Pochodne funkcji jednej zmiennej

Pochodne funkcji rzeczywistej
jednej zmiennej rzeczywistej
Matematyka
Studium doktoranckie KAE SGH
Semestr letni 2008/2009
R. Łochowski
Pochodna funkcji w punkcie
• Założenie techniczne
f : ⊇ D → , x 0 ∈ D
oraz istnieje ciąg punktów D ∋ x n → x 0 , x n ≠ x 0
• Funkcja f posiada w punkcie x 0 pochodną
równą f ' (x 0 ) jeżeli dla dowolnego ciągu
punktów D ∋ x n → x 0 , x n ≠ x 0 zachodzi
limn →∞
f (x n ) − f (x 0 )
xn − x 0
= f ' (x 0 )
Pochodna funkcji w punkcie, c. d.
• Pochodna, o ile istnieje, jest zdefiniowana
jednoznacznie
• Jeżeli istnieją f ' (x 0 ), g ' (x 0 ) to istnieją i są
równe
( f + −g ) ' (x ) = f ' (x ) + −g ' (x ),
( f ⋅ g ) ' (x ) = f ' (x ) g (x ) + f (x ) g ' (x )
Jeżeli dodatkowo g (x ) ≠ 0, to
0
0
•
0
0
0
0
0
0
( f / g ) ' (x ) =
0
f ' (x 0 ) g (x 0 ) − f (x 0 ) g ' (x 0 )
g (x )
0 

2
0
•
Reguła łańcuchowa i pochodna
funkcji odwrotnej
Jeżeli istnieją f ' (x ), g ' ( f (x )), to istnieje
również (g f ) ' (x ) i zachodzi równość
0
0
0
(g f ) ' (x ) = g ' ( f (x )) ⋅ f ' (x )
0
0
0
• Jeżeli f ' (x 0 ) ≠ 0, f (x 0 ) = y 0 oraz istnieje
−1
f
funkcja odwrotna do funkcji f, , to również
istnieje ( f −1 ) ' (y 0 ) i zachodzi równość
( f ) ' (y ) = 1 / f ' (x )
−1
0
0
• Zadanie: uzasadnić powyższe wzory
Pochodna jako funkcja
• Niech f : ⊇ D → • Niech C = {x 0 ∈ D : istnieje f ' (x 0 )}
• Funkcją pochodną funkcji f (krócej: pochodną
funkcji f) nazywamy funkcję f ' : C → ∀x ∈ C
( f ')(x ) = f ' (x )
• Zadanie: wyznaczyć pochodną funkcji exp
i pochodną funkcji ln
Funkcje elementarne
• Funkcje elementarne zmiennej rzeczywistej:
• funkcja stała, funkcja tożsamościowa
• funkcja exp
• funkcja sin
∋x x
– funkcje otrzymane jako sumy, iloczyny, ilorazy
funkcji elementarnych (wielomiany, funkcje
wymierne)
– funkcje odwrotne do funkcji elementarnych
• funkcje
ln, arcsin,...
2
ln
x
+ 1,...
– złożenia funkcji elementarnych
Pochodne funkcji elementarnych
• Ze wzorów na pochodną sumy, iloczynu,
ilorazu i złożenia funkcji oraz ze wzoru na
pochodną funkcji odwrotnej wynika, że
funkcja pochodna funkcji elementarnej jest
funkcją elementarną
• Przykłady f (x ) = | f ' (x ) =
xα
|
αx α−1
sin x
|
arctan x
|
cos x
1
x2 + 1
Pochodne a monotoniczność
• Jeżeli f jest niemalejąca na przedziale (a,b)
oraz dziedzina pochodnej funkcji f zawiera ten
przedział, to ∀x ∈ (a,b ) f ' (x ) ≥ 0
• Zachodzi twierdzenie odwrotne: jeżeli
∀x ∈ (a, b ) f ' (x ) ≥ 0 to funkcja f jest
niemalejąca na przedziale [a,b]
• Zadanie: rozstrzygnąć czy jeżeli f jest (ściśle)
rosnąca na przedziale (a,b) oraz dziedzina
pochodnej funkcji f zawiera ten przedział, to
∀x ∈ (a, b ) f ' (x ) > 0 ?
Pochodne drugiego rzędu
a wypukłość
• Pochodną drugiego rzędu funkcji f nazywamy
funkcję pochodną pochodnej funkcji f
f '' = ( f ') '
• Jeżeli funkcja f jest wypukła na przedziale (a,b)
oraz dziedzina pochodnej drugiego rzędu
funkcji f zawiera ten przedział, to
∀x ∈ (a, b ) f '' (x ) ≥ 0
• Zadanie: rozstrzygnąć, czy zachodzi
twierdzenie odwrotne
Pochodne wyższych rzędów
wzór Taylora
• Pochodne wyższych rzędów definiujemy
rekurencyjnie: pochodną rzędu n. funkcji f
nazywamy funkcję pochodną pochodnej (n-1).
rzędu funkcji f f (n ) = ( f (n − 1) ) ', n = 2, 3, ...
(n )
• Jeżeli istnieje f (x 0 ) , to w otoczeniu punktu x 0
funkcję f można przybliżyć wielomianem (st. n)
limx →x
(n )


f
x
n
(
)


0
f (x ) −  f (x 0 ) + f ' (x 0 )(x − x 0 ) + ... +
x − x0 ) 
(
n!




0
n
(x − x )
0
=0