Fizyka, technologia oraz modelowanie wzrostu kryształów
Transkrypt
Fizyka, technologia oraz modelowanie wzrostu kryształów
Fizyka, technologia oraz modelowanie wzrostu kryształów Stanisław Krukowski i Michał Leszczyński Instytut Wysokich Ciśnień PAN 01-142 Warszawa, ul Sokołowska 29/37 tel: 88 80 244 e-mail: [email protected], [email protected] Zbigniew Żytkiewicz Instytut Fizyki PAN 02-668 Warszawa, Al. Lotników 32/46 E-mail: [email protected] Wykład – 2 godz./tydzień – piątek 13.15 – 15.00 Interdyscyplinarne Centrum Modelowania UW Budynek Wydziału Geologii UW – sala 3089 http://www.unipress.waw.pl/~stach/wyklad_ptwk_2007/ 19.10.2007 1 Stanisław Krukowski Wykład 3. Równowaga termodynamiczna Rozpatrzymy układ opisywany przez zespół termodynamicznych parametrów stanu (p,T,...) Stan równowagowy – stan niezmienny w czasie w którym umieszczenie dowolnych ścian nie zaburza jego zachowania Wychylenie układu ze stanu równowagi (fluktuacyjna zmiana parametrów): U → U + δU V → V + δV S → S + δS Powrót układu do stanu równowagi zmiana parametrów o: (− δU ) (− δV ) (− δS) 19.10.2007 2 Warunek termodynamicznej stabilności Pierwsza zasada termodynamiki obowiązuje zawsze, tzn. nawet w przypadku fluktuacji zachodzi δU = − pδV + δQ δQ = δU + pδV Powrót układu do stanu równowagi zachodzi samoistnie – oznacza to że jest spełniona nierówność Clausiusa: (− TδS) ≥ (− δQ ) (− TδS) ≥ (− δU − pδV ) co daje warunek termodynamicznej stabilności: δU + pδV − TδS ≥ 0 Symbole δX zawsze oznaczają zmianę parametru X przy wychyleniu (fluktuacji) układu ze stanu równowagi: δX ≡ X − X eq 19.10.2007 3 Termodynamiczna stabilność układów zamkniętych • Układy zamknięte – warunek na zmiany zewnętrzne δU ext = 0 δVext = 0 Warunek termodynamicznej stabilności: δS ≤ 0 W układach zamkniętych w stanie równowagi entropia przyjmuje wartość maksymalną względem wszystkich zmian układu pozostawiających stałą wewnętrzną energię. • Układy zamknięte – warunek na zmiany wewnętrzne przy stałej entropii δS = 0 Warunek termodynamicznej stabilności: δU ≥ 0 W układach zamkniętych w stanie równowagi energia przyjmuje wartość minimalną względem wszystkich zmian układu pozostawiających stałą entropię. 19.10.2007 4 Układy otwarte - zmiany izochoryczno-izotermiczne • Układy otwarte – warunek na zmiany izotermiczno-izochoryczne δVext = 0 T = const Warunek termodynamicznej stabilności: δU − TδS = δ(U − TS) ≥ 0 δF ≥ 0 W układach otwartych, w stanie równowagi charakteryzującym się stałą objętością energia swobodna Helmholtza F=U-TS przyjmuje wartość minimalną (jest izochorycznym potencjałem termodynamicznym) 19.10.2007 5 Układy otwarte - zmiany izobaryczno-izotermiczne • Układy otwarte – warunek na zmiany izotermiczno-izobaryczne p = const T = const Warunek termodynamicznej stabilności: δU − TδS + pδV = δ(U + pV − TS) ≥ 0 δG ≥ 0 W układach otwartych, w stanie równowagi