Aksjomaty teorii - prof. Dr hab. Piotr Liszka CMF

o. prof. Dr hab.
Piotr Liszka CMF
o. prof. Dr hab. Piotr Liszka CMF
51-611 Wrocław, ul. Wieniawskiego 38
www.piotr-liszka.strefa.pl
+ Aksjomaty teoretyczne fundamentem analiz historycznych. „Problem
stosunku analiz historycznych do założeń teoretycznych należy do
najbardziej kontrowersyjnych i nigdy do końca nie rozstrzygniętych na
terenie dyscyplin humanistycznych. Stanowi on główny temat książki Silvii
Feretti pod tytułem Cassirer – Panofsky – Warburg. Symbol – Art. – History,
której oryginał włoski został opublikowany w roku 1984” (Transl. By R.
Pierce, New Haven-London 1989)” /E. Wolicka, Między teorią a historią.
Ważny epizod rozważań o metodzie interpretacji humanistycznej, w: Czas i
wyobraźnia. Studia nad plastyczną i literacką interpretacja dziejów, red. M.
Kitowska-Łysiak, E. Wolicka, Lublin 1995, 11-46, s. 11/. „Środowisko
uczonych skupionych wokół seminarium dyskusyjnego – nazwanego później
Instytutem – założonego przez Aby Warburga w 1919 roku w Hamburgu i
zaopatrzonego w słynną Bibliotekę pozostawiło po sobie bogaty materiał
zarówno analitycznych badań szczegółowych, jak i przemyśleń generalnych,
do dziś wywołujących liczne dyskusje w kręgach humanistów i filozofów
kultury. […] Historycy sztuki Aby Warburg i Erwin Panofsky interesowali się
zagadnieniem teoretycznych podstaw swojej dyscypliny w bezpośrednim
związku ze szczegółowymi badaniami zjawisk artystycznych epoki renesansu.
Historyk idei Ernest Cassirer nadał temu zagadnieniu postać najbardziej
spójną od strony filozoficznej, ale też najbardziej dyskusyjną. Feretii skupia
się na trzech kluczowych ideach stanowiących egzemplifikację centralnego
problemu: na idei historii (historyczności), idei symbolu oraz idei sztuki”
/Tamże, s. 12/. „We wstępie do swej książki pisze: „Związek między
symbolem, obrazem i wyobraźnią twórczą z jednej strony a czasem
historycznym odsłaniającym znaczenia z drugiej strony postrzegany był jako
motyw przewodni, który zbliżył do siebie owych trzech badaczy, każdy
bowiem z nich konstruował własny pogląd na historię i własny warsztat
historiograficzny na bazie podstawowego tematu” (Feretii, dz. cyt., s. XV).
Celem jej pracy jest weryfikacja tego, w jakim stopniu odmienne koncepcje
wspomnianego związku okazywały się jednak zbieżne i wpływały na siebie
nawzajem, przyczyniając się do wspólnej, świadomej ewolucji owych idei”
(Tamże, s. CVII)” /Tamże, s. 13.
+ Aksjomaty teoretyczne mogą być usprawiedliwione z zewnątrz, tzn. poprzez
swoje konsekwencje „Podstawowym źródłem wiedzy matematycznej jest
intuicja. Wystarcza ona do wyjaśnienia i ugruntowania prostych pojęć i
aksjomatów. Nie musi być jednak pojmowana jako dająca nam wiedzę
matematyczną bezpośrednią. Dane intuicji mogą być rozwijane poprzez
głębsze badanie obiektów, które może doprowadzić do przyjęcia nowych
stwierdzeń jako aksjomatów. Na skutek tego wiedza matematyczna nie jest
tylko wynikiem biernej kontemplacji danych intuicyjnych, a jest rezultatem
aktywności umysłu, która ma charakter dynamiczny i kumulatywny.
Założenia bardziej teoretyczne mogą być usprawiedliwione z zewnątrz, tzn.
poprzez swoje konsekwencje (czyli przez to, że pozwalają rozwiązywać
problemy dotąd nie rozwiązane, że pozwalają na wyciąganie różnych
1
o. prof. Dr hab.
Piotr Liszka CMF
interesujących wniosków). Gödel ma tu na myśli konsekwencje zarówno w
samej matematyce, jak i w fizyce. To oraz fakt, że istnieją hipotezy
uzasadniane za pomocą środków pozaintuicyjnych, zewnętrznych w
stosunku do matematyki, powoduje, że przestaje ona być wiedzą a priori.
Gödel przedstawiał i wyjaśniał swe poglądy filozoficzne na matematykę
przede wszystkim w związku z problemami teorii mnogości, a w szczególności
w związku z problemem kontinuum. Był przekonany, że hipoteza kontinuum
ma ściśle określoną wartość logiczną, tzn. jest prawdziwa lub fałszywa, choć
nie potrafimy tego obecnie rozstrzygnąć” /Murawski R. Filozofia matematyki.
Zarys dziejów, PWN Warszawa 1995, s. 139/. „Udowodnienie przez niego
samego w roku 1938 niesprzeczności hipotezy kontinuum, zaś przez Paula
Cohena w roku 1963 – jej niezależności od aksjomatów teorii mnogości
potwierdziło to, co Gödel głosił już wcześniej, a mianowicie, że do
rozstrzygnięcia hipotezy kontinuum potrzebne są nowe aksjomaty dotyczące
zbiorów (czyli pewne nowe własności uniwersum wszystkich zbiorów). Gödel
postulował
badanie
nowych
silnych
aksjomatów
nieskończoności
(postulujących istnienie dużych liczb kardynalnych) twierdząc, że mogą z nich
wynikać również nowe interesujące konsekwencje arytmetyczne. Postulował
też rozważanie aksjomatów opartych na zupełnie innych ideach niż
dotychczas przyjmowane. Aksjomaty takie nie muszą być bezpośrednio
oczywiste” /Tamże, s. 140.
+ Aksjomaty teoretyczne systemu Zaplecze infrastruktury intelektualnej
przeciwnika głębokie rażone skutecznie przez broń intelektualną masową.
„rozmowa Emila Morgiewicza z Kazimierzem Januszem przeprowadzona
jesienią roku 1979 i opublikowała ją wówczas „OPINIA”. Czasopismo ruchu
Obrony Praw Człowieka (s. 12-17) / E. M. […] marksizm nie tylko cywilizację
stepowo-bizantyjską uratował, lecz nawet doprowadził ją do swoistego
apogeum dając m.in. nową motywację jej despotyzmowi i ekspansjonizmowi.
