semi1popr-popr-popr

POLITECHNIKA ×ÓDZKA
Wydzia÷Fizyki Technicznej, Informatyki i Matematyki Stosowanej
Kierunek:
Specjalność:
Matematyka
Matematyka Finansowa i Ubezpieczeniowa
Grupa 2: Rafa÷Ko÷ecki i Przemys÷aw Wandachowicz
SEMINARIUM cześć
¾ 1
Praca zaliczeniowa napisana w Instytucie Matematyki
pod kierunkiem profesora Jana Kubarskiego
×ódź grudzień 2009
1
1
Istnienie produktu tensorowego
pisa÷Przemys÷
aw Wandachowicz:
Ćwiczenie 1 [W.H.G, Problem 2, str. 4] Mamy dane odwzorowanie dwuliniowe
' : E F ! G. Odwzorowanie : E F ! G jest zde…niowane za pomoca¾
wzoru:
(z) = '( 1 z; 2 z),
z 2 E F , gdzie 1 : E F ! E,
Pokaza´c, ·ze zachodzi zale·zno´s´c:
:E
2
2
( z) =
F ! F sa¾ rzutami kanonicznymi.
(z)
Rozwiazanie:
¾
Weźmy z = (x; y), x 2 E, y 2 F , takie z·e
jemy, z·e
( z) = '(
1(
z);
2(
z)) = '( x; y) =
1 (z)
= x,
'(x; y) =
2 (z)
2
= y. Wykazu2
'(x; y) =
(z).
Ćwiczenie 2 [W.H.G, Problem 4, str. 4] Pokaza´c, ·ze zbiór S wszystkich wektorów z G postaci '(x; y) dla danego odwzorowania dwuliniowego ' : E F ! G
nie musi by´c podprzestrzenia¾ przestrzeni G.
Rozwiazanie:
¾
Niech E = F , G beda¾ 2 i 4 wymiarowymi przestrzeniami, w których baza¾
przestrzeni E jest uk÷
ad a1, a2 oraz baza¾ przestrzeni G jest e1, e2, e3, e4. De…niujemy odwzorowanie dwuliniowe ' wzorem:
'(x; y) =
gdzie x =
1
a1 +
2
1
1
1
e1 +
a2 , y = a1 +
2
e2 +
2
1
e3 +
2
2
e4,
2
a2 . Pokaz·emy, z·e wektor
X
v r
z=
e .
(1)
v
nalez·y do S wtedy i tylko wtedy, gdy zachodzi relacja
'1 ' 4
'2 '3 = 0.
(2)
Za÷
óz·my, z·e wektor z 2 G postaci (1) nalez·y do S. Pokaz·emy, z·e zachodzi relacja
(2). Wez·my z = '(x; y). Mamy
1 1
, '2 (x; y) =
1
2
' 1 '4
' 2 '3 =
1
1
'1 (x; y) =
, '3 (x; y) =
2
1
, '4 (x; y) =
Sprawdzamy:
2
pisa÷Rafa÷Ko÷
ecki:
2
2
1
2
2
1
= 0:
2
2
:
Za÷
óz·my teraz, z·e wektor z postaci (1) spe÷nia relacje¾ (2). Nalez·y stwierdzić,
czy istnieja¾ liczby 1 , 2 , 1 ; 2 takie, z·e
8
1
1
' =
>
>
< 1
1
2
'2 =
2
1 .
' =
>
>
: 3
2
2
'4 =
Przyjmijmy, z·e 1 = 1, stad
¾
ostatnich równań otrzymujemy
1
= '1 ,
2
'3 =
'4 =
2
2
= '2 . Wstawiajac
¾ do dwóch
'1
.
'2
3
nia równanie '4 =
Za÷
óz·my, z·e '1 6= 0. Wówczas 2 = '
'1 . Liczba ta spe÷
'3
2
'2 , poniewaz· wstawiajac
¾ otrzymujemy '4 = ' '2 , co jest równowaz·ne z
1
'1 '4 = '2 '3 . Za÷
óz·my teraz, z·e '1 = 0. Wówczas 1 = 0 oraz '3 = 0,
2
4
= '2 , '4 = 2 '2 . Jez·eli '2 6= 0, to 2 = '
' . Pozostaje przypadek '1 = 0,
2
'2 = 0. Weźmy 1 = 0, 2 = 1. Wówczas z dwóch ostatnich równań dostajemy
1
= ' 3 , 2 = '4 .
Pokaz·emy teraz, z·e istnieja¾ takie wektory z1 , z2 2 S, których róz·nica nie
nalez·y do S, z1 z2 2
= S. Po÷óz·my z1 = 2e1 + 2e2 + e3 + e4 , z2 = e1 + e2 .
Wektory te nalez·a¾ do S, poniewaz· spe÷niaja¾ relacje¾ (2). Natomiast ich róz·nica
z = z1 z2 = e1 + 2e2 + e4 2
= S, poniewaz· wspó÷czynniki nie spe÷niaja¾ równania
(2). Zatem istotnie zbiór S wszystkich wektorów z G postaci '(x; y) dla danego
odwzorowania dwuliniowego ' : E F ! G nie musi być podprzestrzenia¾
przestrzeni G.
Literatura
[W.H.G] W.H.Greub, Multilinear Algebra, Springer-Verlag New York Inc. Nowy
Jork 1967.
3