charakteryzującym się stałym ciśnieniem, energia swobodna Gibbsa G=U-TS+pV przyjmuje wartość minimalną (jest izobarycznym potencjałem termodynamicznym) 19.10.2007 6 Równowagowe zmiany ekstensywnych funkcji stanu • Układy o jednym rodzaju cząstek (N = liczba cząstek) Funkcje termodynamiczne ekstensywne ( ~ N): Równowagowe ich zmiany dU = TdS − pdV + µdN H = U + pV F = U − TS G = U + pV − TS dH = TdS + Vdp + µdN dF = −SdT − pdV + µdN dG = −SdT + Vdp + µdN Symbole dX zawsze oznaczają równowagową zmianę parametru X 19.10.2007 7 Wielkości intensywne i ich zmiany równowagowe Funkcje termodynamiczne intensywne (niezależne od N) A a= N A = U, H, F, G a ponadto do nich zaliczamy (p,n,T) związane równaniem stanu: f (p, n , T ) = 0 p = nk BT, n ≡ N V Równanie stanu gazu idealnego Wielkością szczególnie interesującą jest energia swobodna Gibbsa g obliczana na jedną cząstkę (atom lub molekułę): G g= =µ N Energia swobodna Gibbsa na jedną cząstkę (g) nazywamy potencjałem chemicznym 19.10.2007 8 Równowagowa zmiana G dG = d (µN) = Ndµ + µdN dG = −SdT + Vdp + µdN Ndµ = −SdT + VdP dµ = − S V 1 dT + dp = −sdT + vdp = −sdT + dp N N n Równowagowa zmiana potencjału chemicznego wyraża się wyłącznie przez funkcje intensywne nie zależy od funkcji ekstensywnych, jest naturalnym określeniem stanu układu przy zmianie liczby cząstek dN: µ = µ(p, T ) dµ s = − dT p 19.10.2007 v= 1 dµ = n dp T 9 Układy wielu faz • Fazą – nazywamy homogeniczna część układu posiadającą jednorodne własności fizyczne i chemiczne • Przejściem fazowym (przemianą fazową) nazywamy skokową zmianę własności termodynamicznych układu opisywanych funkcjami intensywnymi Klasyfikacja przejść fazowych – zachowanie pochodnych potencjału termodynamicznego G: • I rodzaju – skokowa zmiana pochodnych potencjału chemicznego (tzn. entropii oraz objętości) • II rodzaju – zmiana ta jest funkcją ciągłą 19.10.2007 10 Przejścia fazowe I rodzaju • Przejścia fazowe I rodzaju bariera energetyczna możliwość współistnienia faz G Ciepło przemiany fazowej S1 ∆Q = Tp ∆S = Tp (S2 − S1 ) S2 Tp T Wzrost kryształu – przemiana fazowa I rodzaju: i/ faza ciekła faza stała ii/ faza gazowa faza stała 19.10.2007 11 Przejścia fazowe II rodzaju • Przejścia fazowe II rodzaju brak bariery energetycznej punkty krytyczne układy silnie fluktuujące niemożliwe jest współistnienie dwu faz S=- dG dT G S C1 S1 C2 Tp T Tp T Ciepło przemiany fazowej ∆Q = Tp ∆S = Tp (S2 − S1 ) = 0 Nie jest to główny nurt tego wykładu – dane na temat charakteru tych zjawisk będą pełniły role pomocniczą. 19.10.2007 12 Układy wielofazowe – suma układów jednofazowych • Pierwsze przybliżenie – zaniedbujemy efekty związane z obecnością powierzchni rozgraniczenia faz • Wielkości ekstensywne – suma dla każdej z faz: Wielkości rozmiarowe Potencjały termodynamiczne N = N α + N β + ... U = U α + U β + ... V = Vα + Vβ + ... H = H α + H β + ... F = Fα + Fβ + ... G = G α + G β + ... 