/ K.J. – Istnieją cywilizacje tzw. sakralne, gdzie wszystkie dziedziny życia
określone są przez religię (np. indyjska, judajska), czy półsakralne (jak np.
cywilizacja islamu). W cywilizacjach tych ewentualny zanik religii oznacza
destrukcję i upadek całej cywilizacji [Wydaje mi się, że nie, w buddyzmie i
hinduizmie jest panteizm, gdy w miejsce bóstwa duchowego pojawi się
materia jako boska, przejmuje wszystkie cechy Absolutu a cały układ
pozostaje bez zmian. W judaizmie faktycznie pojawia się nowa cywilizacja, w
islamie podobnie; ale wiele elementów pozostaje, ponieważ pochodzą od
ludzi, a nie od Boga. Tendencja taka istnieje od początku tych cywilizacji].
System sowiecki jest bardzo zbliżony do cywilizacji sakralnej. Rolę
sakralizującej religii pełni tu marksizm-leninizm. Jeżeli więc teraz narasta w
Rosji proces ideologicznego zeświecczenia, czyli jeśli oficjalna ideologia traci
wyznawców, to tym samym obecna faza istniejącej tam cywilizacji traci
uczestników. Inaczej mówiąc, jeśli upada tam wiara w ideologie, zanika tym
samym oparcie dla wszystkich struktur, które się na niej zasadzały i
struktury te niejako wiszą w powietrzu. Narasta proces prowadzący do
kryzysu cywilizacji. […] Na froncie walki z naszym przeciwnikiem, tzn. z
systemem sowieckim, istnieje po naszej stronie niedowład ofensywnej broni
strategicznej, broni która by mogła skutecznie razić zarówno – jeśli tak
można nazwać – infrastrukturę intelektualną przeciwnika na głębokim
zapleczu (założenia teoretyczne systemu), jak też powodować strategiczne
2
o. prof. Dr hab.
Piotr Liszka CMF
wyłomy w pierwszych liniach jego umocnień (opierające się na założeniach
teoretycznych układy polityczne). […] Książka zawiera specyficzną definicję
przeciwnika, zgodnie z którą system sowiecki nie jest realizacją marksowskiej
ostatniej formacji społeczno-ekonomicznej, lecz – w zakresie struktur
politycznych – okazuje się jedynie nowym, tym razem marksowskim,
wcieleniem despotycznych tradycji Azji: tradycji mongolsko-tatarskich i
bizantyjskich. Nie jest więc on – jak do tego pretenduje – systemem
uniwersalnym, lecz zjawiskiem lokalnym” /K. Janusz, Konfrontacje Rosja –
Zachód. Zderzenie dwóch cywilizacji, Wydawnictwo Antyk, Komorów 1997, s.
15.
+ Aksjomaty teoretyczne Tomasza z Akwinu nie zostały rozwinięte przez
tradycję filozofii tomistycznej. Etyka Kanta „podzielona jest metodologicznie
na dwie części. Z jednej strony mamy imperatyw kategoryczny, który jest
wewnętrznym elementem ludzkiej subiektywności i rozumu praktycznego.
Nie opiera się on na żadnym doświadczeniu, lecz jest logiczną kategorią a
priori działania moralnego. W tym aspekcie etyka utożsamia się z logiką
czystego myślenia moralnego. Z drugiej strony mamy ogół przeżyć
emocjonalnych,
które
ostatecznie
analizować
można
jedynie
z
psychologicznego punktu widzenia (homo phenomenon brakuje bowiem
elementu wolności). Schelerowi, pomimo jego krytyki Kanta, nie udaje się
przezwyciężyć tego dualizmu. W jego ramach Kanta interesuje wyłącznie
logika myślenia moralnego, natomiast Scheler absolutyzuje znaczenie
psychologii fenomenów życia moralnego” F1W063 114. Tomizm w ujęciu
Karola Wojtyły zostaje „oczyszczony i poszerzony: oczyszczony z przygodnych
uwarunkowań związanych z mentalnością konkretnego czasu; poszerzony
natomiast w tym sensie, że tradycyjny tomizm esencjalny uzupełniony
zostaje o wymiar egzystencjalny. Wymiar ten ma oczywiście oparcie w
teoretycznych założeniach św. Tomasza, nie został on jednak rozwinięty
przez tradycję filozofii tomistycznej. Ujawnia się w ten sposób istotnie
twórczy charakter powrotu do źródeł; wierność tradycji prowadzi do odkrycia
i waloryzacji tych nowych elementów, które odpowiadają duchowemu
klimatowi naszych czasów” F1W063 118.
+ Aksjomaty teoretyczne wpłynęły na Kopernika, a nie tylko obserwacje.
„Autor proponuje przyjrzenie się konkretnej postawie badawczej i pracy
uczonych i w tym celu analizuje postępowanie badawcze Kopernika oraz
pracę twórców fizyki atomowej. Wskazuje, że do przyjęcia modelu
heliocentrycznego skłoniły Kopernika – obok obserwacji – pewne założenia
teoretyczne (zasady dynamizmu, harmonii i prostoty opisu) prowadzące do
przyjęcia 7 aksjomatów szczegółowych. Wszystko to było uwarunkowane
pewnymi przedzałożeniami, mianowicie przeświadczeniem o: a) istnieniu
przedmiotu badań, b) możliwości jego poznania, c) możliwości postępu w
poznaniu naukowym. Ten zespół przedzałożeń Lubański nazywa realizmem
naukowym. Analizując postępowanie badawcze fizyków atomowych na
przykładzie zagadnienia przyczynowości i problemu natury mikroświata
(odmiennej od makroświata) dochodzi do stwierdzenia tych samych
przedzałożeń, które stwierdził w postępowaniu badawczym Kopernika, a to
oznacza, że mają one walor ogólnonaukowy. Są wyrazem realizmu
naukowego, który – jako zespół założeń – funkcjonuje w postępowaniu
badawczym przedstawicieli nauk przyrodniczych. Dokonując refleksji nad
3
o. prof. Dr hab.
Piotr Liszka CMF
głównymi tezami bioelektronicznej teorii życia, sformułowanej przez W.
Sedlaka, a w szczególności w nawiązaniu do tytułu dwóch prac tego autora
Życie jest światłem (1985) i na początku było jednak światło (1986), ks.
Lubański kreśli historię idei i symboliki światła od czasów
starotestamentalnych, poprzez myśl grecką i chrześcijańską, do metafizyki
światła w ujęciu Roberta Grosseteste. Tu już zaznacza się przejście z
płaszczyzny teologiczno-metafizycznej na teren fizyczny, do badań z zakresu
optyki stosującej rozumowania typu matematycznego. Wykorzystując tego
rodzaju ilustracje, Autor pokazuje, że konieczne jest rozwijanie filozofii
naukowej. Postępy nauk szczegółowych inspirują umysł ludzki do rozważań
filozoficznych, do refleksji nad przyjmowanymi przez naukę założeniami, nad
wartością poznawczą stosownych metod, strukturą teorii itp.” /A. Latawiec,
A. Lemańska, Sz. W. Ślaga, Poglądy filozoficzne profesora Mieczysława
Lubańskiego, „Studia Philosophiae Chrisianae, ATK, 1994, t. 30, z. 2, 11-64,
s. 13.
