Zestaw 10

Metody Numeryczne
Notatka 10
Jakub Olczyk
Koło Naukowe Wolnego Oprogramowania
13 czerwca 2015
Zestaw 10
Na egzamin należy umieć zrobić dwie rzeczy:
• policzyć całkę numerycznie
• Wyprowadzić wzorek na policzenie całki
Oznaczenie
I=
Z b
f (x)dx
a
Metoda trapezów
Bieżemy końce przedziału [a, b] i pomiędzy nimi puszczamy linię prostą, utworzy się nam trapez,
którego pole będzie przybliżać nam wartość całki.
I≈
b−a
(f (a) + f (b))
2
(1)
Rysunek 1: Metoda Trapezów
Jednak jak widać na rysunku nie jest to zbyt dokładna metoda.
1
Metoda parabol (Simpsona)
Tym razem będziemy się starać przybliżyć całkę za pomocą funkcji kwadratowej. Będziemy brać
punkty z końców przedziału [a, b] oraz punkt w jego środku i przez nie interpolować dwumian kwadratowy.
Rysunek 2: Metoda Simpsona
b−a
(f (a) + 4 · f
I≈
6
!
a+b
+ f (b))
2
(2)
Złożona metoda trapezów
Stąd pomysł na złożoną metodę trapezów, gdzie będziemy dzielić przedział [a, b] na n przedziałów,
w których będziemy przybliżać metodą trapezów.
Rysunek 3: Złożona metoda trapezów
b−a
I≈
n
f (a)
f (b)
) + f (x1 ) + f (x2 ) + · · · + f (xn−1 ) +
2
2
!
Jak widać w tym wypadku jest ona już dużo dokładniejsza.
2
(3)
Złożona metoda parabol
Jest analogiczna do złożonej metody trapezów.
Zadanie 4
f (x) = sin x
I=
Z π
f (x)dx
analitycznie
=
0
[− cos x]π0 = 2
a) metoda trapezów (n=1)
I≈0
f (a) = f (b) = 0
b) metoda trapezów (n= 2)
π
π
I ≈ (0 + 1 + 0) = ≈ 1.5708
2
2
f
a+b
2
!
=1
c) metoda Simpsona
I≈
π
2
(0 + 4 · 1 + 0) = π ≈ 2.0944
6
3
Zadanie 9
Jak sobie radzić z wyprowadzaniem wzorów.
Treść: Dla [a, b] = [0, 2] znaleźć takie A, B, C, żeby wzór
Z b
f (x)dx ≈ A · f (0) + B · f (1) + C · f (2)
a
był dokładny dla wielomianów możliwie wysokiego stopnia. Jaki jest maksymalny stopień?
Rozwiązanie:
Trzeba zauważyć, że mamy tu doczynienia z pewną kombinacją liniową (po prawej stronie) oraz
że całka sama w sobie jest operatorem liniowym. Następnie udowodnić dla kolejnych wielomianów.
p0 (x) = 1 ← wielomian stopnia 0
z liniowości wychodzi, że będzie działać dla dowolnego wielomianu stałego (będzie można wyłączyć
stałą).
Z
(ax + b)dx = a
Z
x dx + b
Z
1 dx
3
Jak to liczyć?
Z 2
dx = 2 = A · 1 + B · 1 + C · 1
0
Z 2
xdx = 2 = A · 0 + B · 1 + C · 2
0
1 3 2 8
= =A·0+B·1+C ·4
x
3 0 3
0
I rozwiązujemy układ równań, żeby otrzymać wszystkie parametry.
Z 2
x2 dx =


 


 


2
1 1 1
2
1 1 1
 A =
 


 


B =
0 1 2 x =  2  =⇒ 0 1 2 x =  2  =⇒


8
2
0
0
2
C =
0 1 4
3
3
Z 2
0
1
3
4
3
1
3
4
1
2−0
1
(f (0) + 4f (1) + f (2))
f (x)dx ≈ f (0) + f (1) + f (2) =
3
3
3
6
No i dostaliśmy wzór Simpsona.
Sprawdźmy dokładność wzoru dla wyższych stopni.
Z 2
x3 dx ≈
0
1 4 2
x =4=L
4 0
4
1
12
1
· 0 + · 1 + · 23 = 4
3
3
3
3
L=P
P =
Działa dla wielomianów stopnia 3!
Z 2
x4 dx =
0
P =
1 5 2 32
x =
=L
5 0
5
1
4
1
20
· 0 + · 1 + · 24 =
3
3
3
3
P 6= L
Nie zachodzi już dla wielomianów stopnia 4 i też dla wyższych. (Musiałoby zachodzić dla wielomianów
niżej żeby mogło zachodzić dla wyższych)
4