Zderzenia w przestrzeni jednowymiarowej - Open AGH e

Zderzenia w przestrzeni jednowymiarowej
Autorzy: Zbigniew Kąkol, Bartek Wiendlocha
Rozpatrzymy zderzenie sprężyste dwóch gładkich niewirujących kul o masach m 1 i m 2 . Przed zderzeniem kule poruszają się
wzdłuż linii łączącej ich środki (zderzenie centralne) z prędkościami odpowiednio v1 i v2 , na przykład tak, jak na Rys. 1. Naszym
celem jest znalezienie prędkości u1 i u2 tych kul po zderzeniu.
Rysunek 1: Kule o masach m1 i m2 przed (a) i po (b) zderzeniu.
Z zasady zachowania pędu dla układu obu kul otrzymujemy
m1 v1 + m2 v2 = m1 u1 + m2 u2 .
(1)
Ponieważ zderzenie jest sprężyste, to zgodnie z definicją energia kinetyczna jest zachowana w tym zderzeniu
m1 v21
2
m2 v22
2
+
=
m1 u21
2
+
m2 u22
.
2
(2)
Rozwiązujemy układ dwóch równań ( 1 ) i ( 2 ) z dwoma niewiadomymi u1 , u2 i otrzymujemy
1 −m2
2
u1 = ( m
)v1 + ( m2m
)v 2
m +m
+m
1
2
1
(3)
2
oraz
1
2 −m1
u2 = ( m2m
)v 1 + ( m
)v 2 .
+m
m +m
1
2
1
(4)
2
Rozpatrzmy teraz kilka przypadków. W każdym z nich, posługując się zależnościami ( 3 ) i ( 4 ), obliczymy prędkości ciał po
zderzeniu u1 i u2 .
Zderzenie dwóch identycznych ciał m 1 = m 2 = m . Rozwiązanie: u1 = v2 , u2 = v1. . Ciała wymieniają się prędkościami i
zarazem pędami. Na przykład, gdy podczas gry w bilard poruszająca się z prędkością v kula zderza się centralnie z drugą
identyczną, ale nieruchomą kulą, to sama zatrzymuje się, a spoczywająca dotychczas kula zaczyna poruszać się z prędkością
v.
Lekka cząstka zderza się centralnie z ciężkim nieruchomym jądrem lub piłka uderza o ścianę; m 1 << m 2 , v2 = 0.
Rozwiązanie: u1 = − v2 , u2 = 0. Piłka odbija się sprężyście od ściany więc prędkość zmienia znak (wektor zmienia zwrot), a
ściana pozostaje nieruchoma.
Sytuacja odwrotna, ciężka cząstka uderza w nieruchomą cząstkę lekką; m 1 >> m 2 oraz v2 = 0. Rozwiązanie: u1 = v1 ,
u2 =2 v1 . Cząstka lekka uzyskuje prędkość dwukrotnie większą od cząstki ciężkiej, której prędkość (pęd) nie ulega zmianie.
Powyższa analiza pokazuje, na przykład jak dobierać materiał spowalniający neutrony w reaktorze. Neutrony muszą być
spowalniane, aby podtrzymać proces rozszczepienia. W tym celu zderza się je sprężyście z jądrami (spoczywającymi)
spowalniacza. Gdyby w spowalniaczu były ciężkie jądra, to neutrony zderzając się "odbijałyby" się nie tracąc nic z prędkości
(przypadek b). Gdyby natomiast spowalniaczem były cząstki lekkie, np. elektrony, to neutrony poruszałyby się wśród nich
praktycznie bez zmiany prędkości (przypadek c). Zatem trzeba wybrać moderator (spowalniacz) o masie jąder porównywalnej z
masą neutronów (przypadek a).
ZADANIE
Zadanie 1: Zderzenia neutronów
Treść zadania:
Sprawdź, jaką część swej energii kinetycznej traci neutron o masie m 1 w zderzeniu centralnym z będącym w spoczynku
jądrem atomowym o masie m 2 ? Obliczenia wykonaj dla jądra ołowiu m 2 = 206 m 1 , jądra węgla i jądra wodoru m 2 = m 1 .
