowody
dyskutuje nad zastosowaniem
tych własności do uzyskania
rozkładów pewnych funkcji
meromorficznych i
holomorficznych.
Student zna funkcje gamma
beta Eulera, funkcję „zeta”
Riemanna
Dopuszcza się wystawienie oceny połówkowej o ile student spełniający wszystkie efekty kształcenia
wymagane do oceny pełnej spełnia niektóre efekty kształcenia odpowiadające ocenie wyższej
III. INNE PRZYDATNE INFORMACJE O PRZEDMIOCIE
1. Informacja na temat konsultacji przekazywana jest studentom podczas pierwszych zajęć
danego z przedmiotu.