Notatki do wykładu oraz zadania na ćwiczenia

Funkcje analityczne
Wykład 3. Funkcje holomorficzne
Paweł Mleczko
Funkcje analityczne (rok akademicki 2016/2017)
1
Funkcje zespolone zmiennej zespolonej
Funkcje zespolone zmiennej zespolonej
Niech A ⊂ C. Funkcja
f = u + iv : A → C
f (z) = f (x + iy) = u(x, y) + iv(x, y),
z = x + iy ∈ A
Jest funkcją zespoloną zmiennej zespolonej.
Rzeczywiste funkcje u i v dwóch zmiennych rzeczywistych nazywamy: Re f := u : A → R częścią rzeczywistą funkcji f , Im f := v : A → R częścią urojoną funkcji f .
Część rzeczywista i część urojona funkcji zespolonych
Czasami wygodniej jest pisać funkcje z wykorzystaniem zmiennej z. Na przykład w : C → C
w(z) = a0 + a1 z + · · · + an z n ,
z ∈ C, ai ∈ C, i = 0, 1, . . . , n
jest wielomianem (zespolonym).
Ciągłość funkcji zespolonych zmiennej zespolonej
Funkcja f = u + iv ma w punkcie x0 + iy0 granicę a + ib wtedy i tylko wtedy, gdy część rzeczywista u
ma granicę a, natomiast część urojona v granicę b.
Twierdzenie 1. Niech A ⊂ C, A zbiór otwarty, f = u + iv : A → C. Funkcja f jest ciągła w punkcie z0 ∈ A
wtedy i tylko wtedy, gdy w punkcie z0 ciągłe są funkcje u i v.
Pochodna zespolona
Niech A ⊂ C, A zbiór otwarty, f : A → C. Funkcja f jest różniczkowalna w z0 ∈ A jeśli istnieje granica
lim
z→z0
f (z) − f (z0 )
.
z − z0
Jeśli tak jest, wartość granicy nazywamy pochodną funkcji f w punkcie z0 .
1
Własności różniczkowania
Reguły różniczkowania są takie jak w przypadku funkcji rzeczywistych. Jeśli f, g mają pochodną w punkcie z0 , natomiast c ∈ C, to
(cf )0 (z0 ) = cf 0 (z0 )
(f ± g)0 (z0 ) = f 0 (z0 ) ± g 0 (z0 )
(f g)0 (z0 ) = f 0 (z0 )g(z0 ) + f (z0 )g 0 (z0 )
f 0
f 0 (z0 )g(z0 ) − f (z0 )g 0 (z0 )
(z0 ) =
g
g 2 (z0 )
(z 7→ z n )0 (z0 ) = nz0n−1
Złożenie funkcji różniczkowalnych jest różniczkowalne.
Uwaga! 1. Istota różniczkowalności w sensie zespolonym polega na tym, że w definicji pochodnej z może
dążyć do z0 na dowolny sposób na płaszczyźnie zespolonej (niekoniecznie wzdłuż prostych). Ten fakt ma
bardzo ciekawe konsekwencje.
Funkcje holomorficzne
Niech A ⊂ C, A zbiór otwarty. Mówimy, że f : A → C jest holomorficzna w A (i piszemy f ∈ H(A)), jeśli
f jest różniczkowalna w każdym punkcie zbioru A.
Jeśli f : C → C jest holomorficzna w każdym punkcie płaszczyzny C, to nazywamy ją funkcją całkowitą.
2
Równania Cauchy’ego–Riemanna
Warunek konieczny różniczkowalności
Twierdzenie 2 (Warunki Cauchy’ego–Riemanna). Niech A ⊂ C będzie zbiorem otwartym. Jeśli f = u +
iv : A → C jest różniczkowalna w z0 = x0 +iy0 ∈ A oraz ciągłą w pewnym otoczeniu z0 , to pochodne cząstkowe
funkcji f w z0 istnieją oraz spełniają w tym punkcie zależności
∂v
∂u
(x0 , y0 ) =
(x0 , y0 ),
∂x
∂y
∂u
∂v
(x0 , y0 ) = − (x0 , y0 ).
∂y
∂x
Idea dowodu
Z założenia (o różniczkowalności w z0 ) wynika istnienie granicy
f (z0 + ∆z) − f (z0 )
.
∆z→0
∆z
f 0 (z) = lim
W szczególności granice istnieją i są sobie równe dla dwóch szczególnych dróg, gdy z dąży do z0 wzdłuż
półprostej równoległej do prostej Re oraz wzdłuż półprostej równoległej do Im. Następnie porównuje się
części rzeczywiste i urojone.
2
Im
z0
z0 + ∆z
Re
Wzór na pochodną
Jeśli f = u + iv jest różniczkowalna w punkcie x0 + iy0 pochodną, to
f 0 (x0 + iy0 ) =
∂u
∂v
∂u
∂v
(x0 , y0 ) + i (x0 , y0 ) = −i (x0 , y0 ) +
(x0 , y0 ).
∂x
∂x
∂y
∂y
Warunek tylko konieczny: kontrprzykład
Przykład 1. Rozważmy funkcję
(p
|xy|, x + iy =
6 0
f (x + iy) =
0,
x + iy = 0..
Mamy
p
|(x + ∆x)0|
∂u
(0, 0) = lim
=0
∆x→0
∂x
∆x
∂v
∂u
∂v
(0, 0) =
(0, 0) =
(0, 0) = 0
∂y
∂y
∂x
Ale
q
| n12 |
lim
n→∞ 1
n
+ i n1
=
1
1
6=
= lim
1+i
1 − i n→∞
q
| n12 |
1
n
− i n1
Warunek dostateczny różniczkowalności
Twierdzenie 3. Jeśli funkcje u, v mają w otoczeniu punktu (x0 , y0 ) pochodne cząstkowe pierwszego rzędu
i te pochodne są ciągłe w tym punkcie oraz spełniają warunki Cauchy’ego–Riemanna
∂v
∂u
(x0 , y0 ) =
(x0 , y0 ),
∂x
∂y
∂u
∂v
(x0 , y0 ) = − (x0 , y0 ),
∂y
∂x
to funkcja f = u + iv ma w punkcie z0 = x0 + iy0 pochodną.
3
3
Funkcje harmoniczne
Równanie Laplace’a
Niech A ⊂ R2 , A zbiór otwarty. Niech funkcja f : A → R. Poniższe wyrażenie nazywamy równaniem
Laplace’a
∂2f
∂2f
+
= 0.
∇2 f =
∂x2
∂y 2
Funkcje spełniające powyższe równanie nazywamy funkcjami harmonicznymi.
Re f , Im f funkcji holomorficznej f są funkcjami harmonicznymi
Twierdzenie 4. Części rzeczywista oraz urojona funkcji holomorficznej są funkcjami harmonicznymi.
4
Pochodna zespolona versus pochodna rzeczywista
Pochodna funkcji f : R2 → R2
Niech f = (f1 , f2 ) : A → R2 , A ⊂ R2 , A będzie zbiorem otwartym, x0 , x0 + h ∈ A. Macierz D nazywa się
pochodną liniową funkcji f , jeśli
kf (x0 + h) − f (x0 ) − Dh∗ k
= 0.
khk
khk→0
lim
Jeśli f ma pochodną, to
 ∂f
1
(x0 )
 x1
D=
 ∂f
2
(x0 )
x1

