Materiały teoretyczne do obliczana momentów bezwładności

Wytrzymałość materiałów Ćwiczenia 2
1
Charakterystyki geometryczne figur płaskich
Rozpatrywana jest figura płaska dowolnego kształtu o polu A, odniesiona do
prostokątnego układu osi współrzędnych Y i Z. Figurę można podzielić na nieskończenie wiele
elementarnych poletek dA (rys.C1)
Y
z
ρ
dA
A
y
Z
Rys. C1 Figura płaska w układzie osi Y i Z
A = ∫ dA > 0
Definiuje się następujące charakterystyki geometryczne figury określone całkami:
Pole przekroju [m2]
A
S y = ∫ zdA
Momenty statyczne [m3]
- względem osi y
S z = ∫ ydA
A
- względem osi z
A
Momenty bezwładności [m4]
- względem osi y
I y = ∫ z 2 dA > 0
I z = ∫ y 2 dA > 0
A
- względem osi z
I yz = ∫ yzdA
A
- odśrodkowy (dewiacyjny)
I o = ∫ ρ 2 dA > 0
A
- biegunowy
A
Własności momentów bezwładności figur płaskich
- wartości momentów bezwładności I y , I z , I o są zawsze dodatnie,
-
momenty odśrodkowe I yz mogą przybierać wartości dodatnie, ujemne lub równe zeru,
2005-10-08
Politechnika Częstochowska Wydział Budownictwa
Dr inż. S.Labocha
Wytrzymałość materiałów Ćwiczenia 2
-
2
odśrodkowy moment pola względem układu osi, z których chociaż jedna jest osią symetrii
figury, równy jest zeru,
momenty bezwładności względem osi środkowych (centralnych) przechodzących przez
środek ciężkości figury oznacza się I yo , I zo , I yozo ,
-
momenty bezwładności względem osi, dla których odśrodkowy moment bezwładności jest
równy zeru zwane są głównymi momentami bezwładności, a w przypadku gdy osie te są
osiami środkowymi nazywane są głównymi środkowymi momentami bezwładności
(głównymi centralnymi) i oznaczane I yg , I zg ,
-
momenty bezwładności pola względem osi głównych osiągają wartości ekstremalne
(maksymalną i minimalną), stąd nadaje się im oznaczenie I max , I min ,
momenty bezwładności złożonej figury płaskiej równe są sumie odpowiednich momentów
bezwładności poszczególnych części składowych figury
-
dA
Yo
A
ϕo Yg
y
Z
zo
z
Y
Z
g
Zo
yo
Rys. C2 Główny środkowy układ osi figury
Pomiędzy omówionymi momentami bezwładności zachodzą związki (rys.C2):
Io = I y + I z ,
I y = I yo + A ⋅ z o2 ,
I z = I zo + A ⋅ yo2 ,
I yz = I yozo + A ⋅ yo ⋅ z o ,
tg(2ϕ o ) =
(
)
I max = max I yg , I zg =
2005-10-08
2 ⋅ I yozo
I zo − I yo
I yo + I zo
2
,
 I yo − I zo 
2
 + I yozo
+ 
2


Politechnika Częstochowska Wydział Budownictwa
2
Dr inż. S.Labocha
Wytrzymałość materiałów Ćwiczenia 2
(
3
)
I min = min I yg , I zg =
I yo + I zo
2
 I yo − I zo 
2
 + I yozo
− 
2


2
Dodatni kąt ϕ o odpowiada obrotowi układu osi zgodnie z ruchem wskazówek zegara.
ϕ
z
Y
n
dA
m
A
y
Z
Rys.C3 Obrót układu osi
W przypadku poszukiwania wartości momentów względem układu osi obróconych (rys.C3) o
dowolny kąt ϕ (dodatni zgodny z ruchem wskazówek zegara) zachodzą związki:
I m = I y cos 2 ϕ + I z sin 2 ϕ − I yz sin 2ϕ ,
I n = I z cos 2 ϕ + I y sin 2 ϕ + I yz sin 2ϕ ,
lub
Im =
In =
Iy + Iz
2
I y + Iz
I mn =
2
+
−
I y − Iz
2005-10-08
2
I y − Iz
2
I y − Iz
2
cos 2ϕ − I yz sin 2ϕ ,
cos 2ϕ + I yz sin 2ϕ ,
sin 2ϕ + I yz cos 2ϕ .
Politechnika Częstochowska Wydział Budownictwa
Dr inż. S.Labocha
Wytrzymałość materiałów Ćwiczenia 2
4
Przykładowy algorytm wyznaczenia położenia osi głównych oraz
obliczenia wartości głównych momentów bezwładności złożonej figury
płaskiej:
1. Obliczyć pole przekroju A figury, rozkładając ją na figury proste.
2. Przyjąć dowolny układ osi współrzędnych y,z.
3. Obliczyć momenty statyczne S y , S z (jako sumy lub różnice momentów statycznych figur
składowych) względem przyjętych osi y i z.
4. Określić położenie środka ciężkości figury: yo =
Sy
Sz
, zo =
.
A
A
5. Obliczyć momenty bezwładności figury I y , I z , I yz względem przyjętych osi y i z (jako sumy
lub różnice momentów bezwładności prostych figur składowych, ze szczególnym
uwzględnieniem znaków (+/-) dla momentów odśrodkowych).
6. Obliczyć momenty bezwładności względem osi środkowych I yo , I zo , I yozo ze wzorów:
I yo = I y − A ⋅ z o2 ,
I yozo = I yz − A ⋅ yo ⋅ z o .
7. Określić położenie osi głównych ze wzoru tg (2ϕ o ) =
2 ⋅ I yozo
I zo − I yo
.
8. Obliczyć wartości głównych środkowych momentów bezwładności ze wzorów:
I max =
I min =
I yo + I zo
2
I yo + I zo
2
 I yo − I zo 
2
 + I yozo
+ 
,
2


2
 I yo − I zo 
2
 + I yozo
− 
.
2


2
9. Narysować w skali figurę wraz naniesionymi układami osi początkowych, środkowych i
środkowych głównych.
10. Przeprowadzić kontrolę wartości momentów bezwładności: I y , I z , I yo , I zo , I max , I min > 0 .
11. Przeprowadzić kontrolę niezmienników momentów bezwładności:
I yo + I zo = I max + I min ,
2005-10-08
2
I yo ⋅ I zo − I yozo
= I max ⋅ I min .
Politechnika Częstochowska Wydział Budownictwa
Dr inż. S.Labocha