Zderzenia ciał

Zderzenia ciał
1. Zderzenia sprężyste
Rozpatrzymy zderzenia sprężyste dla kul o masach m1 i m2 oraz ich prędkości przed zderzeniem v1 i
v2. Chcemy obliczyć prędkości u1 i u2 obu kul po zderzeniu. Zderzenie sprężyste charakteryzuje się
tym, że energia kinetyczna przed zderzeniem równa się energii kinetycznej po zderzeniu:
1
1
1
1
m1v12 + m2 v 22 = m1u12 + m2 u 22 . [1]
2
2
2
2
Zderzające się kule traktujemy jako układ odosobniony, czyli taki, w którym działają tylko siły
wewnętrzne. Obowiązuje więc zasada zachowania pędu:
m1v1 + m2 v 2 = m1u1 + m2 u 2 . [2]
Ze wzoru [1] otrzymujemy:
(
)
(
)
m1 v12 − u12 = m2 u 22 − v 22 , [3]
a ze wzoru [2] mamy:
m1 ( v1 − u1 ) = m2 ( u 2 − v 2 ) . [4]
Dzieląc stronami równania otrzymujemy:
v1 + u1 = u 2 + v 2 , [5]
skąd mamy:
u 2 = v1 + u1 − v 2 . [6]
Podstawiając do równania [4] mamy:
m1 ( v1 − u1 ) = m2 ( v1 + u1 − 2v 2 ) , [7]
u1 =
2m2 v 2 + ( m1 − m2 ) v1
. [8]
m1 + m2
Wracając do równania [6] otrzymujemy:
u2 =
( v1 − v 2 )( m1 + m2 ) + 2m2 v 2 + ( m1 − m2 ) v1
m1 + m2
ostatecznie mamy:
u2 =
2m1v1 + ( m2 − m1 ) v 2
. [10]
m1 + m2
Przechodzimy teraz do szczególnych przypadków zderzeń sprężystych:
, [9]
a) Niech m1 = m2, czyli kule mają jednakowe masy. Wtedy ze wzorów [8] i [10] wynika:
u1 = v 2
u 2 = v1 , [11]
i
czyli kule o jednakowych masach wymieniają wzajemne swe prędkości.
b) Zakładamy, że druga kula przed zderzeniem jest nieruchoma, czyli
otrzymujemy:
u1 =
m1 − m2
v1 ,
m1 + m2
u2 =
v2=0. Wtedy
2m1v1
.
m1 + m2
Jeśli dodatkowo masy są równe, czyli m1 = m2 to mamy:
u1 = 0,
u2 = v1.
c) Gdy druga kula ma masę znacznie większą od pierwszej i jest nieruchoma, czyli gdy
m1 << m2 i v 2 = 0 , wtedy:
m1
−1
m2
u1 =
⋅ v1 ,
m1
+1
m2
2
u2 =
m1
m2
m1
+1
m2
⋅ v1 .
Jeżeli założymy, że m2 → ∞ (zagadnienie odbicia od ściany), to:
m1
= 0,
m2 → ∞ m
2
u1 → −v1 ,
lim
u 2 = 0.
Wynika z tego, że po zderzeniu kula o dużej masie (ściana) pozostaje nadal nieruchoma,
zaś mniejsza porusza się z tą samą prędkością lecz zwróconą przeciwnie.
d) Jeżeli m1 >> m2 , a równocześnie v2 = 0, to:
m2
m1
u1 =
⋅v ,
m2 1
1+
m1
1−
u2 =
2v1
.
m
1+ 2
m1
Jeśli dodatkowo założymy, że m1 → ∞ , to:
lim
m1 →∞
m2
= 0,
m1
a wtedy:
u1 → v1 i u 2 → 2v1 .
Oznacza to, że po zderzeniu kuli o bardzo dużej masie z nieruchomą kulką o masie małej,
praktycznie biorąc kula duża zachowuje swą prędkość pierwotną, a kulka mała odskakuje z
prędkością dwa razy większą od prędkości kuli dużej.
2 Zderzenia niesprężyste
Ten rodzaj zderzeń rozpatrzymy na przykładzie dwóch ciał niesprężystych o masach m1 i m2 oraz o
prędkościach przed zderzeniem v1 i v2. Niech obie prędkości mają te same kierunki i v1 niech będzie
większe od v2, czyli niech ciało pierwsze dogania drugie. Po zderzeniu, jak wiemy, następuje trwałe
odkształcenie obu ciał i biegną one jako jedna bryła z prędkością u.
W czasie tego zderzenia nie działają w układzie odosobnionym siły zachowawcze, a zatem nie stosuje
się zasada zachowania energii mechanicznej. Stosuje się zasada zachowania pędu:
m1v1 + m2 v 2 = ( m1 + m2 ) u .
Stąd prędkość wspólna obu ciał po zderzeniu równa się:
u=
m1v1 + m2 v 2
.
m1 + m2
Znając energię kinetyczną obu ciał przed zderzeniem, jak również energię kinetyczną bryły utworzonej
w wyniku zderzenia, można obliczyć stratę energii kinetycznej ∆E k = E , przekształconą na inne
postacie energii:
E=
m1v12 m2 v 22 ( m1 + m2 ) u 2
.
+
−
2
2
2
Po uwzględnieniu powyższych rozważań otrzymujemy:
E=
Czynnik
1 m1 m2
( v1 − v 2 ) 2 .
2 m1 + m2
m1 m2
przedstawia tzw. masę zredukowaną.
m1 + m2