+ Aksjomaty teorii filozoficznej odrzucone w procesie przekazywania doktryny
chrześcijańskiej.
Amor
Ruibal
nie
zadawala
się
rozwiązaniem
scholastycznym, traktującym dogmat jako coś ukonstytuowanego w pełnym
sensie już od początku, lecz również nie akceptuje krytyki liberalnej, która
widzi w nim produkt greckiej filozofii. Uważa obie postawy za aprioryczne.
Nie zwracają one uwagi na historyczne realia, lecz starają się dostosować
wydarzenia do formuł zawartych w apriorycznych systemach. Ruibal
poszukuje ujęcia bardziej wyważonego i realistycznego, za pomocą
fundamentalnego rozróżnienia (które jest zasadą całości jego dzieła) na
didache i gnosis. Chrześcijaństwo to przede wszystkim didache, czyli
doktryna konkretna, nauczanie religijne i moralne przekazywane mocą
autorytetu tradycji bez założeń jakiejś teorii filozoficznej. Doktryna
chrześcijańska jest kompletna już od początku w sensie posiadania od
początku niezmiennej prawdy. Kontakt z różnymi nurtami filozoficznymi,
potrzeby dydaktyczne i apologetyczne oraz wewnętrzna konieczność
metodycznej systematyzacji zmuszają do prezentowania tej doktryny również
na sposób rozumowych refleksji. Tak tworzona jest teologia, swoista gnosis
Tu jest dopiero miejsce na historię i ewolucję, na wpływ filozofii i na
teoretyczne oscylacje. W tym też sensie Ruibal bada uwarunkowania
historyczne i filozoficzne, pragnąc zarówno głębszego zrozumienia
otrzymanych dogmatów, jak i ich aktualnego ukazywania w współczesnym
świecie T31.6 40.
+ Aksjomaty teorii intertekstualności Kristevy J. Teoria intertekstualności
bada podstawy analizy narracyjnej tekstu. „Pojęcie intertekstualności
proponowane przez J. Kristevę zacieśnia Klaus W. Temper. Według niego
odnosi się ono wyłącznie do relacji pomiędzy poszczególnymi tekstami. Teoria
intertekstualności J. Kristevy spotkała się z krytyką wielu uczonych, którzy
[…] próbowali zmodyfikować jej poglądy. Niezależnie jednak od
reprezentowanych przez nich pozycji można w teorii intertekstualności
wskazać pewne istotne i niekwestionowane przez wszystkich założenia. […]
Istotną cechą pojęcia intertekstualności jest idea relacji. Intertekst zakłada
relację pomiędzy dwoma tekstami. Za J. Kristevą można przyjąć dwie relacje
intertekstualne. W wymiarze horyzontalnym jest to relacja typu: tekst
autora-tekst odebrany przez czytelnika, natomiast w wymiarze wertykalnym
4
o. prof. Dr hab.
Piotr Liszka CMF
relacja typu: tekst-prateks, czyli tekst późniejszy-tekst pierwotny” /J.
Czerski, Metody interpretacji Nowego Testamentu, Wydział Teologiczny
Uniwersytetu Opolskiego, Opolska Biblioteka Teologiczna 21, Opole 1997, s.
226/. Tekst połączony jest z innymi tekstami siecią relacji (relacje
intertekstualne). „Każdy tekst jest rodzajem reakcji na inny, wcześniejszy
tekst, który również był reakcją na tekst wcześniejszy od niego. W ten sposób
powstaje cały łańcuch zależności jednych tekstów od drugich. Teoria
intertekstualności ma tu na uwadze nie tylko teksty literackie, lecz wszelkie
teksty, a więc nawet każde wyrażenie używane w języku codziennym.
Dotyczy to również semiotyki tekstu oraz przedmiotów, do których tekst się
odnosi. Poszczególne elementy strukturalne jakiegoś tekstu, jego słownictwo,
syntaksa, semantyka dzielą swoje charakterystyczne cechy z innymi
tekstami. Podobnie każdy przedmiot, który tekst opisuje, został już wcześniej
omówiony lub opisany. Inaczej: każdy tekst jest w zasadzie intertekstem, lub
jak sformułował to Harold Bloom: nie istnieje żaden tekst, lecz tylko relacje
między tekstami. Oznacza to w konsekwencji, że tekst można traktować
synchronicznie jako zamkniętą, samodzielną jednostkę tylko w aspekcie
syntagmatycznym, natomiast w aspekcie pragmatycznym należy zawsze brać
pod uwagę jego odniesienia do innych tekstów” /Tamże, s. 227.
+ Aksjomaty teorii kategoryzacji klasycznej odrzucone przez kognitywizm,
stworzonej jeszcze w starożytnej Grecji. „Wszystkie nurty lingwistyki, kładące
nacisk na kulturowe aspekty języka (np. neohumboldtowska „gramatyka
treści”, etnolingwistyka amerykańska, badania językowego obrazu świata),
próbują dotrzeć do tego, jak rozmaite społeczności językowe świat
postrzegają, jak go – za pomocą języka właśnie – porządkują i wartościują.
Dopiero jednak kognitywizm zakwestionował podstawowe założenia
klasycznej teorii kategoryzacji, stworzonej jeszcze w starożytnej Grecji. […]
zgodnie z ujęciem klasycznym o przynależności kategorialnej decyduje
koniunkcja cech koniecznych i wystarczających. W efekcie kategoria ma
ostre granice, a wszystkie jej elementy są sobie równoważne (innymi słowy –
dany element należy lub nie do kategorii w pewnym stopniu czy w jakimś
sensie, lepszych lub gorszych elementów kategorii). Badania, zwłaszcza
psychologii kognitywnej, ujawniły psychologiczną nierealistyczność tej teorii.
Wcześniej jej nieadekwatność spostrzegł Wittgenstein – w Dociekaniach
filozoficznych – posłużył się metaforą podobieństwa rodzinnego, by dać wyraz
przekonaniu, że kategoria jest ustrukturowana nie za pomocą cech
kryterialnych, lecz za pomocą krzyżującej się sieci podobieństw” R.
