IV. DYNAMIKA OŚRODKA CIĄGŁEGO, PRAWA EWOLUCYJNE

37
Konderla P. Mechanika ośrodków ciągłych
________________________________________________________________________________________
IV. DYNAMIKA OŚRODKA CIĄGŁEGO, PRAWA EWOLUCYJNE
Ruch stanowi jeden z elementów procesu dynamicznego. Ponadto proces dynamiczny opisuje:
pola sił zewnętrznych i wewnętrznych oraz pole gęstości masy.
Podstawowym problemem MOC jest sformułowanie praw rządzących zmianami tych pól – prawa ewolucyjne.
Prawa te wynikają z podstawowych praw fizyki – praw Newtona.
1. Pole gęstości masy
Ciału przypisujemy atrybut masy. W elementarnej objętości ciała V występuje m masy (rys.
4.1).
Z definicji gęstość masy jest równa:
m
  lim
.
V 0 V
(4.1)
Rys. 4.1
2. Gęstość sił zewnętrznych
Wyróżniamy obciążenia siłami mechanicznymi związanymi z masą ciała oraz obciążenia przekazywane na ciało poprzez jego powierzchnię zewnętrzną. Wprowadza się następujące pojęcia
obciążenia, będące atrybutem ciała:
Rys. 4.2. Siły objętościowe
Rys. 4.3. Siły powierzchniowe
(a) gęstość sił objętościowych (rys. 4.2)
F
,
F  lim
V 0 V
gdzie F jest wypadkową sił działających w objętości V,
(4.2)
(b) gęstość sił masowych
F
,
f  lim
m 0 m
przy czym
F  f ,
(4.3)
(c) gęstość sił powierzchniowych (rys. 4.3)
IV. DYNAMIKA OŚRODKA CIĄGŁEGO, PRAWA EWOLUCYJNE
38
________________________________________________________________________________________
t (n)  lim
S( n) 0
t (n)
S (n)
.
(4.4)
Uwaga: Klasyczna koncepcja kontinuum materialnego nie dopuszcza istnienia sił skupionych.
3. Gęstość sił wewnętrznych - naprężenia
Będziemy rozważali siły „sklejenia” materii. Są to siły lokalnego oddziaływania – siły krótkozasięgowe.
Pojęcie wektora naprężenia
Ciało myślowo dzielimy dowolną powierzchnią na dwie
części (rys. 4.4). Będziemy postulowali istnienie oddziaływania pomiędzy sąsiednimi punktami obu ciał na linii
podziału. Przez t(n) będzie oznaczona gęstość oddziaływań
części BII na część BI (oddziaływanie części odrzuconej
BII na część rozważaną BI).
Rys. 4.4
Wektor t(n) zwany jest wektorem naprężenia.
Pojęcie tensora naprężenia
Niech ciało BI będzie elementarnym czworościanem jak to
pokazano na rys. 4.5.
Z warunku równowagi wynika:
t ( n ) S  t (1) S 1  t ( 2) S 2  t (3) S 3  0 .
(4.5)
Podstawiając S i  n i S ,
mamy:
t ( n ) S  t (i ) n i S .
(4.6)
Jeżeli wektory t(n) i t(i) rozłożyć w bazie gi
j
j
t ( n )  t j ( n ) g , t (i )  t j (i ) g  t ji g
j
Rys. 4.5
(4.7)
i podstawić do (4.6), wówczas
t i ( n )  t ij n j
i
lub t (n)
 t ij n j .
(4.8)
Powyższe związki są relacjami pomiędzy wektorem naprężenia a tensorem naprężenia.
W MOC stosowanych jest kilka różnych definicji tensora naprężenia.
