laminat

MODELOWANIE INŻYNIERSKIE
44, s. 171-178, Gliwice 2012
ISSN 1896-771X
MODELOWANIE WPŁYWU LICZBY WARSTW
RĘCZNIE WYTWARZANYCH LAMINATÓW KOMPOZYTOWYCH
NA ICH WŁAŚCIWOŚCI MECHANICZNE PRZY ZGINANIU
MARIUSZ KUKLIŃSKI
Zakład Mechaniki Stosowanej, Uniwersytet Technologiczno – Przyrodniczy w Bydgoszczy
e-mail: [email protected]
Streszczenie. W artykule przedstawiono wyniki badań symulacyjnych wpływu
liczby warstw laminatu na jego wytrzymałość przy zginaniu z uwzględnieniem
wpływu współczynnika wzmocnienia. Modelowanie wyżej wspomnianej
zależności
przeprowadzono
z
zastosowaniem
zastępczych
modeli
jednowarstwowych (ESL) [1], które bazują głównie na klasycznej teorii płyt
laminowanych oraz na teorii ścinania pierwszego rzędu. Przyjmując, że warstwy
laminatu są jednakowe, wyniki symulacji wykazują, że laminat czterowarstwowy
powinien posiadać największą wytrzymałość na zginanie. Będą prowadzone
dalsze badania w celu weryfikacji otrzymanych wyników.
1. WSTĘP
Materiały kompozytowe dają szerokie możliwości w planowaniu ich właściwości
mechanicznych, niezbędnych w projektowaniu wytrzymałych, lekkich i niezawodnych
konstrukcji. Ostatnie osiągnięcia na polu mechaniki materiałów kompozytowych sprawiły, że
w coraz szerszym zakresie zastępują one tradycyjne materiały konstrukcyjne, takie jak metale
czy drewno. Obecnie dostępne są materiały kompozytowe o wysokim stopniu złożoności
i dokładności wykonania. Na naszym rodzimym gruncie wciąż jednak dominują kompozyty
wytwarzane z powszechnie dostępnych i tanich komponentów, takich jak maty i tkaniny
z włókna szklanego oraz żywice poliestrowe i epoksydowe. Z wielu powszechnie
stosowanych technologii, takich jak nasycanie ciśnieniowo-próżniowe (Resin Transfer
Moulding), infuzja próżniowa (Resin Film Infusion), technologia LFI (Long Fibre Injection)
czy też metoda kontaktowa (ręczna) najczęściej stosowana jest ta ostatnia. Metoda
kontaktowa zwykle nie pozwala na uzyskanie konkurencyjnych współczynników
wzmocnienia i pozostawia duży procent pustek. Przy niewielkiej ilości produkowanych
elementów jest najprostsza i najczęściej stosowana.
W kompozytach produkowanych metodą kontaktową, które charakteryzują się małym
współczynnikiem wzmocnienia, poszczególnych warstw nie można uznać za jednorodne na
całej ich grubości. Wzmocniona jest jedynie środkowa część warstwy laminatu, natomiast jej
części zewnętrzne stanowi głównie żywica. Do modelowania elementów konstrukcyjnych
z laminatów stosuje się elementy skończone, które nie uwzględniają zmian parametrów
mechanicznych warstwy laminatu wzdłuż jego grubości. To uproszczenie prowadzi do
172
M. KUKLIŃSKI
zaniedbania bardzo ważnej cechy laminatów produkowanych metodą kontaktową, jaką jest
zależność parametrów mechanicznych od liczby warstw laminatu.
W niniejszej pracy przedstawiono wyniki symulacji dla zginania trójpunktowego belki
prostej wykonanej z laminatu metodą kontaktową. Wyprowadzone równania konstytutywne
opierają się na klasycznej teorii płyt laminowanych oraz na teorii odkształcenia postaciowego
pierwszego rzędu (teorii ścinania pierwszego rzędu). Przy stosowaniu tych dwóch teorii nie
jest spełniony warunek ciągłości naprężeń stycznych na granicach warstw [2]. Wynika stąd
konieczność stosowania teorii ścinania wyższych rzędów [3]. Symulację przeprowadzono dla
laminatów symetrycznych o parzystej liczbie warstw. Do oceny otrzymanych wyników
zastosowano metodę porównawczą. Obliczano współczynnik zwiększenia naprężeń αS (7)
jako iloraz wartości maksymalnych naprężeń normalnych w belce zginanej z laminatu o danej
ilości warstw do wartości maksymalnych naprężeń normalnych obliczonych dla belki
jednorodnej o tej samej grubości oraz w tych samych warunkach obciążenia.
2. WYPROWADZENIE RÓWNAŃ KONSTYTUTYWNYCH
2.1. Właściwości warstwy laminatu
Przyjęto ortotropowy model warstwy laminatu, dla którego równania konstytutywne mają
postać:
 1
 E
 1
  12
 1   
   E1
 2     13
 3   E1
  