Grzegorzykowa i A. Pajdzińska, Wstęp, w: Językowa kategoryzacja świata,
red. R. Grzegorzykowa i A. Pajdzińska, Wydawnictwo Uniwersytetu Marii
Curie-Skłodowskiej, Lublin 1996, s. 7/. „Podobieństwo odgrywa też istotną
rolę w kogniwistycznej koncepcji kategoryzacji przez prototyp. Ujęcie
prototypowe próbuje wyjaśnić preteoretyczną intuicję, iż kategorie
semantyczne często mają rozmyte granice i pozwalają stopniować
przynależność elementów. W kategorii prototypowej status elementów nie
jest jednakowy: niektóre z nich są centralne, inne – peryferyjne, w zależności
od stopnia podobieństwa do prototypu. Dzięki temu możliwe się staje
wiązanie nowych danych bez konieczności zasadniczego przebudowania
systemu kategorii. Kategorie prototypowe są znakomicie dostosowane do
równoczesnego spełniania wymogu strukturalnej stabilności i elastycznej
5
o. prof. Dr hab.
Piotr Liszka CMF
adaptacyjności – w przeciwieństwie do sztywnych kategorii klasycznych. Nie
znaczy to jednak, że we wszystkich wypadkach koncepcja prototypowa ma
większą siłę wyjaśniającą niż klasyczna. Co więcej: niemal dokładnie
odwrotny rozkład mocnych i słabych stron obu koncepcji sugeruje, iż pewna
część systemu poznawczego wykorzystuje pojęcie zgodne z koncepcją
klasyczną, inna część zaś – zgodnie z koncepcją prototypową” /Tamże, s. 8.
+ Aksjomaty teorii matematycznej zajmującej się prawami, które rządzą
zjawiskami przypadkowymi, czyli inaczej losowymi, sformułował
Kołmogorow A. N. „Termodynamika zakładała, że rozkład prędkości
cząsteczek układu znajdującego się w równowadze jest chaotyczny. (W
zadanej chwili czasu położenia cząsteczek są przypadkowe.) Te, które
zdarzają się najczęściej, nazywamy najbardziej prawdopodobnymi.
Takimi właśnie okazywały się średnie prędkości cząsteczek gazu; tych
najwolniejszych i o największej prędkości jest bardzo niewiele. W tej
sytuacji jedyną sensowną metodę widziano w potraktowaniu zbioru
cząsteczek jako u k ł a d u s ta ty sty c z neg o, do którego można
zastosować metody rachunku prawdopodobieństwa. Przekonanie o
jedynie ścisłym mechanicznym opisie zjawisk panowało do końca XIX
wieku, kiedy to coraz większe zastosowanie znalazła teoria
prawdopodobieństwa; wykorzystano ją także w termodynamice.
Rachunek prawdopodobieństwa jest teorią matematyczną zajmującą się
prawami, które rządzą zjawiskami p r z y p a d k o w y mi, czyli inaczej
losowymi. Pierwsze teoretyczne prace powstały w XVIII wieku i dotyczyły
gier hazardowych, którymi zainteresowali się matematycy B. Pascal i P.
Fermat. Przełomem jednak były prace A. N. Kołmogorowa, który
sformułował aksjomaty teorii; odtąd jest ona uważana za dział
matematyki. Rachunek prawdopodobieństwa przedstawia dowód twierdzenia, że statystyczne własności układu zawierającego ogromną ilość
elementów podlegających działaniu wielkiej ilości niezależnych od siebie
czynników, można opisać r o z k ł a d e m Ga ussa. Z braku możliwości
ścisłego rozwiązania równań ruchu cząsteczek gazu zastosowano ów
rozkład do termodynamiki. Prawa dynamiki Newtona wraz z
zapożyczoną ze statystyki funkcją Gaussa, stanowią podstawę
termodynamiki statystycznej. Opierając się na rozkładzie Gaussa,
wprowadził Maxwell kinetyczno-molekularną teorię gazu (dla gazu
doskonałego) i uzyskał rozkład prędkości, zwany rozkładem MaxwellaBoltzmanna. Należy jednak zdawać sobie sprawę, że prawo Gaussa
opisuje układy, nie wnikając w ich istotę; w taki sam sposób można
przedstawić rozrzut wyników losowania gry liczbowej, wypadków
śmiertelnych w przebiegu epidemii, rozkładu mas gwiazd Galaktyki
itd.” /H. Korpikiewicz, Statystyka - przypadek - synchroliczność, w: Między
matematyką a przyrodoznawstwem, red. nauk. E. Piotrowska, D.
Sobczyńska, Uniwersytet im. Adama Mickiewicza w Poznaniu, Wydawnictwo
Naukowe Instytutu Filozofii, Poznań 1999, 219-233, s. 219.
+ Aksjomaty teorii matematyki formalnej ukryte odpowiedzialne są błędy w
rozumowaniu; matematyka stosowana zmusza do poszukiwania ich. „Urodził
się w roku 1922 na Węgrzech, nazywał się wówczas Imre Lipschitz. Wojnę,
podczas której większość jego rodziny zginęła w Oświecimy, przeżył pod
nazwiskiem bardziej aryjskim Molnár. Po wojnie zmienił nazwisko raz
6
o. prof. Dr hab.
Piotr Liszka CMF
jeszcze, tym razem na bardziej pospolite: Lakatos (co odpowiada polskiemu
(Kowalski). […] stał się aktywnym członkiem partii komunistycznej. […]
Aresztowany jako „rewizjonista” w 1950 r., spędził ponad trzy lata w
więzieniu, w tym rok w pełnej izolacji. […] Po wydarzeniach 1956 r., znów
zagrożony aresztowaniem, Imre Lakatos opuścił Węgry” /W. Sady, Wstęp, w:
/I. Lakatos, Pisma z filozofii nauk empirycznych, przeł. W. Sady, Warszawa
1995, IX-XXVII, s. IX/. „w pracy doktorskiej pt. Szkice z logiki odkrycia
matematycznego pisał o śmiałym formułowaniu hipotez. Nauki empiryczne
różnią się od metafizyki tym, że tezy metafizyki są skostniałe, a tezy naukowe
są coraz bardziej śmiałe. Lakatos dowodził, że „rozwój teorii matematycznych
podlega regułom w dużej mierze analogicznym do Popperowskich reguł
rozwoju nauk empirycznych. Idea była z grubsza rzecz biorąc taka, że
formalnym teoriom matematycznym (matematyka „czysta”) towarzyszą
nieformalne (matematyka „stosowana”). Te pierwsze są śmiałymi hipotezami,
te drugie zaś dostarczają kontrprzykładów, co zmusza matematyków
„czystych” do poszukiwania w swych systemach ukrytych założeń,
odpowiedzialnych za ujawnione luki” /Tamże, s. X/. „Te założenia
modyfikuje się następnie tak, by kontrprzykłady przekształcić w przykłady, a
to wiedzie z kolei do udoskonalenia całego systemu. […] Zdaniem Poppera,
dowody, a nawet potwierdzenia, nie odgrywają w procedurach badawczych
żadnej roli: jeśli teoria przeszła pomyślnie przez kolejne próby obalenia,
znaczy to tylko, że nadal powinniśmy takie próby kontynuować; nie znaczy to
natomiast, że którykolwiek z elementów naszego systemu powinniśmy
traktować jako ustalony. W związku z tym Popper nie sądzi, by – na poziomie
teoretycznym – między kolejnymi systemami powinna zachodzić (i by
faktycznie zachodziła) jakakolwiek interesująca metodologicznie ciągłość.
