Obliczenia naukowe i metody numeryczne 3. Całkowanie

Obliczenia naukowe i metody numeryczne
3. Całkowanie numeryczne
Zadanie 1. (Kwadratury interpolacyjne Newtona–Cotesa)
a) Znajdź kwadraturę interpolacyjną z węzłami 0, 1, 2, przybliżającą całkę z funkcji x4 na przedziale
[0, 2].
b) Oblicz wartości całki z funkcji f (x) = x−1 na przedziale [2, 6] metodami:
(i) trapezów,
(ii) parabol/Simpsona,
(iii) złożonej trapezów (dla różnej ilości węzłów n=3, n=7),
(iv) złożonej parabol (dla różnej ilości węzłów n=4, n=6).
Oszacuj błąd każdej kwadratury.
c) Oblicz przybliżoną wartość ln 4 wzorem złożonym trapezów z krokiem h=1, h=0.5. Oszacuj błąd.
d) Sprawdź, czy wzór parabol jest dokładny dla wielomianów stopnia 3.
e) Na ile podprzedziałów (przynajmniej) należy podzielić przedział [0, 1], aby uzyskać przybliżoną
R1 dx
z błędem mniejszym niż 0.001?
wartość
0 1+x
Zadanie 2. (Praca domowa, 10.04.08r)
Napisz aplikację służącą do obliczania wartości całki oznaczonej (dla zadanych: funkcji podcałkowej, przedziału całkowania, żądanej dokładności wyniku dla wzorów złożonych). Wyświetl wyniki w ten sposób,
aby można było porównać wartości całki dla metod:
a)
b)
c)
d)
trapezów,
parabol/Simpsona,
złożonej trapezów,
złożonej parabol.
Wygeneruj wyniki dla następujących zestawów danych:
a) sin x, [0, 3], ε = 0.001,
b) x2 − 1, [−2, 2], ε = 0.0005,
c) (x + 1)−1 , [0, 1], ε = 0.0001.