 4   0
 5  
  
 6 
0


 0

 21
E2
1
E2

 23
E2

 31
E3

 32
E3
1
E3

0
0
0
0
0
0
0
0
1
G23
0
0
0
1
G13
0
0
0
0
0

0 

0   1 

  2 
0  
  3     S     C  .
 
0   4 
  5 
 
0   6 

1 

G12 
(1)
Rys.1. Osie układu współrzędnych dla warstwy laminatu wzmocnionej jednokierunkowo
MODELOWANIE WPŁYWU LICZBY WARSTW RĘCZNIE WYTWARZANYCH LAMINATÓW… 173
Stałe materiałowe warstwy laminatu obliczono, stosując regułę mieszanin, zgodnie z którą
wartość określonego parametru kompozytu jest proporcjonalna do objętościowych udziałów
poszczególnych składników tworzących kompozyt.
Zgodnie z orientacją układu współrzędnych przedstawionego na rys.1 przyjęto następujące
zależności pomiędzy stałymi materiałowymi warstwy laminatu a właściwościami jej
składników:
E11  Em (1  f )  E11 f
E22  [ f   2 (1  f )]
E22 Em
Em f  E22 2 (1  f )
G12  [ f   2 (1  f )]
G12Gm
Gm f  G1212 (1  f )
(2)
 12   12 f   m (1  f )
 2  12  0.5
W powyższych zależnościach f jest objętościowym współczynnikiem wzmocnienia, η2
oraz η12 są parametrami podziału naprężeń między włókna a osnowę, indeks m odnosi się do
osnowy, wielkości z podwójnymi indeksami do wzmocnienia, a wielkości z kreską są stałymi
materiałowymi warstwy laminatu [4].
Ponieważ celem symulacji jest zbadanie zależności pomiędzy liczbą warstw laminatu a
jego właściwościami mechanicznymi przy zginaniu, nie stosowano obrotu warstwy laminatu
wokół osi x3. Przyjęte uproszczenie ma na celu wyeliminowanie wpływu
różnic
materiałowych pomiędzy poszczególnymi warstwami na badaną zależność. Do symulacji
przyjęto laminat składający się z warstw wzmocnionych jednokierunkowo o tym samym
kącie skręcenia względem osi x3 równym 0º (rys.1.). Zastosowano stałe materiałowe dla
żywicy epoksydowej jako osnowy oraz dla szkła typu E jako wzmocnienia. Wartość
współczynnika wzmocnienia objętościowego przyjęto f = 0,3 jako wartość charakterystyczną
dla większości kompozytów produkowanych metodą kontaktową. Grubość warstwy laminatu
zależy od rodzaju wzmocnienia i jego gramatury. Na podstawie przeprowadzonych badań [5]
przyjęto, że pojedyncza warstwa laminatu składa się z części wzmocnionej o grubości 0,5
[mm] i z bocznych warstw żywicy o grubości 0,025 [mm]. Zatem przyjęta całkowita grubość
warstwy laminatu wynosi 0,55 [mm]. Ponieważ w metodzie kontaktowej produkcji laminatu
grubość bocznej warstwy żywicy zależy od jakości wykonania, symulacje przeprowadzono
także dla innych grubości tych warstw.
2.2. Klasyczna teoria płyt laminowanych
Laminaty powstają poprzez sekwencyjne nakładanie warstw wzmocnienia w formie mat,
welonów lub tkanin rowingowych ułożonych pod odpowiednim kątem oraz osnowy, którą