Lakatos, jeśli chodzi o metodologię matematyki, miał pogląd przeciwny: w
rozwoju matematyki kluczową rolę odgrywają „dowody” (choć słowo to
ujmuje w cudzysłów), co sprawia, że między kolejnymi systemami zachodzi
istotna ciągłość, że nowe dziedziczą po swoich poprzednikach pewne
zasadnicze elementy, z czym wiąże się centralne dla jego metodologii pojęcie
heurystyki” /Tamże, s. XI.
+ Aksjomaty teorii mnogości dobrane odpowiednio uwalniają ją od antynomii.
„Właśnie posługiwanie się intuicyjnym i nieprecyzyjnym pojęciem zbioru
doprowadziło wkrótce do wykrycia antynomii w systemie Cantora, tzn. do
wykrycia par zdań. z których każde w równym stopniu zasługuje na
przyjęcie, lecz które jednocześnie są między sobą sprzeczne i dlatego nie
można przyjąć ich obu. Do najważniejszych z nich należą: antynomia
największej liczby porządkowej, pochodząca od C. Burali-Fortiego, Cantora
antynomia zbioru wszystkich zbiorów oraz Russella antynomia klas
niezwrotnych. Antynomie te zachwiały podstawami systemu Cantora. Okazało
się bowiem, że pojęcie zbioru wymaga sprecyzowania i że nie wystarcza
opieranie się tylko na intuicji. Zaczęto więc szukać takiego ujęcia teorii
mnogości, które byłoby wolne od antynomii. Znalezione rozwiązania można
podzielić na dwie grupy: ujęcia aksjomatyczne i ujęcia w ramach teorii typów
logicznych. W roku 1908 Ernst Zermelo (1871-1953) podał pierwszą
aksjomatykę teorii mnogości /W literaturze znaleźć można też tezę, że główną
motywacją poszukiwania adekwatnego układu aksjomatów dla teorii
mnogości przez E. Zermela były nie paradoksy i dążenie do ich eliminacji, ale
7
o. prof. Dr hab.
Piotr Liszka CMF
próba wyjaśnienia kontrowersji, jakie pojawiły się w związku z jego
dowodem twierdzenia o dobrym uporządkowaniu (1904). Tezę taką głosi na
przykład G. H.Moore w pracy The Origins of Zermelo’s Axiomatizution of Set
Henry/. Wyeliminował on antynomie za pomocą tzw. ograniczenia rozmiaru
zbiorów (ang. limitation of size)” /Murawski R. Filozofia matematyki. Zarys
dziejów, PWN Warszawa 1995, s. 171.
+ Aksjomaty teorii mnogości nie tworzą żadną miarą systemu zamkniętego
„wyniki Gödla i Cohena na temat niesprzeczności i niezależności aksjomatu
wyboru i hipotezy kontinuum w systemie Zermela-Fraenkla mają – oprócz
wskazanych – jeszcze inne konsekwencje. Oznaczają one bowiem, że zawarta
w aksjomatach ZF charakteryzacja zbiorów jest zbyt słaba i niewystarczająca, by móc na jej podstawie rozstrzygnąć na przykład te dwie ważne
szczególne własności. Powstaje więc pytanie o ewentualne wzmocnienie
aksjomatów. K. Gödel pisał na ten temat tak: „Jeżeli bowiem przyjąć jako
trafne (sond) terminy pierwotne teorii mnogości (...), to wynika stąd, iż pojęcia
i twierdzenia teoriomnogościowe opisują rzeczywistość dobrze określoną, w
której hipoteza Cantora musi być albo prawdziwa, albo fałszywa. Zatem jej
nierozstrzygalność na gruncie przyjmowanych dziś aksjomatów może znaczyć
tylko tyle, że aksjomaty te nie zawierają pełnego opisu tej rzeczywistości. (...)
Aksjomaty teorii mnogości nie tworzą żadną miarą systemu zamkniętego,
wprost przeciwnie: samo pojęcie zbioru, na którym są oparte, sugeruje
rozszerzanie ich za pomocą nowych aksjomatów, stwierdzających istnienie
dalszych jeszcze iteracji operacji 'zbiór (czegoś)' (set of)” (What Is Cantor's
Continuum Problem?, wersja z roku 1964, s. 264)” /Murawski R. Filozofia
matematyki. Zarys dziejów, PWN Warszawa 1995, s. 186/. Główny rodzaj
aksjomatów, których dołączenie do teorii ZF się sugeruje, to aksjomaty
nieskończoności postulujące istnienie dużych liczb kardynalnych.
Najprostszy z nich stwierdza istnienie liczb kardynalnych nieosiągalnych, tzn.
liczb kardynalnych zamkniętych ze względu na działania potęgowania i sumowania. Dokładniej: liczba kardynalna m jest nieosiągalna wtedy i tylko
wtedy, gdy: (1) 0 < m , (2) jeżeli n < m, to 2n < m oraz (3) jeżeli A <m i F jest
funkcją ze zbioru A o wartościach będących liczbami kardynalnymi
mniejszymi od m, to x A F(x) < m. Aksjomat liczb nieosiągalnych nie jest
twierdzeniem teorii ZF. Istnienie liczb nieosiągalnych może być iterowane w
pozaskończoność. Prowadzi to do skali liczb kardynalnych Mahlo (opisanej
po raz pierwszy przez Friedricha Paula Mahlo w roku 1911)” /Tamże, s. 187.
+ Aksjomaty teorii mnogości nie wpływają na hipotezę kontinuum. Udowodnił
to Cohen P. w roku 1963. „Gödel przedstawiał i wyjaśniał swe poglądy
filozoficzne na matematykę przede wszystkim w związku z problemami teorii
mnogości, a w szczególności w związku z problemem kontinuum. Był
przekonany, że hipoteza kontinuum ma ściśle określoną wartość logiczną, tzn.
jest prawdziwa lub fałszywa, choć nie potrafimy tego obecnie rozstrzygnąć”
/R. Murawski, Filozofia matematyki, Zarys dziejów, Wydawnictwo naukowe
PWN, Warszawa 1995, s. 139/. „Udowodnienie przez niego samego w roku
1938 niesprzeczności hipotezy kontinuum, zaś przez Paula Cohena w roku
1963 – jej niezależności od aksjomatów teorii mnogości potwierdziło to, co
Gödel głosił już wcześniej, a mianowicie, że do rozstrzygnięcia hipotezy
kontinuum potrzebne są nowe aksjomaty dotyczące zbiorów (czyli pewne nowe
własności uniwersum wszystkich zbiorów). Gödel postulował badanie nowych
8
o. prof. Dr hab.
