Algebra z geometriÄ… - Kolegium Nauczycielskiego w Bielsku

Portal Kolegium Nauczycielskiego w Bielsku-Bia�ej
Algebra z geometriÄ…
Autor: Maciej Muras
Friday, 01 June 2007
PROGRAM PRZEDMIOTAlgebra z geometrią SPECJALNOŚĆMatematyka z informatyką WYMIAR ZAJĘĆ240 godzin,
sem.(2w+3ćw), 2 sem. (2w+3ćw), 3 sem. (2w+2ćw), 4 sem. (1w+1ćw) ROK (SEMESTR)I i II (4semestry) CELE
KSZTAÅ•CENIA Celem nauczania jest zaznajomienie studenta z podstawami algebry ialgebry liniowej i nauczenie go
korzystania z nich oraz zalgebraizacjÄ… geometrii euklidesowej i metodami analitycznymi wrozwiÄ…zywaniu problemów
geometrycznych. MATERIAÅ• NAUCZANIASemestr 1 Grupa, podgrupa, podgrupa generowana. Grupy cykliczne,
abelowe.Grupy przeksztaÅ‚ceÅ„, w szczególnoÅ›ci grupy przeksztaÅ‚ceÅ„pÅ‚aszczyzny (np. izometrii i podobieÅ„stw). Grupy
permutacji.Homomorfizmy, izomorfizmy strukturjednodziałaniowych, ich niezmienniki. Pierścień, ciało, podpierścień,
podciało, podpierścień generowany,podciało generowane. Ciało liczb zespolonych i jego podciała.Przykłady ciał
skończonych. Charakterystyka ciała.Homomorfizmy struktur dwudziałaniowych.Przestrzenie liniowe, podprzestrzenie,
podprzestrzenie generowane.PrzestrzeÅ„ ilorazowa. Liniowa niezależność ukÅ‚adu wektorów, bazaprzestrzeni
(podprzestrzeni), wymiarprzestrzeni (podprzestrzeni), wspóÅ‚rzÄ™dne wektora. Suma prosta. PrzeksztaÅ‚cenia liniowe, jÄ…dro
obraz przeksztaÅ‚cenia liniowego.Macierze, macierz przeksztaÅ‚cenia liniowego. Algebra liniowa, wszczególnoÅ›ci algebra
macierzy, algebra endomorfizmów przestrzeniliniowej. Semestr 2 Wyznaczniki. RzÄ…d macierzy, macierz odwrotna do
macierzynieosobliwej.UkÅ‚ady równaÅ„ liniowych. Macierz przejÅ›cia od bazy do bazy, zwiÄ…zki miedzy wspóÅ‚rzÄ™dnymiwek
różnych bazach, zwiÄ…zki miedzy macierzamiprzeksztaÅ‚cenia liniowego wróżnych bazach. WartoÅ›ci i wektory wÅ‚asne
endomorfizmu przestrzeni liniowej,diagonalizacja macierzy.Przekształcenia dwuliniowe symetryczne i ich reprezentacja
macierzowa.Formy kwadratowe i ich macierze, postać kanoniczna, formyokreślonedodatnio i ujemnie. Przestrzeń liniowa
euklidesowa, baza ortonormalna, ortogonalizacjaSchmidta, postać iloczynu skalarnego w bazie
ortonormalnej.Przekształcenia ortogonalne, macierzowe reprezentacjeprzekształceń ortogonalnych. Orientacja
przestrzeni. Iloczynwektorowy w przestrzeni trójwymiarowej. Semestr 3 Przestrzenie afiniczne, ich podstawowe wÅ‚asnoÅ›ci,
podprzestrzenie.UkÅ‚ady bazowe przestrzeni afinicznej, wspóÅ‚rzÄ™dne punktów,kombinacja barycentryczna punktów, zbiory
wypukÅ‚e, sympleksy,równolegÅ‚oÅ›ciany. ObjÄ™toÅ›ci sympleksów i równolegÅ‚oÅ›cianów.PrzeksztaÅ‚cenia afiniczne.Przestrz
afiniczna euklidesowa, podstawowe pojęcia geometriieuklidesowej. Podprzestrzenie, bazy prostopadłe,
prostokÄ…tneukÅ‚ady wspóÅ‚rzÄ™dnych wE^{3}.Równania pÅ‚aszczyzny: wektorowe, parametryczne,
zwyczajne.WzajemnepoÅ‚ożenie pÅ‚aszczyzn. KÄ…t miedzy pÅ‚aszczyznami, pÄ™k pÅ‚aszczyzn. Równania prostej: wektoro
parametryczne, krawędziowe. Wzajemne położenie prostych i płaszczyzn, kąt między prostymi, kątmiędzy pros
płaszczyzną, odległość prostych skośnych.Krzywe i powierzchnie stopnia drugiego. Elipsa, hiperbola, parabola podstawowe własności afiniczne imetryczne krzywych stożkowych; środek, średnice, bieguny ibiegunowe,asymptoty,
ogniska i kierownice. Czwórka harmoniczna punktów. Stożki, walce, hiperboloidy, paraboloidy, elipsoidy;
podstawowewłasności afiniczne i metryczne tych powierzchni. Płaskieprzekroje powierzchni stożkowych. Powierzchnie
prostokreślne,powierzchnieobrotowe i powierzchnie powstałe przez przesuwanie krzywej po krzywej. Klasyfikacja
afiniczna i metryczna krzywych i powierzchni stopniadrugiego. Grupa izometrii, grupa podobieństw, reprezentacje
analityczneizometrii i podobieństw. Semestr 4 Twierdzenie Lagrange'a i twierdzenieCayley'a. Dzielniki normalne,
kongruencje, grupy ilorazowe. Ideały, kongruencje, ideały pierwsze i maksymalne w pierścieniu.Pierścienie ilorazowe.