najczęściej jest żywica. Elementy konstrukcyjne z laminatów, których grubość jest o jeden
lub dwa rzędy mniejsza od pozostałych wymiarów, często obciążone są momentem
zginającym. Dlatego traktowane są jako elementy płytowe. Za pomocą zastępczych modeli
jednowarstwowych, wprowadzając odpowiednie założenia odnośnie do kinematyki
odkształcenia oraz stanu naprężenia wzdłuż grubości laminatu sprowadza się problem
trójwymiarowy do problemu dwuwymiarowego. W klasycznej teorii płyt laminowanych
Kirchhoffa [6], która jest traktowana jako najprostszy, zastępczy model jednowarstwowy,
obowiązują następujące założenia:
174
M. KUKLIŃSKI
linie proste prostopadłe do powierzchni środkowej przed odkształceniem
 pozostają proste po odkształceniu,
 nie ulegają wydłużeniu,
 pozostają prostopadłe do powierzchni środkowej po odkształceniu.
Z pierwszych dwóch założeń wynika, że przemieszczenie punktu w kierunku normalnym do
powierzchni płyty nie zależy od jego położenia wzdłuż grubości płyty i równe jest
przemieszczeniu powierzchni środkowej w0 oraz, że wydłużenie względne εzz jest zerowe.
Skutkiem trzeciego założenia jest brak poprzecznych odkształceń postaciowych: εxz = εyz = 0.
Rys.2. Zależności przemieszczeń wg klasycznej teorii płyt laminowanych Kirchhoffa
Zgodnie z rys.2 pole przemieszczeń w klasycznej teorii płyt laminowanych przedstawia się
zależnościami:
w
u ( x, y, z , t )  u 0 ( x, y , t )  z 0
x
w
(2)
v( x, y, z , t )  v0 ( x, y, t )  z 0 .
y
w( x, y , z , t )  w0 ( x, y, t )
Natomiast nieliniowe pole odkształceń w funkcji przemieszczeń ma postać [7]:
2
 xx
u0 1  w0 
 2 w0

 
 z
x 2  x 
x 2
 xy
 2 w0
1  u 0 v0 w0 w0 
z
 


2  y
x
x y 
xy
2
 yy
v
1  w 
 2 w0
 0   0   z
y 2  y 
y 2
0
(3)
 xz
 yz  0
 zz  0
Jeżeli przyjąć, że obroty w0 / x oraz w0 / y prostych normalnych do powierzchni
środkowej przyjmują wartości do 15º, to ich iloczynów nie można uznać za pomijalne,
dlatego występują w zależnościach (3).
MODELOWANIE WPŁYWU LICZBY WARSTW RĘCZNIE WYTWARZANYCH LAMINATÓW… 175
Równania ruchu zostały wyprowadzone na podstawie zasady prac wirtualnych:
T
 U  V  K dt  0 ,
(4)
0
gdzie δU, δV oraz δK oznaczają odpowiednio wirtualną energię odkształcenia, wirtualną
pracę sił zewnętrznych i wirtualną energię kinetyczną. Problem zginanej belki o stałej
szerokości, gdy obciążenia działają wyłącznie w kierunku osi z, można zredukować do
jednowymiarowej analizy kompozytowej płyty laminowanej. W wyniku zastosowanej
redukcji otrzymuje się następujące zależności dla składowych stanu naprężenia w k-tej
warstwie:
  2 w0 
(k )  
(k )
2 
 C11 C12 C16   2x 
 xx 

