x, y

Wyznaczyć główne, centralne momenty bezwładności powierzchni przedstawionej na rysunku.
Oznaczenia:
x, y
xc, yc
–
–
xcg, ycg
A1 , A2 , A3
C1, C2, C3
C
xc1, xc2, xc3, yc1, yc2, yc3
xc, yc
Sx, Sy
Ix1 … Ix3, Iy1 … Iy3
Ixc1 … Ixc3, Iyc1 … Iyc3
Ix, Iy
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
osie początkowego układu współrzędnych,
osie centralnego układu współrzędnych (czyli przechodzące przez
środek ciężkości figury), równoległe do osi układu x, y,
główne, centralne osie bezwładności,
pola powierzchni figur składowych,
środki ciężkości figur składowych,
środek ciężkości całej figury,
współrzędne środków ciężkości pól A1, A2, A3, w układzie x, y,
współrzędne środka ciężkości całej figury w układzie x, y,
momenty statyczne figury w układzie x, y,
osiowe momenty bezwładności pól A1, A2, A3 w układzie x, y,
osiowe, centralne momenty bezwładności pól A1, A2, A3,
osiowe momenty bezwładności całej figury w układzie x, y,
Ixc, Iyc
Ixc1yc1 … … Ixc3yc3
Ix1y1 … Ix3y3
Ixy
Ixcyc
Ixcg, Iycg
–
–
–
–
–
–
osiowe momenty bezwładności całej figury w układzie xc, yc,
momenty odśrodkowe pól A1, A2, A3 względem ich osi centralnych,
momenty odśrodkowe pól A1, A2, A3 w układzie x, y,
moment odśrodkowy figury w układzie x, y,
moment odśrodkowy figury w układzie xc, yc,
główne, centralne momenty bezwładności figury.
Pola powierzchni figur składowych i współrzędne ich środków ciężkości:
2
A1 = 3 cm 2
A 2 = 2 cm
xc1 = 0,5 cm,
x c 2 = − 5 cm ,
yc1 = 1,5 cm
y c 2 = − 1 cm ,
,
Współrzędne środka ciężkości powierzchni:
A1 ⋅ xc1 + A2 ⋅ xc 2 3 cm 2 ⋅ 0,5 cm + 2 cm 2 ⋅ 2 cm
=
= 1,1cm.
A1 + A2
5 cm 2
Ze względu na symetrię yc = xc = 1,1cm.
xc =
Momenty bezwładności względem osi układu x, y:
Oś x przechodzi przez krawędzie obu figur, można zatem napisać:
I x = I x1 + I x 2 =
2 ⋅13 1 ⋅ 33
+
= 9,667 cm 4 = I y
3
3
(symetria ) ,
Moment odśrodkowy:
I
I
x1 y1
x2 y2
64447
444
8 64447
4448
I xy = I xc1 yc1 + xc1 ⋅ yc1 ⋅ A1 + I xc 2 yc 2 + xc 2 ⋅ yc 2 ⋅ A2 = [0 + 0,5 ⋅ 1,5 ⋅ 5] + [0 + 2 ⋅ 0,5 ⋅ 5] = 8,75 cm 4
[
] [
]
(Ixc1yc1 = Ixc2yc2 = 0, ponieważ osie centralne tych figur są jednocześnie ich osiami symetrii).
Momenty bezwładności względem osi centralnych xc, yc:
Ixc = Ix – yc2⋅A = 9,667cm4 – (1,1cm)2⋅ 5cm2 = 3,617 cm4,
Iyc = Ixc =3,617cm4 (symetria),
Ixcyc = Ixy - xc⋅yc⋅A = 8,75cm4 – 1,1cm⋅1,1cm⋅5cm2 = 2,7 cm4.
Kąt między układem osi głównych a układem xc, yc i główne, centralne momenty bezwładności
powierzchni:
tg 2φ =
2 ⋅ I xcyc
I yc − I xc
=
2 ⋅ 2,7 cm 4
= ∞, 2φ = 90o , φ = 45o ,
0
Taki wynik można było przewidzieć. Jeśli figura ma oś symetrii to ta oś jest równocześnie jedną
z głównych, centralnych osi bezwładności. Druga oś jest do niej prostopadła i również przechodzi przez
środek ciężkości.
I xcg = I xc ⋅ cos 2 φ + I yc ⋅ sin 2 φ − I xcyc ⋅ sin 2φ =
= 3,617 ⋅ 0,5 + 3,617 ⋅ 0,5 − 2,7 ⋅1 = 0,917cm 4 = I min ,
I ycg = I xc ⋅ sin 2 φ + I yc ⋅ cos 2 φ + I xcyc ⋅ sin 2φ =
= 3,617 ⋅ 0,5 + 3,617 ⋅ 0,5 + 2,7 ⋅1 = 6,317cm 4 = I max .
Moment bezwładności Ixcg < Ixc jest najmniejszy z możliwych dla danej powierzchni, moment Iycg >Iyc
jest największy.