Tensor naprężeń Cauchy'ego
t  t ij g i  g j ,
(4.9)
którego składowe wyrażają siłę w bazie układu przestrzennego na jednostkę odkształconej powierzchni.
Wektor naprężenia t(n) można przedstawić w bazie układu współrzędnych materialnych. Z wa-
Konderla P. Mechanika ośrodków ciągłych
________________________________________________________________________________________
runku równoważności statycznej wynika
t ( n ) dS  T(N) dS 0 ,
39
(4.9)
gdzie dS0 i dS są odpowiednio miarą tej samej powierzchni materialnej w konfiguracji odniesienia i konfiguracji aktualnej.
Rys. 4.6. Wektor naprężenia odniesiony do konfiguracji odniesienie
i konfiguracji aktualnej
Po przekształceniach lewej i prawej strony równania (4.9), mamy
t ( n )dS  t ( k ) nk dS  t ( k )dSk  t kl g l dSk
T( N )dS0  T
( )
N  dS0  T
()
dS0  TRl g l dS0
. (4.10)
Jeżeli uwzględnić zależności elementarnych powierzchni przed i po deformacji (formuła Nanson’a)
1
dS k  J Fk dS 0
,
(4.11)
dS 0  J 1 Fk dS k
wówczas z (4.9) mamy
TRl
J
1
Fk t kl
,
(4.12)
t km  J 1 Fk TRm .
(4.13)
Powyższe równania definiują tensor Pioli-Kirchhoffa I-go rodzaju:
TR  TRl G   g l ,
(4.14)
który przedstawia intensywność siły wyrażonej w układzie współrzędnych przestrzennych na
jednostkę powierzchni w konfiguracji odniesienia (powierzchni niezdeformowanej).
Tensor TR jest tensorem niesymetrycznym, co często bywa niewygodne. W związku z tym w
MOC jest dodatkowo zdefiniowany odpowiedni tensor symetryczny - tensor naprężenia PioliKirchhoffa II-go rodzaju
1
1
1
~
~
~
TR  TRG   G  gdzie TR  J Fk t kl Fl  TRl Fl .
(4.15)
~
Tensor naprężenia TR wyraża intensywność siły w układzie współrzędnych materialnych na
IV. DYNAMIKA OŚRODKA CIĄGŁEGO, PRAWA EWOLUCYJNE
40
________________________________________________________________________________________
jednostkę powierzchni w konfiguracji odniesienia.
4. Zasady zachowania
Zasady zachowania wynikają z podstawowych praw fizycznych. Są nimi
– zasada zachowania masy,
– zasada zachowania pędu,
– zasada zachowania momentu pędu,
– zasada zachowania energii.
Nie są to wszystkie zasady zachowania. W zależności od zagadnienia możemy formułować dodatkowo inne zasada, np.:
– zachowania ładunku elektrycznego,
– zachowania bilansu entropii,
– różne związki typu więzów,
i inne.
5. Zasada zachowania masy
Def.: W trakcie ruchu masa ciała nie ulega zmianie – jest stała.
W takim razie dla dowolnej konfiguracji mamy
M   dV
(4.16)
V
lub:
 0dV0   dV .
V0
(4.17)
V
Ponieważ
dV  JdV0
  0  J .
(4.18)
Niezmienność masy w trakcie ruchu można wyrazić jako zerowanie się pochodnej materialnej
masy ciała
D
dV  0 
Dt V
 D
D
D

