Kondensator z dielektrykiem - Open AGH e

Kondensator z dielektrykiem
Autorzy: Zbigniew Kąkol, Kamil Kutorasiński
Doświadczenie pokazuje, że umieszczenie dielektryka (izolatora) pomiędzy okładkami kondensatora zwiększa jego pojemność
εr razy
C′
C
= εr
(1)
Wielkość εr nazywamy względną przenikalnością elektryczna lub stałą dielektryczną. W tabeli 1 zestawione zostały stałe
dielektryczne wybranych materiałów.
Materiał
Stała dielektryczna
próżnia
1.0000
powietrze
1.0005
teflon
2.1
polietylen
2.3
papier
3.5
szkło (pyrex) 4.5
porcelana
6.5
woda
78
TiO 2
100
Tabela 1: Stałe dielektryczne wybranych materiałów (w temperaturze pokojowej)
Wzrost pojemności kondensatora w wyniku umieszczenia w nim dielektryka wynika z zachowania się atomów (cząsteczek)
dielektryka w polu elektrycznym w kondensatorze, przy czym istnieją dwie możliwości.
Po pierwsze istnieją cząsteczki, w których środek ładunku dodatniego jest trwale przesunięty względem środka ładunku
ujemnego. Przykładem może być cząsteczka H2 O pokazana na Rys. 1.
Rysunek 1: Cząsteczka wody charakteryzującą się trwałym momentem dipolowym
W wyniku charakterystycznej budowy w cząsteczce wody ładunek ujemny jest przesunięty w stronę atomu tlenu, a środek
ładunku dodatniego jest bliżej atomów wodoru. Takie cząsteczki mają więc trwały elektryczny moment dipolowy.
Po drugie, w przypadku cząsteczek i atomów nie posiadających trwałych momentów dipolowych, taki moment może być
wyindukowany przez umieszczenie ich w zewnętrznym polu elektrycznym. Pole działa na ładunki dodatnie (jądra atomowe) i
ujemne (chmury elektronowe), rozsuwając ich środki. Atomy (cząsteczki) wykazują elektryczny moment dipolowy, ulegają
polaryzacji. Przykładowo, jeżeli umieścimy atom wodoru w zewnętrznym polu E, to siła F = −eE przesuwa elektron o r
względem protonu. Wówczas atom ma indukowany moment dipolowy p = er. Ponieważ jest to moment indukowany polem
zewnętrznym więc znika, gdy usuniemy pole.
W zerowym polu momenty dipolowe są zorientowane przypadkowo (zob. Rys. 2a). Natomiast po umieszczeniu w polu
elektrycznym trwałe elektryczne momenty dipolowe dążą do ustawienia zgodnie z kierunkiem pola, a stopień uporządkowania
zależy od wielkości pola i od temperatury (ruchy termiczne cząstek zaburzają uporządkowanie). Natomiast momenty indukowane
są równoległe do kierunku pola. Cały materiał w polu E zostaje spolaryzowany. Spolaryzowany zewnętrznym polem E dielektryk
(umieszczony w naładowanym kondensatorze) jest pokazany na Rys. 2b.
Rysunek 2: a) niespolaryzowany dielektryk b) polaryzacja dielektryka w zewnętrznym polu E c) wypadkowy rozkład ładunku
Zwróćmy uwagę, że w rezultacie wewnątrz dielektryka ładunki kompensują się, a jedynie na powierzchni dielektryka pojawia się
nieskompensowany ładunek q ′ . Ładunek dodatni gromadzi się na jednej, a ujemny na drugiej powierzchni dielektryka (zob. Rys.
2c).
Ładunek q jest zgromadzony na okładkach, a q ′ jest ładunkiem wyindukowanym na powierzchni dielektryka. Te wyindukowane
ładunki wytwarzają pole elektryczne E′ przeciwne do pola E pochodzącego od swobodnych ładunków na okładkach
kondensatora. Wypadkowe pole w dielektryku Ew (suma wektorowa pól E′ i E) ma ten sam kierunek co pole E, ale mniejszą
wartość. Pole związane z ładunkiem polaryzacyjnym q ′ nosi nazwę polaryzacji elektrycznej.
Widzimy, że
PRAWO
Prawo 1: Dielektryk w polu elektrycznym
Gdy dielektryk umieścimy w polu elektrycznym to pojawiają się indukowane ładunki powierzchniowe, które wytwarzają pole
elektryczne przeciwne do zewnętrznego pola elektrycznego.