Piotr Liszka CMF
silnych aksjomatów nieskończoności (postulujących istnienie dużych liczb
kardynalnych) twierdząc, że mogą z nich wynikać również nowe interesujące
konsekwencje arytmetyczne. Postulował też rozważanie aksjomatów opartych
na zupełnie innych ideach niż dotychczas przyjmowane. Aksjomaty takie nie
muszą być bezpośrednio oczywiste /Tamże, s. 140.
+ Aksjomaty teorii mnogości nowe są przedmiotem badań. „Badania nad
dużymi liczbami kardynalnymi rozwijają się szczególnie intensywnie od lat
sześćdziesiątych. Wprowadzono wiele różnych rodzajów takich liczb, na
przykład liczby kardynalne mierzalne, zwarte, superzwarte itd. Wszystko to
prowadzi do postawienia dwu następujących pytań: (1) na jakiej podstawie
możemy przyjmować stwierdzenia postulujące istnienie dużych liczb
kardynalnych jako nowe aksjomaty teorii mnogości; (2) czy pomagają one
wyjaśnić problem kontinuum. Jeżeli chodzi o pierwszą z tych kwestii, to w
literaturze spotkać można różne opinie i stanowiska. Gödel uważał, że
odwołać się tu należy do intuicji matematycznej. Twierdził, że „głębsze
zrozumienie pojęć leżących u podstaw logiki i matematyki umożliwi nam
rozpoznanie ich [tzn. aksjomatów dużych liczb kardynalnych – uwaga moja,
R. M.] jako implikowanych przez te pojęcia” (What Is Cantor's Continuum
Problem?, wersja z roku 1964, s. 265)” /Murawski R. Filozofia matematyki.
Zarys dziejów, PWN Warszawa 1995, s. 187/. „Nie precyzuje on jednak, jak
za pomocą intuicji rozstrzygać sprawę zaakceptowania czy odrzucenia
konkretnych aksjomatów. A. Kanamori i M. Magidor proponują przyjęcie
nowych aksjomatów nieskończoności albo na zasadach „teologicznych”, albo
w sposób czysto formalny, na zasadzie kierowania się tylko „wartościami
estetycznymi” siatki ich konsekwencji i wzajemnych powiązań (por. The
Evolution of Large Cardinal Axioms in Set Theory). Próbowano też szukać racji
bytu dla dużych liczb kardynalnych w pewnych zasadach ogólnych, przede
wszystkim w tzw. zasadzie refleksji. Otóż zgodnie z tą zasadą
(sformułowaną przez Azriela Levy'ego dla własności teoriomnogościowych I
rzędu i rozszerzoną przez Paula Bernaysa na własności II rzędu), każda
własność uniwersum V wszystkich zbiorów musi być prawdziwa już dla
pewnego poziomu Ra kumulatywnej hierarchii zbiorów /Kumulatywną
hierarchię zbiorów definiuje się następująco: R0 = 0, R +1 = R P(R ), R =
granicznych, V jest sumą wszystkich R ( – liczba porządkowa)/.
< R dla
Z zasady tej wynika na przykład istnienie liczb kardynalnych Mahlo. Inną
postawę reprezentuje P. J. Cohen. Odrzuca on mianowicie platoński realizm
i proponuje przyjęcie w teorii mnogości postawy czysto formalistycznej (por.
Comments on the Foundations of Set Theory)” /Tamże, s. 188.
+ Aksjomaty teorii mnogości poszukiwane „Lakatos twierdzi, że matematyka
jest nauką w sensie popperowskim, że rozwija się poprzez sukcesywną
krytykę i ulepszanie teorii, przez budowanie teorii coraz to nowych i
rywalizujących ze sobą. Czym jednak są w przypadku matematyki
„stwierdzenia bazowe”, czym są „możliwe falsyfikatory”? Lakatos nie
odpowiada na to pytanie w Proofs and Refutations. Częściową odpowiedź
znaleźć możemy w późniejszym jego artykule A Renaissance of Empiricism in
the Recent Philosophy of Mathematics? (1967). Mówi tam, że dla
sformalizowanych teorii matematycznych potencjalnymi falsyfikatorami są
teorie niesformalizowane. Innymi słowy, szukając na przykład układu
aksjomatów dla teorii mnogości kierujemy się tym, w jakim stopniu ten
9
o. prof. Dr hab.
Piotr Liszka CMF
sformalizowany
układ
aksjomatów
odzwierciedla
czy
potwierdza
niesformalizowaną teorię, którą się posługujemy w praktyce. Ale co jest
przedmiotem matematyki niesformalizowanej? O czym właściwie mówimy
rozprawiając o liczbach, trójkątach czy innych obiektach? Na przestrzeni
dziejów udzielano wielu różnych odpowiedzi na to pytanie. Lakatos nie
zajmuje tu wyraźnego stanowiska. Pisze tylko: „Mało prawdopodobne, by
odpowiedź była jedna. Dokładne studia historyczno-krytyczne doprowadzą
pewnie do złożonego rozwiązania”. Ale właśnie w owych badaniach
historycznych należy szukać odpowiedzi. Oddzielenie przez formalizm historii
matematyki od filozofii matematyki uważa Lakatos za jeden z głównych
grzechów tego kierunku. Parafrazując Kanta, pisze we wstępie do Proofs and
Refutations: „Historia matematyki, straciwszy przewodnika, jakim jest
filozofia, stała się ślepa, filozofia matematyki zaś, odwracając się od najbardziej intrygujących fenomenów historii matematyki, stała się pusta”
/Murawski R. Filozofia matematyki. Zarys dziejów, PWN Warszawa 1995, s.
148.
+ Aksjomaty teorii mnogości wykorzystywane dla udowodnienia zdania z
arytmetyki „Wspomnieć tu też warto o twierdzeniu Kreisla głoszącym, że jeśli
jest zdaniem języka arytmetyki Peana (czyli zdaniem mówiącym o liczbach
naturalnych) takim, że
można udowodnić na gruncie aksjomatów teorii
mnogości ZF plus AC plus GCH, to można je również udowodnić w oparciu o
aksjomaty samej teorii mnogości ZF. Twierdzenie to mówi zatem, że teoria
mnogości ZF wraz z aksjomatem wyboru oraz uogólnioną hipotezą
kontinuum jest zachowawczym rozszerzeniem teorii mnogości ZF względem
zdań o liczbach naturalnych. Innymi słowy: dołączenie do teorii mnogości ZF
aksjomatu wyboru oraz uogólnionej hipotezy kontinuum nie daje żadnych
nowych informacji o liczbach naturalnych, a zatem zarówno AC jak i GCH są
bez znaczenia dla naszej wiedzy o liczbach naturalnych” /Murawski R.