19.10.2007 13 Układy wielofazowe – więzy U1,V1,N1 U2,V2,N2 p1,T1,ρ ρ1 p2,T2,ρ ρ2 • Układ jako całość jest zamknięty: U = U1 + U 2 = const N = N1 + N 2 = const V = V1 + V2 = const • Fluktuacje – zmiany wielkości zachowanych δU = δU1 + δU 2 = 0 δU1 = −δU 2 δV = δV1 + δV2 = 0 δV1 = −δV2 δN = δN1 + δN 2 = 0 δN1 = −δN 2 19.10.2007 14 Układy wielofazowe – warunki równowagi • Równowaga mechaniczna p1δV1 + p 2 δV2 ≥ 0 p1 = p 2 • Równowaga termiczna T1δS1 + T2 δS2 ≥ 0 T1 = T2 • Równowaga chemiczna µ1δN1 + µ 2 δN 2 ≥ 0 19.10.2007 µ1 = µ 2 15 Układy wielofazowe jednoskładnikowe – liczba stopni swobody układu – diagramy fazowe • Równowaga dwu faz µ1 (p, T ) = µ 2 (p, T ) d =1 - linia d=0 - punkt • Równowaga trzech faz µ1 (p, T ) = µ 2 (p, T ) µ1 (p, T ) = µ 3 (p, T ) 19.10.2007 16 Układ jednoskładnikowy – równowaga ciało stałe faza gazowa – potencjał chemiczny • Warunek równowagi chemicznej µ s (p, T ) = µ v (p, T ) • Przybliżenie gazu idealnego p = nRT • Izotermiczna zmiana potencjału chemicznego gazu z ciśnieniem jest równa dµ = −sdT + 1 dp n p µ v (p, T ) = µ v (p o , T ) + RT ln po po – ciśnienie odniesienia - 1 bar 19.10.2007 17 Układ jednoskładnikowy – równowaga ciało stałe faza gazowa – zależność van t’Hoffa • Warunek równowagi chemicznej (faza stała ma dużą gęstość) p µ v (p o , T ) + RT ln = µ s (p, T ) ≅ µ s (p o , T ) po Przykład – ciśnienie par galu • Zależności termodynamiczne 0.01 µ s , v = h s , v − Ts s , v 18001500 1200 900 600 T [K] 1E-7 ∆s ≡ s v − s s • Zależność ciśnienia nasyconego gazu od temperatury (van t’Hoffa) ∆h p = p o exp − + ∆s RT pGa [bar] ∆h ≡ h v − h s 1E-12 1E-17 1E-22 0.0005 0.0010 0.0015 0.0020 1/T [K] Ponieważ ∆h oraz ∆s słabo zależą od temperatury zależność ciśnienia od 19.10.2007 18 odwrotności temperatury jest dana linią prostą Układ jednoskładnikowy – równowaga ciało stałe faza ciekła – zależność Clausiusa - Clapeyrona • Nie można wykonać podobnej analizy jak poprzednio gdyż ciepło topnienia nie jest znacznie większe niż zmiana entalpii w funkcji temperatury • Lecz zmiana potencjałów chemicznych obydwu faz przy przesunięciu wzdłuż linii równowagi nie narusza ich równości: dµ l = dµ s − s l dT + 1 1 dp = −s s dT + dp nl ns 1 1 Vl − Vs (s l − ss )dT = − dp = dp = (v l − v s )dp N nl ns dp s l − s s ∆s Q = = = m dT v l − v s ∆v Tm ∆v 19.10.2007 Zależność Clausiusa - Clapeyrona 19 Układ jednoskładnikowy – równowaga ciało stałe - ciecz para: diagramy p-T • Zależność Clausiusa – Clapeyrona dp s l − s s ∆s Q = = = m dT v l − v s ∆v Tm ∆v Q m = TM ∆s > 0 Al dp m >0 dT H2O dp m >0 dT vl − vs > 0 19.10.2007 vl − vs < 0 20 Układy wielofazowe dwuskładnikowe(składniki - α, β) – liczba stopni swobody układu – diagramy fazowe • Równowaga dwu faz µ1β (p, T, x1 ) = µβ2 (p, T, x 2 ) µ1α (p, T, x1 ) = µ α2 (p, T, x 2 ) d=2 - powierzchnia • Równowaga