Zastosujemy teraz prawo Gaussa do kondensatora wypełnionego dielektrykiem. Dla powierzchni Gaussa zaznaczonej na Rys. 2c
linią przerywaną otrzymujemy
∮ E ⋅ dS =
q−q ′
ε0
(2)
Ponieważ pole E jest jednorodne, więc
ES =
q−q ′
ε0
(3)
skąd otrzymujemy
E=
q−q ′
ε0 S
(4)
Pojemność takiego kondensatora wypełnionego dielektrykiem wynosi zatem
C′ =
q
ΔV
=
q
Ed
=
q ε0 S
q−q ′ d
=
q
q−q ′
C
(5)
Dzieląc powyższe równanie obustronnie przez C, otrzymujemy
C
C′
= εr =
q
q−q ′
(6)
Powyższe równanie pokazuje, że wyindukowany ładunek powierzchniowy q ′ jest mniejszy od ładunku swobodnego q na
okładkach. Dla kondensatora bez dielektryka q ′ = 0 i wtedy εr = 1.
Więcej na ten temat dielektryków w polu elektrycznym możesz dowiedzieć się w moduIe Dielektryk w polu elektrycznym rozważania ilościowe.
Korzystając z powyższego związku ( 6 ) i podstawiając za q − q ′ do równania ( 2 ), możemy napisać prawo Gaussa (dla
kondensatora z dielektrykiem) w postaci
∮ εr E ⋅ dS =
q
ε0
(7)
To równanie stanowi najbardziej ogólną postać prawa Gaussa.
Zauważmy, że strumień pola elektrycznego dotyczy wektora εr E (a nie wektora E), i że w równaniu występuje tylko ładunek
swobodny, a wyindukowany ładunek powierzchniowy został uwzględniony przez wprowadzenie stałej dielektrycznej εr .
Porównując pole elektryczne w kondensatorze płaskim bez dielektryka E = q/ε0 S z wartością daną równaniem ( 4 ) widzimy, że
wprowadzenie dielektryka zmniejsza pole elektryczne εr razy (indukowany ładunek daje pole przeciwne do pola od ładunków
swobodnych na okładkach (zob. Rys. 2b).
E=
q
ε0 εr S
(8)
ZADANIE
Zadanie 1: Obliczanie zmiany różnicy potencjałów i energii naładowanego
kondensatora przy wprowadzeniu dielektryka
Treść zadania:
Pokazaliśmy, że wprowadzenie dielektryka między okładki kondensatora zwiększa jego pojemność i zmniejsza pole
elektryczne εr razy. Wyjaśnij jak zmienia się różnica potencjałów między okładkami i energia naładowanego kondensatora.
Wskazówka: Ładunek swobodny na okładkach kondensatora nie zmienia się (kondensator został naładowany i następnie
odłączony od źródła - baterii).
ΔV =
W=
ROZWIĄZANIE:
Zgodnie z równaniem Potencjał elektryczny-( 5 ) związek między różnicą potencjału (napięciem) a natężeniem pola w
kondensatorze (pole jednorodne) jest dany
wyrażeniem
ΔV = Ed
gdzie d jest odległością między okładkami kondensatora. Ponieważ wprowadzenie dielektryka między okładki
kondensatora zmniejsza pole elektryczne εr razy, więc różnica potencjałów też maleje εr razy.
Energia zgromadzona w naładowanym kondensatorze jest dana równaniem Energia pola elektrycznego-( 2 ) i wynosi
W=
2
1 Q
2 C
(9)
gdzie Q jest ładunkiem swobodnym na okładkach kondensatora.
Ponieważ wprowadzenie dielektryka między okładki kondensatora zwiększa jego pojemność εr razy, a ładunek swobodny
na okładkach kondensatora nie zmienia się (kondensator został naładowany i następnie odłączony od źródła – baterii) więc
energia kondensatora maleje.
http://epodreczniki.open.agh.edu.pl/openagh-simulation.php?fileId=1039
Publikacja udostępniona jest na licencji Creative Commons Uznanie autorstwa - Na tych samych warunkach 3.0 Polska. Pewne
prawa zastrzeżone na rzecz autorów i Akademii Górniczo-Hutniczej. Zezwala się na dowolne wykorzystanie treści publikacji pod
warunkiem wskazania autorów i Akademii Górniczo-Hutniczej jako autorów oraz podania informacji o licencji tak długo, jak tylko
na utwory zależne będzie udzielana taka sama licencja. Pełny tekst licencji dostępny na stronie
http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/pl/.
Czas generacji dokumentu: 2015-07-10 09:36:44
Oryginalny dokument dostępny pod adresem: http://epodreczniki.open.agh.edu.pl/openagh-permalink.php?
link=948b9999206201a83c6bf15c4071a316
Autor: Zbigniew Kąkol, Kamil Kutorasiński