 Dt (dV )    Dt dV   Dt (dV ) .
V
(4.19)
V
Po podstawieniu zależności
D
(dV )  div v dV ,
Dt
(4.20)
otrzymujemy
 D

  Dt   div v dV  0
V

D
  div v  0 .
Dt
(4.21)
Lokalną postać prawa zachowania masy można również przedstawić w nieco innej postaci. Jeżeli wykonać przekształcenia:
Konderla P. Mechanika ośrodków ciągłych
________________________________________________________________________________________
D   k


v ,
Dt t x k
41
(4.22)
i dalej
  k

 k v   div v 
  k vk  vk
t x
t
k

 

 vk
t
k
,
(4.23)
stąd ostatecznie

 (v k ) |k  0 .
t
(4.24)
6. Zasada zachowania pędu
Def. Zmiana pędu ciała materialnego jest równa sumie sił działających na to ciało.
Pęd ciała zapisujemy w postaci wyrażenia (rys. 4.7)
P    v dV
lub we współrzędnych
V
P k    v k dV .
(4.25)
V
Rys. 4.7
Wypadkowa sił obciążających ciało
Fc    f dV   t (n) dS .
V
(4.26)
S
Stąd zasada zachowania pędu ma postać
D
D
P  Fc 
 v dV    f dV   t (n)dS .
Dt
Dt V
V
S
(4.27)
Korzystając z zasady zachowania masy oraz stosując wzór Gaussa-Ostrogradzkiego, równanie
powyższe można przekształcić otrzymując lokalną postać zasady zachowania pędu (wyprowadzenie równania 4.28 w Dodatku A.4)
a i  f i  t ij
j
gdzie: a i – siły bezwładności,
f i – gęstość sił objętościowych,
(4.28)
IV. DYNAMIKA OŚRODKA CIĄGŁEGO, PRAWA EWOLUCYJNE
42
________________________________________________________________________________________
t ij – dywergencja tensora naprężenia.
j
Uwaga: Zasada ta jest lokalną postacią dynamicznego równania równowagi sił. Pomijając siły
bezwładności otrzymujemy standardowe różniczkowe równania równowagi wewnętrznej dla
zagadnienia statycznego.
Inne przedstawienia zasady zachowania pędu (z innymi miarami tensora naprężenia)
– z tensoram Pioli–Kirchhoffa I-go rodzaju
TRi  0 f i  0a i ,
(4.29)

– we współrzędnych materialnych - z tensorem Pioli–Kirchhoffa II-go rodzaju
~
TR Fi   0 f i   0 a i .



(4.30)
7. Zasada zachowania momentu pędu
Def. Zmiana momentu pędu ciała materialnego jest równa wypadkowemu momentowi sił działających na to ciało.
Moment pędu ciała zapisujemy w postaci wyrażenia (rys. 4.8)
K    (r  v ) dV .
(4.31)
V
Wypadkowy moment sił obciążających ciało
Mc    (r  f ) dV   (r  t (n) )dS .
V
(4.31)
S
Stąd zasada zachowania momentu pędu ma postać
D
K  Mc
Dt

D
 (r  v ) dV    (r  f ) dV   (r  t (n) )dS .
Dt V
V
S
Rys. 4.8
(4.32)
Korzystając z zasady zachowania masy oraz stosując wzór Gaussa-Ostrogradzkiego, równanie
powyższe można przekształcić otrzymując lokalną postać zasady zachowania momentu pędu:
– dla tensora naprężenia Cauchyego
 klm t lm  0 ,
(4.33)
stąd wynika, że tensor tlm jest tensorem symetrycznym,
– dla tensora Pioli–Kirchhoffa I-go rodzaju
TRk xl  TRl xk
 TRk Fl  TRl Fk
stąd wynika, że tensor TRk nie jest tensorem symetrycznym,
– dla tensora Pioli–Kirchhoffa II-go rodzaju
~
~
TR  TR – jest tensorem symetrycznym.
(4.34)
(4.35)
Konderla P. Mechanika ośrodków ciągłych
________________________________________________________________________________________
43
8. Zasada zachowania energii
Def. Zmiana energii całkowitej ciała równa się mocy sił działających na to ciało.
Energia ciała odkształcalnego:
– energia kinetyczna
1
1
K    v 2dV    v k vk dV ,
2V
2V
(4.36)
– energia wewnętrzna
E    edV ,
(4.37)
V
gdzie e – gęstość energii na jednostkę masy.
Praca sił zewnętrznych na jednostkę czasu – moc sił zewnętrznych:
L    f  vdV   t (n)  vdS .
V
(4.38)
S
Zasada zachowania energii:
D
(K  E )  L ,
Dt
(4.39)
stąd:
D 1

v  v   e dV   f  vdV   t (n)  vdS .