trzech faz (dodatkowo spełnione są równania) µ1α (p, T, x1 ) = µ 3α (p, T, x 3 ) d =1 µ1β (p, T, x1 ) = µβ3 (p, T, x 3 ) - linia • Równowaga czterech faz (dodatkowo spełnione są równania) µ1β (p, T, x1 ) = µβ4 (p, T, x 4 ) µ1α (p, T, x1 ) = µ α4 (p, T, x 4 ) d=0 - punkt 19.10.2007 21 Układ dwuskładnikowy – równowaga faza stała faza ciekła – diagramy x-T • Diagramy izobaryczne p = const µ1α (p, T, x1 ) = µ α2 (p, T, x 2 ) µ1β (p, T, x1 ) = µβ2 (p, T, x 2 ) x1 = x1 (p = const , x 2 ) T = T(p = const , x 2 ) • Współczynnik segregacji k= dx s (T ) x s (T ) ≅ dx l (T ) x l (T ) • Nachylenie krzywej likwidusa (liquidus slope) ml = dx l (T ) x l (T ) ≅ dT T(x l ) − T(0 ) Można otrzymać fazę stałą o19.10.2007 zadanej koncentracji – w przypadku nieskończonego (lub b. dużego) źródła 22 Układ dwuskładnikowy – równowaga ciało stałe faza ciekła – diagram eutektyczny • • Chłodzenie powolne: - krystalizujemy fazę α (lub β) - krystalizujemy strukturę wstęgową - mieszaninę faz α oraz β Chłodzenie szybkie: - otrzymujemy strukturę niejednorodną - rozpad struktury niejednorodnej (spinodalny) 19.10.2007 na fazy α oraz β K.R. Elder, J.D. Gunton & M. Grant, Phys. Rev E 54 (1996) 6476 Nie można otrzymać fazy stałej w pewnym zakresie 23 koncentracji Układ dwuskładnikowy – równowaga ciało stałe faza ciekła – diagram perytektyczny • Punkt perytektyczny - krystalizujemy fazę α przy użyciu fazy β oraz cieczy: l + α β - reakcja odwrotna – topnienie niekongruentne: β l + α Otrzymujemy fazę stałą19.10.2007 o zadanej koncentracji 24 Układ dwuskładnikowy – równowaga ciało stałe faza ciekła – punkt topnienia kongruentnego • Punkt topnienia kongruentnego - faza stała jest w równowadze z fazą ciekłą o tej samej koncentracji Przykłady – diagramy fazowe półprzewodników III-V, np. GaAs, GaN.25 19.10.2007 Układ dwuskładnikowy – równowaga potrójna (s-l-v) • Równowaga trzech faz µ1α (p, T, x1 ) = µ α2 (p, T, x 2 ) µ1β (p, T, x1 ) = µβ2 (p, T, x 2 ) µ1α (p, T, x1 ) = µ 3α (p, T, x 3 ) µ1β (p, T, x1 ) = µβ3 (p, T, x 3 ) d = 1 - linia p = p(x1 ) T = T(x1 ) x 2 = x 2 (x 1 ) x 3 = x 3 (x 1 ) Innym sformułowaniem jest użycie ciśnienia parcjalnego gdy założymy że parametrem niezależnym jest skład fazy gazowej: (1) (v): α 1 p = p * x1 x1 ≡ 19.10.2007 Nα N α + Nβ 26 Związek chemiczny: GaAs – sublimacja (vaporyzacja) • Reakcja – zmiana liczby cząstek: 1 GaAs(s) ↔ Ga ( v) + As 2 ( v) 2 δN GaAs = −δN Ga = −2δN As2 • Warunek stabilności chemicznej: µ GaAsδN GaAs + µ Ga δN Ga + µ As2 δN As2 ≥ 0 • Równowaga chemiczna: 1 µ GaAs (v ) = µ Ga (v ) + µ As 2 (v ) 2 • Entalpia sublimacji (vaporyzacji - definiowana dla warunków normalnych) 1 ( ) ∆h sub ≡ h v + h As2 (v ) − h GaAs (s ) GaAs Ga 2 • Entropia sublimacji (vaporyzacji - definiowana dla warunków normalnych) 1 ( ) ∆s sub ≡ s v + s As 2 (v ) − s GaAs (s ) GaAs Ga 19.10.2007 2 27 Związek chemiczny: GaAs – relacja van t’Hoffa • Równanie gazu idealnego: p Ga p1As/ 22 1 µ Ga (p o , T ) + µ Ga (p o , T ) + RT ln 3 / 2 p 2 o = µ GaAs (p, T ) ≅ µ GaAs (p o , T ) • Zależności termodynamiczne dają relację van t’Hoffa 1/ 2 Ga As 2 p p =p 3/ 2 0 v ∆h GaAs v exp − + ∆s GaAs RT Dodatkowym parametrem jest koncentracja np. Ga, wyrażona przez stosunek ciśnień parcjalnych: xv = p Ga p As2 19.10.2007 28 Związek chemiczny: GaAs – entalpia tworzenia • Reakcja – równowaga fazy ciekłej metalu i fazy gazowej niemetalu 1 GaAs(s) ↔ Ga (l) + As 2 ( v) 2 • Równowaga chemiczna 1 µ GaAs (v ) = µ Ga (v ) + µ As2 (v ) 2 • Entalpia i entropia tworzenia ( warunki normalne) 1 ( ) ∆h form ≡ h l + h As2 (v ) − h GaAs (s ) GaAs Ga 2 1 f ( ) ( ) ∆s form ≡ s l + s v − s GaAs Ga As 2 GaAs (s ) 2 • Zależność van t’Hoffa 1/ 2 As 2 p 1/ 2 0 =p ∆h fGaAs f + ∆s GaAs exp − RT Nie występuje żaden dowolny parametr 19.10.2007 – np. koncentracja. 29 Związek chemiczny: GaN – równowaga: kryształ - ciecz 1500 2500 2000 1750 0.01 temperature, K • Przybliżenie roztworu idealnego daje: N, at. fraction • Równanie równowagi daje µ Ga (x, T ) + µ N (x, T ) = µ GaN (p, T ) ≅ µ GaN (p o , T ) 1250 1E-3 1E-4 µ Ga (p o , T ) + RT ln (x ) = µ GaN (p o , T ) 0.0004 0.0005 0.0006 0.0007 0.0008 -1 1/T, K • Stąd otrzymujemy relację: ∆h dis x = x o exp − GaN + ∆s dis GaN RT 0,010 dis - entalpia i entropia rozpuszczania ∆h dis , ∆ s GaN GaN GaN x [at fraction] 0,008 0,006 0,004 0,002 ∆h dis GaN = h GaN (s ) − h Ga (l ) − h N (l ) 0,000 1200 ∆s dis GaN = s GaN (s ) − s Ga (l ) − s N (l ) 19.10.2007 1400 1600 T[K] 1800 2000 30 Związek chemiczny: GaAs – równowaga potrójna • Równowaga kryształ – para (gaz idealny): p Ga p1As/ 22 1 µ Ga (p o , T ) + µ As2 (p o , T ) + RT ln 3 / 2 po 2 = µ GaAs (p, T ) ≅ µ GaAs (p o , T ) • Równowaga kryształ – ciecz (roztwór idealny): µ Ga (p o , T ) + RT ln (x ) = µ GaAs (p, T ) ≅ µ GaAs (p o , T ) xv ≡ N As N Ga + N As • Zależności termodynamiczne dają relację van t’Hoffa 1/ 2 Ga As 2 p p =p 3/ 2 0 v ∆h GaAs v exp − + ∆s GaAs RT Jednak dla wysokich koncentracji ciepła te są funkcją koncentracji – odchylenie od linii prostej 19.10.2007 31 Związek chemiczny: GaAs – diagramy fazowe 19.10.2007 32 Układy wielofazowe wieloskładnikowe – liczba stopni swobody układu – reguła Gibbsa • Równowaga m faz w układzie zawierającym q składników ( µ (p, T, x ) ( ) = µ (p, T, x ) ( ) = .. = µ (p, T, x ,..x qm−1 ) ) .......................................... µ1q p, T, x1α ,..x1q −1 = µ q2 p, T, x α2 ,..x q2 −1 = .. = µ qm p, T, x αm ,..x qm−1 ) µ1α p, T, x1α ,..x1q −1 = µ α2 p, T, x α2 ,..x q2 −1 = .. = µ αm p, T, x αm ,..x qm−1 β 1 ( α 1 ,..x1q −1 β 2 ) α 2 ,..x q2−1 ( β m ) ( α m • (m-1)q równań • (q-1)m koncentracji oraz 2 stopnie swobody (p,T) Efektywna liczba stopni swobody układu (reguła faz Gibbsa) d = (q − 1)m − (m − 1)q + 2 = q − m + 2 19.10.2007 33