Podstawowe twierdzenie o homomorfizmiepierÅ›cieni. PierÅ›cienie wielomianów. PierÅ›cieÅ„caÅ‚kowity, ciaÅ‚o uÅ‚amków pierÅ
caÅ‚kowitego. Elementy teorii liczb (maÅ‚e twierdzenie Fermata) - przykÅ‚adyzastosowaÅ„. PROCEDURY OSIÄ„GANIA CELÓW
EDUKACYJNYCH ZajÄ™cia bÄ™dÄ… odbywać siÄ™ w formie wykÅ‚adów i ćwiczeÅ„. ProwadzÄ…cy wykÅ‚ad i prowadzÄ…
tworzÄ… zespóÅ‚ przedmiotowy, realizujÄ…cy treÅ›ci programowe wedÅ‚ug jednolitego systemu we wszystkich grupach ćwicz
ZAÅ•OÅ»ONE OSIÄ„GNIĘCIA I METODY OCENY ZakÅ‚adane efekty ksztaÅ‚cenia – umiejÄ™tnoÅ›ci i kompetencje:
znajomość definicji aksjomatycznych struktur algebraicznych (grupa, pierścień, ciało, przestrzeń wektorowa, przestrzeń
euklidesowa), opisywanie i analizowanie podstawowych modeli struktur algebraicznych, umiejętność przeprowadzania
rozumowań w ramach aksjomatyki struktur algebraicznych, umiejętność definiowania i analizowania podstawowych
wÅ‚asnoÅ›ci tworówgeometrycznych w przestrzeniach euklidesowych, znajomość podstawowych faktów z teorii liczb.Metody
oceny: systematyczna ocena na ćwiczeniach , kolokwia, sprawdziany, egzaminy pisemne i ustne. ZAŕOŻENIA
DYDAKTYCZNE KONCEPCJI PROGRAMU KsztaÅ‚towanie tzw. idei gÅ‚Ä™bokich tworów matematycznych, umiejÄ™tność
posÅ‚ugiwania siÄ™ formami powierzchniowymi idei gÅ‚Ä™bokich tworów matematycznych, analiza modeli formalnych idei
gÅ‚Ä™bokich tworów matematycznych, wystÄ™pujÄ…cych w matematyce szkolnej.Realizacja treÅ›ci programowych powinna b
Å›ciÅ›le zwiÄ…zana z treÅ›ciami matematyki szkolnej. MateriaÅ‚ powinien być realizowany w taki sposób, aby przygotować
studentów do podjÄ™cia matematycznych studiów drugiego stopnia . LITERATURAJ. Gancarzewicz, Algebra liniowa z
elementamigeometrii, Wydawnictwo UJ, Kraków 1999.B. Gleichgewicht Algebra, Oficyna Wydawnicza GiS, WrocÅ‚aw
2004.F. Leja Geometria analityczna, PWN, Warszawa 1969.A. ŕomnicki, M. Magdoń, M. Żurek-Etgens, Podstawyalgebry
liniowej w zadaniach, WN WSP, Kraków 2000.M. MoszyÅ„ska Geometria z algebrÄ… liniowÄ…, PWN, Warszawa 1989.S.
Przybyło, A. Szlachtowski Algebra i wielowymiarowa geometria analityczna w zadaniach, WN-T, Warszawa 1993.J.
