Wzory do pierwszego kolokwium z analizy matematycznej

Wzory do pierwszego kolokwium z analizy matematycznej
Wa»ne granice wyra»e« nieoznaczonych
1.
2.
3.
4.
lim
√
n
n→∞
n=1
1
lim (1 + x) x = e,
lim (1 +
x→∞
x→0
1 x
) = e,
x
5.
ex − 1
= 1,
x→0
x
6.
(1 + x)r − 1
=r
x→0
x
lim
lim
dla dowolnego
sin x
= 1,
x
7.
ln(1 + x)
= 1,
x→0
x
8.
ax − 1
= ln a,
x→0
x
8.
(loga x)0 =
9.
1
(arcsin x)0 = √
,
1 − x2
lim
x→0
lim
lim
x→0
loga (1 + x)
= loga e,
x
lim
Pochodne funkcji elementarnych
1.
c0 = 0
2.
(xr )0 = rxr−1
(pochodna funkcji staªej jest równa 0),
3. (sin x)0
dla dowolnego
= cos x,
4.
(cos x)0 = − sin x,
5.
(tgx)0 =
6.
7.
r ∈ R,
1
,
cos2 x
1
(ctgx)0 = − 2
sin x
(ax )0 = ax ln a, (ex )0 = ex ,
1
1
0
, (ln x) = ,
x ln a
x
10.
1
,
(arccos x)0 = − √
1 − x2
11.
(arctgx)0 =
12.
(arcctgx)0 = −
1
,
1 + x2
1
.
1 + x2
Reguªy ró»niczkowania
1. Pochodna sumy i ró»nicy
4. Pochodna ilorazu
(f ± g)0 (x) = f 0 (x) ± g 0 (x).
f 0
g
o ile
2. Wyci¡ganie staªej przed pochodn¡
(cf )0 (x) = cf 0 (x),
gdzie
c ∈ R.
(x) =
f 0 (x)g(x) − f (x)g 0 (x)
g 2 (x)
g(x) 6= 0.
5. Pochodna funkcji zªo»onej
(g ◦ f )0 (x) = g 0 (f (x))f 0 (x).
3. Pochodna iloczynu
(f ·
g)0 (x)
=
f 0 (x)g(x)
6. Pochodna funkcji odwrotnej
+
f (x)g 0 (x).
(f −1 )0 (f (x)) =
Wyra»enia wykªadniczo-pot¦gowe
g(x)
f (x)
= eg(x) ln f (x) .
1
f 0 (x)
.
r ∈ R.