   w0 
 

 yy   C21 C22 C 26   
2 

y
 

C16 C26 C66  
 xy 

   2 w0 
(5)
 2 xy 


C11 C12

 C21 C 22
C16 C 26

C16 

C26 
C66 
(k )
 D *11
D *
 21
 D *16
D *12
D *22
D *26
D *16  M 
 
D *26   0 
D *66   0 
gdzie C  jest zredukowaną do rozważanego problemu macierzą sztywności, M jest
momentem zginającym w danym przekroju, a macierz [D*] jest macierzą odwrotną do tzw.
macierzy sztywności zginania [D] obliczaną z zależności:
D *  D 1 ,
Dij 
1 N Z k 1 2 ( k )
 z Cij dz .
3 k 1 zk
(6)
2.3. Teoria ścinania pierwszego rzędu
W tej teorii, zwanej również teorią Reissnera-Mindlina [8], pomija się trzecie założenie
teorii Kirchhoffa, tzn. przyjmuje się, że linie proste prostopadłe do powierzchni środkowej
przed odkształceniem nie muszą pozostawać do niej prostopadłe po odkształceniu. Jeżeli
jednak zawęzi się problem do trójpunktowego zginania belki z poprzedniego podrozdziału, to
naprężenie normalne  xx przedstawiać się będzie taką samą zależnością, jak w teorii
Kirchhoffa.
3. WYNIKI SYMULACJI I ICH INTERPRETACJA
Dla danych przyjętych w podrozdziale 2.1 oraz dla różnych liczb warstw w najbardziej
obciążonym przekroju obliczano współczynnik wzrostu naprężeń według zależności:
S 
 xx _ max belki z laminatu
.
 xx _ max belki jednorodne j
(7)
176
M. KUKLIŃSKI
Minimalną wartość współczynnika αS otrzymano dla czterech warstw (rys.3) dla
niewielkich grubości zewnętrznych warstw samej żywicy. Dla grubości zewnętrznych powłok
żywicy g poszczególnych warstw laminatu do ok. 0,05 [mm] zależność pomiędzy αS a liczbą
warstw laminatu ma przebieg podobny do górnego wykresu przedstawionego na rys.3 i
wykazuje minimum dla czterech warstw. Gdy grubość samej żywicy g na zewnętrznych
powierzchniach warstw laminatu zwiększono do 0,055 [mm] i więcej, minimalna wartość
współczynnika zwiększenia naprężeń wypada dla dwóch warstw.
g=0,025 [mm]
współczynnik αs
1,07
1,068
1,066
1,064
1,062
1,06
1,058
1,056
2
4
6
8
10
12
10
12
ilość warstw
g=0,055 [mm]
współczynnik αs
1,15
1,145
1,14
1,135
1,13
1,125
1,12
1,115
2
4
6
8
ilość warstw
Rys.3. Zależność współczynnika zwiększenia naprężeń αS od liczby warstw laminatu dla
grubości zewnętrznych powłok żywicy poszczególnych warstw laminatu g = 0,025 [mm]
(u góry) oraz g = 0,055 [mm] (u dołu)
Na rys.4 przedstawiono rozkład naprężeń w przekroju belki, której grubość zewnętrznych
powłok żywicy warstw laminatu jest w przybliżeniu równa zeru, oraz laminatu składającego
się z czterech warstw (dla g = 0,025 [mm]). Otrzymana wartość współczynnika zwiększenia
naprężeń pierwszej belki αS = 1, co świadczy o poprawności algorytmu. Występujące linie
poziome na górnym wykresie rys.4 świadczą o nieciągłości naprężeń normalnych na granicy
MODELOWANIE WPŁYWU LICZBY WARSTW RĘCZNIE WYTWARZANYCH LAMINATÓW… 177
pomiędzy wzmocnionym rdzeniem warstwy laminatu a zewnętrznym filmem żywicy, chociaż
w tym przypadku jego grubość jest w przybliżeniu równa zeru.
Rys.4. Rozkład naprężeń normalnych w belce zginanej o grubości filmu żywicy g ≈ 0 (u góry)
oraz w belce wykonanej z czterowarstwowego laminatu (u dołu)