Filozofia matematyki. Zarys dziejów, PWN Warszawa 1995, s. 190/. „Postawić
też należy inne jeszcze pytanie – związane z pytaniem poprzednim – a
mianowicie, czy matematyka nieskończona jest potrzebna i konieczna w
matematyce stosowanej. Abstrahując od nieprecyzyjności określenia
„matematyka stosowana”, odpowiedź na to pytanie wydaje się być negatywna.
Już Hermann Weyl w swej monografii Das Kontinuum (1918) pokazał, że
spore fragmenty klasycznej analizy matematycznej mogą być rozwinięte w
ramach teorii będącej zachowawczym rozszerzeniem arytmetyki Peana PA”
/Tamże, s. 190.
+ Aksjomaty teorii mnogości Zermela-Fraenkla nie wpływają na systemu
teorii mnogości AC i GCH. „Okazało się więc ostatecznie, że AC i GCH są
niesprzeczne i niezależne od aksjomatów teorii mnogości Zermela-Fraenkla.
A zatem, możliwa (bo niesprzeczna) jest teoria mnogości z aksjomatem
wyboru (i (uogólnioną) hipotezą kontinuum)), jak również możliwa jest teoria
zbiorów bez nich, czy z ich negacjami. Biorąc pod uwagę fakt, że teoria
mnogości stanowi w pewnym sensie fundament matematyki i że tak wiele
twierdzeń na przykład w analizie czy algebrze zależy od AC, musimy dojść do
wniosku, że możliwe są różne matematyki, w szczególności na przykład różne
analizy. Która z nich jest tą właściwą i co to w ogóle znaczy? Sytuację te
można by porównać z sytuacją w geometrii po stworzeniu geometrii
nieeuklidesowych, a więc negujących piąty postulat Euklidesa o
10
o. prof. Dr hab.
Piotr Liszka CMF
równoległych. W tym przypadku jednak sprawa jest bardziej zasadnicza –
dotyczy bowiem całej matematyki, a nie tylko jednego jej działu. Ponieważ
pozycja aksjomatu wyboru w teorii mnogości nie jest do końca wyjaśniona, a
jego rola – jednoznaczna (obok konsekwencji „dobrych” i pożądanych ma on
też „złe” i paradoksalne), zaczęto szukać innych, alternatywnych zasad.
Jedną z nich jest aksjomat determinacji AD, sformułowany przez Jana
Mycielskiego i Hugona Steinhausa w roku 1962 w pracy A Mathematical
Axiom Contradicting the Axiom of Choince” /Murawski R. Filozofia
matematyki. Zarys dziejów, PWN Warszawa 1995, s. 183.
+ Aksjomaty teorii oryginalne, Kuschel K. J. Metoda wykrywania i
interpretowania elementów chrześcijańskiego sacrum obecnych wewnątrz
tekstu literackiego podana przez Karla-Josefa Kuschela skupia w sobie wiele
napięć charakterystycznych dla współczesnej teologii i nauki o literaturze
/K.-J. Kuschel, Jesus in der deutschsprachigen Gegenwartsliteratur,
München-Zürich 19872/. „Oryginalność teorii K.-J. Kuschela jawi się już w
samym sposobie postawienia problemu i w warstwie założeń wstępnych.
Szczególnie interesujące są jego propozycje terminologiczno-metodologiczne
oraz uzyskane na ich podstawie wyniki badań. Ogólnie rzecz biorąc, teoria ta
reprezentuje kierunek myślenia abstrahujący od przypisywania kluczowej
roli pojęciu „wiary chrześcijańskiej” w wyodrębnianiu „specyficznie
chrześcijańskiego” we współczesnej literaturze pięknej. Akcent zostaje tu
przesunięty na oryginalne pojmowany Chrystocentryzm. W tym tkwi twórcza
oryginalność teorii, a w konsekwencji – jej siła i słabość. Myślenie Kuschela –
ucznia i kontynuatora teologii H. Künga, którego był doktorantem – wyrasta
z
charakterystycznego,
zaczerpniętego
od
mistrza,
rozumienia
chrześcijaństwa i chrystologii, uprawianej w perspektywie – zdaniem Künga –
w ścisłym respektowaniu historyczności dogmatu i w całkowitej koncentracji
na „konkretnej historycznej chrystologii”, dla której „fundamentalnym,
pierwszym, centralnym momentem jest sam Jezus Chrystus i to jednocześnie
w swej ziemskiej egzystencji i w swoim krzyżu, w swoim zmartwychwstaniu i
kerygmie gminy” /H. Küng. Menschwerdung Gottes, Freiburg i Br. 1960, s.
598n (cyt. za: A. Nossol, Problem Jezusa Chrystusa dziś, w: Jezus Chrystus.
Historia i tajemnica, red. W. Granat. E. Kopeć, Lublin 19882, s. 60)/. Jezus
Chrystus jest „momentem centralnym” tak chrystologii, jak i całego
chrześcijaństwa: tylko On sam je jednoznacznie określa” J. Szymik, Teologia
na początku wieku, Katowice-Ząbki 2001, s. 307.
+ Aksjomaty teorii sformalizowanej odzwierciedlają teorię niesformalizowaną,
którą się posługujemy w praktyce. „Lakatos twierdzi, że matematyka jest
nauką w sensie popperowskim, że rozwija się poprzez sukcesywną krytykę i
ulepszanie teorii, przez budowanie teorii coraz to nowych i rywalizujących ze
sobą. Czym jednak są w przypadku matematyki „stwierdzenia bazowe”,
czym są „możliwe falsyfikatory”? Lakatos nie odpowiada na to pytanie w
Proofs and Refutations. Częściową odpowiedź znaleźć możemy w późniejszym
jego artykule A Renaissance of Empiricism in the Recent Philosophy of
Mathematics? (1967). Mówi tam, że dla sformalizowanych teorii
matematycznych potencjalnymi falsyfikatorami są teorie niesformalizowane.
Innymi słowy, szukając na przykład układu aksjomatów dla teorii mnogości
kierujemy się tym, w jakim stopniu ten sformalizowany układ aksjomatów
odzwierciedla czy potwierdza niesformalizowaną teorię, którą się
11
o. prof. Dr hab.