Rutkowski, Algebra abstrakcyjna w zadaniach, PWN, Warszawa 2000.
PROGRAM PRZEDMIOTAlgebra z geometriÄ… SPECJALNOŚĆMatematyka z rewalidacjÄ… uczniów niepeÅ‚nosprawnych
intelektualnie WYMIAR ZAJĘĆ240 godzin, 1 sem.(2w+3ćw), 2 sem. (2w+3ćw), 3 sem. (2w+2ćw), 4 sem. (1w+1ćw) ROK
(SEMESTR)I i II (4semestry) CELE KSZTAÅ•CENIA Celem nauczania jest zaznajomienie studenta z podstawami algebry
ialgebry liniowej i nauczenie go korzystania z nich oraz zalgebraizacjÄ… geometrii euklidesowej i metodami analitycznymi
wrozwiÄ…zywaniu problemów geometrycznych. MATERIAÅ• NAUCZANIASemestr 1 Grupa, podgrupa, podgrupa
generowana. Grupy cykliczne, abelowe.Grupy przeksztaÅ‚ceÅ„, w szczególnoÅ›ci grupy przeksztaÅ‚ceÅ„pÅ‚aszczyzny (np.
_PDF_POWERED
_PDF_GENERATED 7 March, 2017, 03:15
Portal Kolegium Nauczycielskiego w Bielsku-Bia�ej
izometrii i podobieństw). Grupy permutacji.Homomorfizmy, izomorfizmy strukturjednodziałaniowych, ich niezmienniki.
Pierścień, ciało, podpierścień, podciało, podpierścień generowany,podciało generowane. Ciało liczb zespolonych i je
podciała.Przykłady ciał skończonych. Charakterystyka ciała.Homomorfizmy struktur dwudziałaniowych.Przestrzenie
liniowe, podprzestrzenie, podprzestrzenie generowane.PrzestrzeÅ„ ilorazowa. Liniowa niezależność ukÅ‚adu wektorów,
bazaprzestrzeni (podprzestrzeni), wymiarprzestrzeni (podprzestrzeni), wspóÅ‚rzÄ™dne wektora. Suma prosta.
Przekształcenia liniowe, jądro i obraz przekształcenia liniowego.Macierze, macierz przekształcenia liniowego. Algebra
liniowa, wszczególnoÅ›ci algebra macierzy, algebra endomorfizmów przestrzeniliniowej. Semestr 2 Wyznaczniki. RzÄ…d
macierzy, macierz odwrotna do macierzynieosobliwej.UkÅ‚ady równaÅ„ liniowych. Macierz przejÅ›cia od bazy do bazy, zwiÄ…zk
miedzy wspóÅ‚rzÄ™dnymiwektora w różnych bazach, zwiÄ…zki miedzy macierzamiprzeksztaÅ‚cenia liniowego wróżnych
bazach. Wartości i wektory własne endomorfizmu przestrzeni liniowej,diagonalizacja macierzy.Przekształcenia
dwuliniowe symetryczne i ich reprezentacja macierzowa.Formy kwadratowe i ich macierze, postać kanoniczna,
formyokreślonedodatnio i ujemnie. Przestrzeń liniowa euklidesowa, baza ortonormalna, ortogonalizacjaSchmidta, postać
iloczynu skalarnego w bazie ortonormalnej.Przekształcenia ortogonalne, macierzowe reprezentacjeprzekształceń
ortogonalnych. Orientacja przestrzeni. Iloczynwektorowy w przestrzeni trójwymiarowej. Semestr 3 Przestrzenie afiniczne,
ich podstawowe wÅ‚asnoÅ›ci, podprzestrzenie.UkÅ‚ady bazowe przestrzeni afinicznej, wspóÅ‚rzÄ™dne punktów,kombinacja
barycentryczna punktów, zbiory wypukÅ‚e, sympleksy,równolegÅ‚oÅ›ciany. ObjÄ™toÅ›ci sympleksów i
równolegÅ‚oÅ›cianów.PrzeksztaÅ‚cenia afiniczne.PrzestrzeÅ„ afiniczna euklidesowa, podstawowe pojÄ™cia geometriieuklidesow
Podprzestrzenie, bazy prostopadÅ‚e, prostokÄ…tneukÅ‚ady wspóÅ‚rzÄ™dnych wE^{3}.Równania pÅ‚aszczyzny: wektorowe,
parametryczne, zwyczajne.WzajemnepoÅ‚ożenie pÅ‚aszczyzn. KÄ…t miedzy pÅ‚aszczyznami, pÄ™k pÅ‚aszczyzn. Równania
prostej: wektorowe, parametryczne, krawędziowe. Wzajemne położenie prostych i płaszczyzn, kąt między prostymi,
kątmiędzy prostą i płaszczyzną, odległość prostych skośnych.Krzywe i powierzchnie stopnia drugiego. Elipsa, h
parabola - podstawowe własności afiniczne imetryczne krzywych stożkowych; środek, średnice, bieguny
ibiegunowe,asymptoty, ogniska i kierownice. Czwórka harmoniczna punktów. Stożki, walce, hiperboloidy, paraboloidy,
elipsoidy; podstawowewłasności afiniczne i metryczne tych powierzchni. Płaskieprzekroje powierzchni stożkowych.