Dt V  2

V
S
(4.40)
Po przekształceniach mamy
De
k
k
lk
lk
  Dt dV   vk (f  a  t l )dV   t vk j dV
V
V
V
(4.41)
stąd lokalne prawo zachowania energii ma postać
De

 e  t lk vk  t lk d kl ,
j
Dt
oraz
(4.42)
e  t lk d kl
(4.43)
gdzie d kl  v k j – prędkość deformacji.
Uwaga: to sformułowanie zasady zachowania energii nie zawiera wielu możliwych czynników
natury niemechanicznej mających wpływ na energię wewnętrzną np.: ciepło, energia wiązań
chemicznych, energia pola elektromagnetycznego.
9. Wariacyjne sformułowanie zasad zachowania
Zasady zachowania mogą być wyprowadzone wykorzystując rachunek wariacyjny.
W tym celu formułuje się funkcjonał, którego punktem stacjonarności (punktem ekstremalnym)
jest równanie będące wyrażeniem jednej z zasad zachowania. W ten sposób można wyprowadzić
IV. DYNAMIKA OŚRODKA CIĄGŁEGO, PRAWA EWOLUCYJNE
44
________________________________________________________________________________________
wszystkie zasady zachowania. Przykładowo sformułujemy funkcjonał, którego minimum jest
zasada zachowania pędu.
Formułujemy funkcjonał postaci – funkcjonał Lagrange'a (zwany również lagranzianem):
t2
L   (K  E ) dt
(4.44)
t1
gdzie t1, t2 – współrzędne czasu dwóch punktów w czasoprzestrzeni.
Twierdzenie Hamiltona: Ruch ciała materialnego, izolowanego od oddziaływań zewnętrznych
odbywa się tak, że minimalizuje funkcjonał Lagrange'a.
Poniżej przytoczony jest dowód tego twierdzenia.
Założenia:
1. Zmienną niezależną funkcjonału jest funkcja ruchu
x(X,t). Poszukujemy takiej funkcji x(X,t), które minimalizuje funkcjonał Lagrange'a.
2. Odkształcenia ciała są sprężyste tzn. że energia wewnętrzna jest potencjałem naprężeń
e
e
Tk   k   k .
(4.45)
x,
F
Rys. 4.9. Czasoprzestrzeń
Jeżeli x(X,t) minimalizuje L to dla każdej wariacji δx wariacja funkcjonału δL = 0.
Przyjmujemy:
a) δx jest małe ale  0,
b) x( X, t1 )  x( X, t 2 )  0 .
(4.46)
Rozpisując funkcjonał mamy
t2
t2
1
1
1
L    (K  E )dt     [ v 2  e]dtdV 
2
t
t v
t2
1
 dt  [( 2 v
t1
V
2
)  e]dV   dt  [vk v k  e]dV .
t1
V
Przekształcając w dalszym ciągu
1
1
1
1
( v 2 )  ( vk v k )  vk v k  vk v k  vk v k ,
2
2
2
2
D
v k 
(x k ) ,
Dt
D e
e 
Fk .
k
Dt F
Stąd
(4.47)
t2
(4.48)
Konderla P. Mechanika ośrodków ciągłych
________________________________________________________________________________________
t2
L   dt  [vk
t1
V
D
e
(x k )  k Fk ]dV .
Dt
F
45
(4.49)
Całkowanie przez części pierwszego składnika prawej strony równania:
t2
D
k
k
 dV  vk Dt (x )dt   vk x dV
V
t
V
1
t2
t1
t2
  dV  
V
t1
Dvk k
x dt ,
Dt
(4.50)
gdzie
k
 vk x dV
V
t2
t1
 0 ponieważ x k  0 dla t  t1 , t 2 .
(4.51)
Z kolei całkowanie drugiego składnika przez części
t2
t2
t2
e
e
  e
k
k

F
d
V
d
t
N
x
d
S
d
t












k
k
k
 
F
F
X





 F
V
t1
S
t1 V
 dt 
t1
 k
x dV ,


(4.52)
gdzie
e
N   0 ponieważ brzeg nie jest obciążony (ciało izolowane).
Fk
Po podstawieniu wyników całkowania, mamy
t2
   e
L   dt     k
t1 V 
 X  F
k 

   Dv  x k dV  0 .

Dt 

(4.53)
Powyższe równanie ma być spełnione dla dowolnego x k stąd:

Dv k
  e
    k
Dt
X  F
Po podstawieniu 

0


e
 Tk ,
Fk
– jest to równanie Eulera – Lagrange'a.
(4.54)
(4.55)
mamy wprost równanie wyrażające zasadę zachowania pędu w przypadku pominięcia sił zewnętrznych (dla ciała izolowanego)
Tk,  
Dv k
0 .
Dt
(4.56)