Piotr Liszka CMF
posługujemy w praktyce. Ale co jest przedmiotem matematyki
niesformalizowanej? O czym właściwie mówimy rozprawiając o liczbach,
trójkątach czy innych obiektach? Na przestrzeni dziejów udzielano wielu
różnych odpowiedzi na to pytanie. Lakatos nie zajmuje tu wyraźnego
stanowiska. Pisze tylko: „Mało prawdopodobne, by odpowiedź była jedna.
Dokładne studia historyczno-krytyczne doprowadzą pewnie do złożonego
rozwiązania”. Ale właśnie w owych badaniach historycznych należy szukać
odpowiedzi. Oddzielenie przez formalizm historii matematyki od filozofii matematyki uważa Lakatos za jeden z głównych grzechów tego kierunku.
Parafrazując Kanta, pisze we wstępie do Proofs and Refutations: „Historia
matematyki, straciwszy przewodnika, jakim jest filozofia, stała się ślepa,
filozofia matematyki zaś, odwracając się od najbardziej intrygujących
fenomenów historii matematyki, stała się pusta” /R. Murawski, Filozofia
matematyki, Zarys dziejów, Wydawnictwo naukowe PWN, Warszawa 1995, s.
148.
+ Aksjomaty teorii socjologicznej ukrywają się w pojęciu perspektywa.
Perspektywa według J. H. Turnera to ogólna orientacja umożliwiająca
postrzeganie różnorodnych aspektów świata społecznego, „która, jeśli dobrze
pójdzie, może w końcu przekształcić się w prawdziwie naukową teorię” (J. H.
Tuner, Struktura teorii socjologicznej, Warszawa 1985, s. 72). Określenie to
sformułowane zostało w kontekście refleksji nad stanem teorii socjologicznej.
Turner doszedł do przekonania, że w rzeczywistości „jest [ona] jedynie luźną
wiązką ukrytych założeń, nieadekwatnie zdefiniowanych pojęć i logicznie nie
powiązanych twierdzeń” (Tamże, s. 71 n). Według niego większość z tego, co
nazywa się teorią socjologiczna, stanowi w istocie werbalną „wizję
społeczeństwa”, ogólną „orientację”, „perspektywę”. Nazwę teorii zastrzegł on
dla zespołu twierdzeń teoretycznych zorganizowanych w logicznie spójną
formę. S. Nowak uważa natomiast, że perspektywa to metoda badawcza, czyli
właściwy sposób poszukiwania optymalnie zasadnych i optymalnie
dokładnych odpowiedzi na pytania interesujące badacza (S. Nowak,
Metodologia badań społecznych, Warszawa 1985, s. 56) /J. Baradziej, Ethos i
cywilizacja, w: Rozmyślania o cywilizacji, dz. zb. p. red. J. Baradzieja i J.
Goćkowskiego, seria Cywilizacja. Tradycja. Ethos, wyd. Baran i Suszczycki,
Kraków 1997, 173-194, s. 177. „K. Ajdukiewicz, posługując się terminem
„perspektywa świata”, traktuje ją jako pochodną stosowania określonego
aparatu pojęciowego: „Człowiek dobiera sobie aparat pojęciowy, poprzez
który zostają dopiero wyznaczone zadania empiryczne i przez który z pełnego
obrazu świata wyodrębnia pewien jego wycinek, czyli pewna perspektywę
światową, spełniającą pewne wartości” (K. Ajdukiewicz, Naukowa
perspektywa świata, w: Język i poznanie, t. I, Warszawa, s. 219). Pojęciowy
wymiar perspektywy akcentuje także W. Skidmore, uważając, że
„perspektywy są zespołami pojęć wyższych zasadniczo z tego powodu, że są
one czynnikami umożliwiającymi. Podkreślają one ważne, wyodrębnione
aspekty rzeczywistości” (W. Skidmore, Theoretical Thinking in Sociology,
Cambridge 1975, s. 65) /Tamże, s. 178.
+ Aksjomaty teorii typów Russela B najważniejszy: ogół własności, które
możemy rozważać, układa się w nieskończoną hierarchię typów. „Koncepcja
liczb naturalnych Fregego miała zasadniczą wadę. Otóż bazowała ona na
sprzecznym systemie logiki – można było w nim bowiem zbudować
12
o. prof. Dr hab.
Piotr Liszka CMF
antynomię Russella. W związku z tym Russell przystąpił do budowania
arytmetyki (i całej matematyki) w ramach całkowicie przebudowanego przez
siebie systemu logiki, zwanego rozgałęzioną teorią typów (ramified theory of
types). Zasadniczym założeniem teorii typów jest teza, iż ogół własności, które
możemy rozważać, układa się w nieskończoną hierarchię typów: własności
pierwszego typu to własności indywiduów, własności drugiego typu to
własności własności pierwszego typu itd. Hierarchia ta nie zawiera
własności, które mogłyby przysługiwać równocześnie na przykład
indywiduom i ich własnościom, czy ogólnie własnościom z różnych pięter
hierarchii (nie zawiera więc w szczególności relacji równości w ogóle, a
jedynie oddzielnie relację równości indywiduów, relację równości własności
indywiduów itd.). Aby uniknąć błędnego koła definicji niepredykatywnych,
wprowadza się oprócz typów jeszcze dodatkowo rzędy (zależnie od postaci
formuły opisującej dany obiekt czy własność). Dzięki temu wszystkiemu udało
się Russellowi wyeliminować antynomię klas niezwrotnych. Własności, zwane
przez Russella funkcjami zdaniowymi, grały w teorii typów tę samą rolę, co
pojęcia i ich zakresy u Fregego. Całą więc konstrukcję liczb naturalnych
mógł Russell przejąć od tego ostatniego. Pojawiły się jednak pewne trudności
przy wyprowadzaniu podstawowych twierdzeń o liczbach naturalnych. Otóż
przy dowodzeniu, że dla każdej liczby naturalnej istnieje jej następnik,
niezbędne okazało się użycie dodatkowego założenia, a mianowicie tzw.
aksjomatu nieskończoności, czyli zdania głoszącego istnienie nieskończenie
wielu indywiduów. Zdanie to nie ma jednak charakteru logicznego. W
konsekwencji więc przeprowadzona redukcja arytmetyki nie była de facto
redukcją do logiki, a do pewnego systemu bogatszego. Russell zaproponował
jednak pewne wyjście z tej sytuacji: po prostu dopisywał ten aksjomat jako
dodatkowe założenie do każdego twierdzenia, które tego wymagało (opierał się
tu zatem na czymś, co nazywa się dziś w logice twierdzeniem o dedukcji),
i otrzymywał w ten sposób nowe twierdzenie kształtu implikacji, które było
już tezą logiki” /R. Murawski, Filozofia matematyki, Zarys dziejów,
Wydawnictwo naukowe PWN, Warszawa 1995, s. 91.
13