Powierzchnie prostokreślne,powierzchnieobrotowe i powierzchnie powstałe przez przesuwanie krzywej po krzywej.
Klasyfikacja afiniczna i metryczna krzywych i powierzchni stopniadrugiego. Grupa izometrii, grupa podobieństw,
reprezentacje analityczneizometrii i podobieństw. Semestr 4 Twierdzenie Lagrange'a i twierdzenieCayley'a. Dzielniki
normalne, kongruencje, grupy ilorazowe. Ideały, kongruencje, ideały pierwsze i maksymalne w pierścieniu.Pierścienie
ilorazowe. Podstawowe twierdzenie o homomorfizmiepierÅ›cieni. PierÅ›cienie wielomianów. PierÅ›cieÅ„caÅ‚kowity, ciaÅ‚o uÅ‚am
pierścienia całkowitego. Elementy teorii liczb (małe twierdzenie Fermata) - przykładyzastosowań. PROCEDURY
OSIÄ„GANIA CELÓW EDUKACYJNYCH ZajÄ™cia bÄ™dÄ… odbywać siÄ™ w formie wykÅ‚adów i ćwiczeÅ„. ProwadzÄ…c
prowadzÄ…cy ćwiczenia tworzÄ… zespóÅ‚ przedmiotowy, realizujÄ…cy treÅ›ci programowe wedÅ‚ug jednolitego systemu we
wszystkich grupach ćwiczeÅ„. ZAÅ•OÅ»ONE OSIÄ„GNIĘCIA I METODY OCENY ZakÅ‚adane efekty ksztaÅ‚cenia –
umiejętności i kompetencje: znajomość definicji aksjomatycznych struktur algebraicznych (grupa, pierścień, ciało,
przestrzeń wektorowa, przestrzeń euklidesowa), opisywanie i analizowanie podstawowych modeli struktur algebraicznych,
umiejętność przeprowadzania rozumowań w ramach aksjomatyki struktur algebraicznych, umiejętność definiowania i
analizowania podstawowych wÅ‚asnoÅ›ci tworówgeometrycznych w przestrzeniach euklidesowych, znajomość
podstawowych faktów z teorii liczb.Metody oceny: systematyczna ocena na ćwiczeniach , kolokwia, sprawdziany,
egzaminy pisemne i ustne. ZAŕOŻENIA DYDAKTYCZNE KONCEPCJI PROGRAMU Kształtowanie tzw. idei głębokich
tworów matematycznych, umiejÄ™tność posÅ‚ugiwania siÄ™ formami powierzchniowymi idei gÅ‚Ä™bokich tworów matematy
analiza modeli formalnych idei gÅ‚Ä™bokich tworów matematycznych, wystÄ™pujÄ…cych w matematyce szkolnej.Realizacja tre
programowych powinna być ściśle związana z treściami matematyki szkolnej. Materiał powinien być realizowany w tak
sposób, aby przygotować studentów do podjÄ™cia matematycznych studiów drugiego stopnia . LITERATURAJ. Gancarzewic
Algebra liniowa z elementamigeometrii, Wydawnictwo UJ, Kraków 1999.B. Gleichgewicht Algebra, Oficyna Wydawnicza
GiS, Wrocław 2004.F. Leja Geometria analityczna, PWN, Warszawa 1969.A. ŕomnicki, M. Magdoń, M. Żurek-Etgens,
Podstawyalgebry liniowej w zadaniach, WN WSP, Kraków 2000.M. MoszyÅ„ska Geometria z algebrÄ… liniowÄ…, PWN,
Warszawa 1989.S. Przybyło, A. Szlachtowski Algebra i wielowymiarowa geometria analityczna w zadaniach, WN-T,
Warszawa 1993.J. Rutkowski, Algebra abstrakcyjna w zadaniach, PWN, Warszawa 2000.
_PDF_POWERED
_PDF_GENERATED 7 March, 2017, 03:15