∂f1
(x0 )

x2


∂f2
(x0 )
x2
Przypomnijmy:
khk =
q
h = (h1 , h2 ) ∈ R2 .
h21 + h22 ,
Ponadto h∗ oznacza transpozycję wektora h.
Pochodna zespolona versus pochodna rzeczywista
Twierdzenie 5. Niech A ⊂ C będzie zbiorem otwartym, f : A → C, z0 = x0 + iy0 ∈ A. Następujące warunki
są równoważne
| f jest różniczkowalna w sensie zespolonym w punkcie z0
| f jest różniczkowalna w sensie rzeczywistym (w sensie f : R2 ⊃ A → R2 ) oraz spełnione są warunki
Cauchy’ego–Riemanna
∂v
∂u
(x0 , y0 ) =
(x0 , y0 ),
∂x
∂y
∂u
∂v
(x0 , y0 ) = − (x0 , y0 ).
∂y
∂x
4
Warunki Cauchy’ego–Riemanna – inne spojrzenie
Płaszczyzna zespolona jest izomorficzna ze zbiorem macierzy postaci
a b
a, b ∈ R
−b a
z działaniem dodawania i mnożenia macierzy.
Niech A ⊂ C będzie zbiorem otwartym, f : A → C, z0 = x0 + iy0 ∈ A. Jakobian odwzorowania f jest
równy

 ∂u
∂u
(x0 , y0 )
(x0 , y0 )

 ∂x
∂y



 ∂v
∂v
(x0 , y0 )
(x0 , y0 )
∂x
∂y
Jeśli f jest holomorficzna w z0 = x0 + iy0 , to spełnione są warunki Cauchy’ego–Riemanna, więc jakobian
jest równy
 ∂u

∂u
(x0 , y0 )
(x0 , y0 )
 ∂x

∂y


 ∂u

∂u
− (x0 , y0 )
(x0 , y0 )
∂y
∂x
Pochodna zespolona jako odwzorowanie C-liniowe
b
Odwzorowanie R-liniowe D : C → C dane za pomocą macierzy
, a, b, c, d ∈ R jest C-liniowe wtedy
d
0 −1
i tylko wtedy, gdy D(iz) = iD(z). Mnożenie przez i jest dane za pomocą macierzy
(bo jest to
1 0
obrót o kąt π2 ). Zatem D jest C-liniowe wtedy i tylko wtedy, gdy
a b
0 −1
0 −1
a b
=
c d
1 0
1 0
c d
wtedy i tylko wtedy, gdy
a
c
a = d, b = −c,
czyli
D=
a
−b
b
.
a
Wniosek 1. Funkcja f jest holomorficzna w punkcie z0 wtedy i tylko wtedy, gdy f jest różniczkowalna
w sensie rzeczywistym oraz R liniowe odwzorowanie Df (z0 ) jest C-liniowe.
5
Zadania na ćwiczenia
1. Wyznaczyć część rzeczywistą i część urojoną funkcji:
| f (z) = z 2 ,
| f (z) = Re(z)/z.
2. Zbadać, czy istnieje funkcja ciągła Γ : C → C taka, że Γ|C\{0} = f , gdzie
| f (z) = z/|z|,
| (z Re(z))/|z|.
3. Znaleźć funkcję holomorficzną f (x + iy) = u(x, y) + iv(x, y) na C, wiedząc, że u(x, y) = x3 − 6x2 y −
3xy 2 + 2y 3 oraz f (0) = 0.
4. Niech f (x+iy) = y 2 −3ix2 . Znaleźć punkty, w których f 0 istnieje oraz obliczyć pochodną w tych punktach.
5
5. W jakich punktach płaszczyzny zespolonej różniczkowalna jest funkcja f (z) = eiz + z 2 ?
6. Udowodnić, że odwzorowanie liniowe przestrzeni R2 dane za pomocą macierzy
a b
c d
jest C liniowe wtedy i tylko wtedy, gdy a = d oraz b = −c.
6