Lista nr 7

Teoria Gier i Decyzji
Lista nr 7. Rozwiązania gier o sumie zero (gry w strategiach mieszanych)
1. Niech α* i β* będą strategiami bezpieczeństwa graczy w grze <A*,B*, M >.
PokaŜ, Ŝe w ≤ M(α
α*,β
β *) ≤ w
2. Udowodnij, Ŝe jeśli α* i β * są strategiami bezpieczeństwa graczy w grze <A*,B*,M>,
to są one w równowadze. Wsk. Wykorzystać fakt, Ŝe wiadomo, iŜ wartość gry istnieje.
3. Strategię α' gracza P1 nazywamy wyrównującą w grze <A*,B*,M> jeśli jego wypłata
M(α',β ) jest stała, tzn. nie zaleŜy od strategii β gracza P2. Analogicznie definiujemy
strategie wyrównującą dla gracza P2. Udowodnij formalnie oczywisty fakt, Ŝe jeŜeli
ową stałą wypłatą jest wartość gry, to taka strategia wyrównująca jest strategią
bezpieczeństwa.
4. PokaŜ, Ŝe jeśli strategie α' i α'' są strategiami wyrównującymi gracza, to ich
kombinacja wypukła jest równieŜ strategią wyrównującą.
5. Strategie czyste w grze pułkownika Blotto zostały ponumerowane zgodnie z
następującą kolejnością. Dla Blotto: (4,0), (0,4), (3,1), (1,3), (2,2), strategie generała
Attila: (3,0), (0,3), (2,1), (1,2). PokaŜ, Ŝe strategie bezpieczeństwa (7/15,1/3,1/5,0) oraz
(1/3,7/15,0,1/5) są strategiami wyrównującymi pułkownika Blotto. WskaŜ dwie inne
strategie bezpieczeństwa dla Blotto.
6. Czy Attilla ma jakąś strategię wyrównującą?
7. Nie korzystając z metod programowania liniowego rozwiąŜ gry:
1 7 
a) 

6 − 2
 2 2 5 4
b) 6 5 1 1 


3 5 1 0
W poniŜszych grach zalecane jest sprowadzenie gry do zadania PL a następnie
wykorzystanie pakietów komputerowych typu Maple. Mathematica, lub arkusza Excel.
8. RozwiąŜ grę pułkownika Blotto dla n=6 i m=5 oraz dla n=6 i m=4. Na podstawie
tych rozwiązań sformułuj ogólne zalecenia dla dowódców wojsk.
9. RozwiąŜ grę Bajbun vs Attaturk z poprzedniej listy.
10. Rozwiązać gry:
1 − 1 2 
a) 3 2 − 3
0 3
0 
1 − 1 8 6 8 
b) 5 8 6 8 − 6
8 2 − 2 0 2 