Analiza zespolona - Wydział Inżynierii Mechanicznej i Informatyki

POLITECHNIKA CZĘSTOCHOWSKA
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Informatyki
Kierunek: Matematyka
Studia: Stacjonarne
Rok: Rok I, Semestr II
II stopnia
Prowadzący:
Przedmiot dla specjalności:
Dr Maria Lupa
Matematyka finansowa i
Karta opisu przedmiotu
Wykład
Ćwiczenia
Laboratorium
Projekt
Seminarium
Egzamin
ECTS
ubezpieczeniowa
Analiza zespolona
30
30
-
-
-
NIE
5
WYMAGANIA WSTĘPNE W ZAKRESIE WIEDZY, UMIEJĘTNOŚCI I INNYCH KOMPETENCJI
Wiedza z zakresu funkcji zespolonych.
Wiedza z zakresu analizy matematycznej I-III.
CEL PRZEDMIOTU
Zapoznanie studentów zi pojęciami, zagadnieniami i twierdzeniami analizy zespolonej dotyczącymi funkcji holomorficznych i
meromorficznych jednej zmiennej zespolonej.
Wypracowanie umiejętności stosowania wiedzy z zakresu analizy zespolonej do rozwiązywania problemów.
Wskazanie licznych, często zaskakujących różnic między funkcjami rzeczywistymi zmiennej rzeczywistej a funkcjami zespolonymi zmiennej
zespolonej.
Treści programowe - Wykład
Powtórzenie – funkcje holomorficzne, równania Cauchy-Riemanna.
Punkty zerowe funkcji holomorficznej, krotność punktu zerowego. Szeregi Laurenta, pierścień zbieżności szeregu Laurenta, przykłady.
Twierdzenia o rozwijaniu funkcji w szereg Laurenta. Punkty osobliwe odosobnione-klasyfikacja
Charakteryzacja punktu pozornie osobliwego, bieguna, istotnie osobliwego
Residua funkcji. Twierdzenie całkowe o residuach. Przykłady. Zastosowanie residuów do obliczania całek niewłaściwych z funkcji wymiernych
Obliczanie całek niewłaściwych z zastosowaniem lematu Jordana. Całki z funkcji trygonometrycznych z wykorzystaniem residuów. Całki z
funkcji wieloznacznych.
Przekształcenie Laplace’a, transformata i oryginał. Własności przekształcenia Laplace’a. Różniczkowanie i całkowanie oryginału i
transformaty. Wzór Riemanna-Mellina.
Metody wyznaczania oryginałów, przykłady zastosowania metody operatorowej do rozwiązywania równań różniczkowych i całkowych
Zachowanie się funkcji analitycznej w nieskończoności. Pochodna w nieskończoności, residuum w nieskończoności.
. Iloczyny nieskończone liczbowe. Własności. Iloczyny funkcyjne.
Rozkład funkcji całkowitej. Twierdzenie Weierstrassa o rozkładzie, przykłady
Rząd funkcji całkowitej. Małe twierdzenie Picarda.
Funkcje meromorficzne. Rozkład funkcji meromorficznej na ułamki proste. Twierdzenia Mittag-Lefflera.
Przykłady do twierdzenia Mittag-Lefflera. Funkcja gamma Eulera, funkcja beta Eulera, funkcja „zeta” Riemanna.
Funkcje okresowe i eliptyczne. Powierzchnie eliptyczne.
Treści programowe - Ćwiczenia
Funkcje holomorficzne – powtórzenie. Wyznaczanie funkcji holomorficznej, jeśli dana jest jej część rzeczywista lub urojona.
Wyznaczanie punktów zerowych funkcji holomorficznej, krotność punktu zerowego, krotność punktów zerowych iloczynu funkcji
holomorficznych
Rozwijanie funkcji w szereg Laurenta.
Klasyfikacja punktów osobliwych odosobnionych. Określanie rodzaju osobliwości.
Obliczanie residuów funkcji w biegunach i punktach istotnie osobliw
Twierdzenie całkowe o residuach, zastosowanie do obliczania całek.
Obliczanie całek niewłaściwych z funkcji rzeczywistych z zastosowaniem residuów. Całki z funkcji trygonometrycznych .
Wyznaczanie transformat Laplace’a oraz wyznaczanie oryginałów metodą residuów i metodą rozkładu na ułamki proste.
Zastosowanie transformaty Laplace’a do rozwiązywania równań różniczkowych i całkowych
Badanie zachowania się funkcji w nieskończoności, Określanie residuum w nieskończoności.
Badanie zbieżności iloczynów nieskończonych. Badanie bezwzględnej zbieżności iloczynów funkcyjnych. Przykłady do twierdzenia
Weierstrassa o rozkładzie
Przykłady do twierdzenia Mittag-Lefflera.
LITERATURA PODSTAWOWA I UZUPEŁNIAJĄCA
1. Leja F., Funkcje zespolone, PWN, Warszawa 1973,
2. Szabat B.W., Wstęp do analizy zespolonej, PWN, Warszawa 1974,
3. Krzyż J., Ławrynowicz J., Elementy analizy zespolonej, WNT, Warszawa 1981,
4. J. Długosz, Funkcje zespolone, teoria przykłady zadania, OW GiS Wrocław 2005.
5. B. Szafnicki, Zadania z funkcji zespolonych, PWN Warszawa 1971
6. Rudin W., Analiza rzeczywista i zespolona, PWN, Warszawa 1986,
7. Hormander L., Complex analysis in several variables, North-Holland Publishing Company, Amsterdam-London 1973.