Przyjmując model Kirchhoffa dla rozpatrywanej belki kompozytowej, zginanej
trójpunktowo i nieulegającej rozdzieleniu, odkształcenia εxx mają rozkład liniowy i nie zależą
od zmian właściwości materiału wzdłuż grubości belki. W rozpatrywanym przykładzie
rozkład naprężeń normalnych σxx wzdłuż grubości belki również jest liniowy, jednak różny
w każdej warstwie, w zależności od jej właściwości mechanicznych.
178
M. KUKLIŃSKI
4. PODSUMOWANIE
W wyniku symulacji numerycznych zależności własności mechanicznych przy zginaniu
kompozytów wytwarzanych ręcznie od liczby warstw, otrzymano wyniki, które wykazują, że
laminat czterowarstwowy powinien mieć największą wytrzymałość przy zginaniu. Wartości
współczynników zwiększenia naprężeń różnią się nieznacznie. Konieczne jest zatem
zweryfikowanie wyników przeprowadzonych symulacji. Wykorzystanie teorii ścinania
wyższych rzędów jest uzasadnione, chociaż pojawia się w nich trudność interpretacji
występujących współczynników. W celu sprawdzenia otrzymanych wyników zostanie
wykorzystana również metoda oparta na dyskretnych modelach wielowarstwowych (LayerWise), w której z kolei liczba niewiadomych zależy od liczby warstw. Końcowym etapem
badań będzie eksperyment.
LITERATURA
1. Carrera E.: Historical review of zig-zag theories for multilayered plates and shells.
“Applied Mechanics Review”: 2003, 56, p. 287–308.
2. Carrera E.: A refined multilayered finite-element model applied to linear and nonlinear
analysis of sandwich plates. “Composites Science and Technology” 1998, 58, p. 15531569.
3. Sheikh A.H., Chakrabarti A.: A new plate bending element based on higher-order shear
deformation theory for the analysis of composite plates. “Finite Elements in Analysis and
Design” 2003, 39, p. 883-903.
4. Ochelski F.: Metody doświadczalne mechaniki kompozytów konstrukcyjnych.
Warszawa: WNT, 2004.
5. Kukliński M.: Influence of voids and layers number on mechanical properties of hand
lay-up bended laminates. In: Polish CIMAC, 2011, Vol.6, No. 3, p. 69-74.
6. Tanigawa Y, Murakami H, Ootao Y.: Transient thermal stress analysis of a laminated
composite beam. “Journal of Thermal Stresses” 1989, 12, p. 25–39.
7. Reddy J.N.: Mechanics of laminated composite plates and shells: theory and analysis.
Boca Raton, Florida: CRC Press, 2004.
8. Reissner E.: The effects of transverse shear deformation on the bending of elastic plates.
“Journal of Applied Mechanics” 1945, 12, p. 69-76.
MODELLING OF LAYER NUMBER INFLUENCE
ON MECHANICAL PROPERTIES OF HAND LAY-UP
BENDED COMPOSITE PLATES
Summary. This paper presents results of tests focused on investigating the
relation between number of layers of laminate and its bending strength
considering the influence of enforcement ratio. Methods used for modelling the
relation between number of layers of laminate and its strength in bending are
based mainly on classical laminated plate theory and first-order shear deformation
theory. The obtained results need to be verified by the higher-order shear
deformation theory, the layer-wise theory and by an experiment.