Tomasz Dyrka - Ekonometryczne modele nieliniowe
Transkrypt
Tomasz Dyrka - Ekonometryczne modele nieliniowe
Tomasz Dyrka nr indeksu: 53255 Ekonometryczne modele nieliniowe Praca domowa nr 5 28 listopada 2016r. Polecenie: 1. Zapisz model LSTAR i model ESTAR, będący rozszerzeniem modelu regresji z dwoma zmiennymi objaśniającymi i ze stałą. 2. Wyprowadź przybliżenia modelu LSTAR i modelu ESTAR przy pomocy szeregu Taylora, odpowiednio, 3. rzędu i 2 rzędu. 3. Jak wygląda (z jakich zmiennych się składa) model regresji odpowiadający takiemu przybliżeniu? Rozwiązanie: 1. Model AR z dwiema zmiennymi objasniającymi i stałą: yt = α0 + αyt−1 + α2 yt−2 + t (1) yt = φ01 xt + (φ2 − φ1 )0 xt G(zt ; γ, c) + t (2) Model STR - ogólnie: , gdzie dla modelu LSTR G(zt ; γ, c) = [1 + e−γ(zt −c) ]−1 (3) , natomisat dla modelu ESTR: 2 G(zt ; γ, c) = 1 − e−γ(zt −c) (4) Model LSTAR z dwiema zmiennymi objaśniającymi: yt = φ1,0 + φ1,1 yt−1 + φ1,2 yt−2 + [(φ2,0 − φ1,0 ) + (φ2,1 − φ1,1 )yt−1 + (φ2,2 − φ1,2 )yt−2 ][1 + e−γ(zt −c) ]−1 + t (5) Model ESTAR z dwiema zmiennymi objaśniającymi: yt = φ1,0 + φ1,1 yt−1 + φ1,2 yt−2 + 2 [(φ2,0 − φ1,0 ) + (φ2,1 − φ1,1 )yt−1 + (φ2,2 − φ1,2 )yt−2 ][1 − e−γ(zt −c) ] + t (6) 2. Wzór Taylora dany jest jako: f (x) = f (a) + (x − a)2 (2) (x − a)n (n) x − a (1) f (a) + f (a) + ... + f (a) + Rn (x, a) 1! 2! n! (7) Odpowiednikiem funkcji f (x) jest w przypadku modelu LSTAR G(zt ; γ, c). W rezultacie do przybliżenia wartości funkcji za pomocą szeregu Taylora konieczne będzie wykorzystanie kolejnych pochodnych tej funkcji: σG/∂γ, ∂ 2 G/∂γ 2 , ∂ 3 G/∂γ 3 itd. w zależności od 1 wybranej dokładności przybliżenia. Punktem a, zgodnie z hipotezą zerową testu Luukkonena, Saikkonena i Terävirty, jest γ = 0. Do przybliżania wartości przydatne będą następujące obliczenia: G(zt ; γ, c) = [1 + e−γ(zt +c) ]−1 σG/∂γ = {[1 + e−γ(zt −c) ]−1 }0 = = −[1 + e− γ(zt − c)]−2 [(1 + e−γ(zt −c) )0 ] = = −[1 + e− γ(zt − c)]−2 e−γ(zt −c) {[−γ(zt − c)]0 } = = −[1 + e− γ(zt − c)]−2 e−γ(zt −c) [−(zt − c)] = = (zt − c)[1 + e− γ(zt − c)]−2 e−γ(zt −c) σ 2 G/∂γ 2 = {(zt − c)[1 + e− γ(zt − c)]−2 e−γ(zt −c) }0 = = (zt − c){e−γ(zt −c) [−(zt − c)][1 + e−γ(zt −c) ]−2 + + e−γ(zt −c) (−2)[1 + e−γ(zt −c) ]−3 e−γ(zt −c) [−(zt − c)]} = = (zt − c)2 e−γ(zt −c) [1 + e−γ(zt −c) ]−2 {[1 − 2e−γ(zt −c) [1 + e−γ(zt −c) ]−1 } = = (zt − c)2 e−γ(zt −c) [1 + e−γ(zt −c) ]−2 [1 + e−γ(zt −c) − 2e−γ(zt −c) ][1 + e−γ(zt −c) ]−1 = = (zt − c)2 e−γ(zt −c) [1 − e−γ(zt −c) ][1 + e−γ(zt −c) ]−3 σ 3 G/∂γ 3 = (zt − c)3 eγ(zt −c) (−4eγ(zt −c) + e2γ(zt −c) + 1)[eγ(zt −c) + 1]4 (8) W rezultacie przybliżenie wartości funkcji G szeregiem Taylora 2. rzędu wokół γ = 0 wynosi: G(γ) = G(0) + γ − 0 (1) (γ − 0)2 (2) G (0) + G (0) + R2 (γ, 0) 1! 2! 1 1 + γ(zt − c) + 0 + R2 (γ, 0) = 2 4 1 1 = + γ(zt − c) + R2 (γ, 0) 2 4 natomiast dla 3. rzędu: G(γ) = γ − 0 (1) (γ − 0)2 (γ − 0)3 (3) G (0) + G(0)(2) (0) + G (0) + R3 (γ, 0) 1! 2! 3! 1 1 1 2 G(γ) = + γ(zt − c) + 0 + · (− )γ 3 (zt − c)3 + R3 (γ, 0) = 2 4 6 12 1 1 1 3 G(γ) = + γ(zt − c) − γ (zt − c)3 + R3 (γ, 0) 2 4 48 Przybliżenia funkcji LSTAR w poblizu punktu γ = 0 wynoszą: (dla 2. rzędu) G(γ) = G(0) + 1 1 yt = φ01 xt + (φ2 − φ1 )0 xt [ + γ(zt − c) + R2 (γ, 0)] + t 2 4 (9) (10) (11) (12) (13) (14) (15) (dla 3. rzędu) 1 1 1 yt = φ01 xt + (φ2 − φ1 )0 xt [ + γ(zt − c) − γ 3 (zt − c)3 + R3 (γ, 0)] + t 2 4 48 (16) Powyższe wzory można zapisać jako regresje, gdzie zmienną zależną jest yt , natomiast zmiennymi objaśniającymi: zt , xt zt2 oraz (dla przybliżenia 3. rzędu) xt zt3 . 2 3. Po przekształceniu wzoru (15) model regresji odpowiadający przybliżeniu szeregiem Taylora drugiego rzędu wygląda następująco: yt = β00 xt + β10 xt zt + β2 xt zt2 + et (17) oraz trzeciego rzędu (na podstawie wzoruu (16)): yt = β00 xt + β10 xt zt + β20 xt zt2 + β30 xt zt3 + et (18) Taki model regresyjny składa się ze zmiennych będących iloczynami wektórów zmiennych opóźnonych (xt = (1, yt−1 , yt−2 , ..., yt−p )) oraz zmiennej zt , która jest egzogeniczna dla procesu i stanowi podstawę do ustalenia okresów występowania reżimów. Parametry β są przekształceniami parametrów φ1 , φ2 γ i c, które powstały w wyniku przybliżania wartości zmiennej yt za pomocą szeregu Taylora. Parametr et zawiera składnik losowy t oraz resztę Peana ze wzoru Taylora. Dzięki takiemu przekształceniu możliwe staje się testowanie hipotezy zerowej γ = 0 w inny sposób. Przybiera ona wtedy następującą postać: β1 = β2 = 0, co można testować standarodwymi testami dla regresji liniowej (np. testem Walda). 3