Wskazówka: Skorzystaj z równania ( 3 ), uwzględniając, że v2 = 0.
ΔE
dla ołowiu E k =
k
ΔE
dla węgla E k =
k
ΔE
dla wodoru E k =
k
ROZWIĄZANIE:
Dane: zderzenie sprężyste, v2 = 0, ołów m 2 = 206 m 1 ,węgiel m 2 = 12m 1 ,wodór m 2 = m 1 .
Energia kinetyczna neutronu przed zderzeniem: Ek1 =
Energia kinetyczna neutronu po zderzeniu: Ek2 =
m1 v21
2
m1 u21
2
Względna zmiana energii neutronu podczas zderzenia:
Ek1 −Ek2
Ek1
=
v21 −u21
v21
= 1−
u21
v21
Ponieważ zderzenie odbywa się z nieruchomym jądrem ( v2 = 0), to na podstawie wzoru ( 3 )
1 −m2
u1 = ( m
) v1
m +m
1
(5)
2
więc
Ek1 −Ek2
Ek1
dla ołowiu m 2 = 206m 1 więc
dla węgla m 2 = 12m 1 więc
dla wodoru m 2 = m 1 więc
Ek1 −Ek2
Ek1
Ek1 −Ek2
Ek1
Ek1 −Ek2
Ek1
2
= 1 − ( m1 +m2 ) =
m −m
1
2
4m1 m2
(m1 +m2 )2
(6)
= 0.02 (2%)
= 0.28 (28%)
= 1 (100%)
Wyniki te pokazują, dlaczego parafina, która jest bogata w wodór, jest dobrym spowalniaczem (a nie ołów).
Rozważmy teraz przypadek zderzenia całkowicie niesprężystego. Przy zderzeniach niesprężystych energia kinetyczna nie jest
zachowana. Energia będąca różnicą pomiędzy początkową i końcową energią kinetyczną przechodzi w inne formy energii, na
przykład w ciepło lub energię potencjalną związaną z deformacją ciała podczas zderzenia. Tak jest w przypadku wahadła
balistycznego, które służy do pomiaru prędkości pocisków. Składa się ono z bloku drewnianego o masie M , wiszącego na dwóch
sznurach. Pocisk o masie m , mający prędkość poziomą v, wbija się w klocek i zatrzymuje w nim. Po zderzeniu wahadło, tzn. klocek
z tkwiącym w nim pociskiem, wychyla się i podnosi na maksymalną wysokość h tak, jak pokazano na Rys. 2.
Rysunek 2: Wahadło balistyczne.
Pęd przed zderzeniem jest równy pędowi pocisku, poniważ klocek jest nieruchomy. Natomiast po zderzeniu klocek i pocisk
poruszają się razem. Stosując zasadę zachowania pędu, otrzymujemy
mv = (m + M)u,
(7)
gdzie u jest prędkością układu klocek - pocisk zaraz po zderzeniu. W zderzeniu część energii kinetycznej pocisku jest tracona m.in.
na ciepło i odkształcenie klocka, w który pocisk się wbija. Pozostała część energii kinetycznej zamienia się po zderzeniu w
potencjalną energię grawitacji, co możemy zapisać w postaci równania
1
2
(m + M)u2 = (m + M)gh.
(8)
Rozwiązując ostatnie dwa równania, otrzymujemy
v=
m+M
m
−−−
√2gh.
(9)
Wystarczy więc zmierzyć wysokość h oraz masy m i M , aby móc wyznaczyć prędkość pocisku v.
ZADANIE
Zadanie 2: Wahadło balistyczne
Treść zadania:
Sprawdź, jaka część początkowej energii zostaje zachowana w tym zderzeniu. Przyjmij masę pocisku m = 5 g, a masę klocka
M = 2 kg. Wynik zapisz poniżej.
Wskazówka: Skorzystaj z równania ( 9 ) i oblicz iloraz
1
2
(m+M)u2
1
2
mv2
(10)
=
ROZWIĄZANIE:
Dane: m = 5g, M = 2 kg.
Obliczamy stosunek energii kinetycznej układu klocek – pocisk, zaraz po zderzeniu, do energii kinetycznej pocisku przed
zderzeniem. Korzystając ze wzoru ( 9 ), otrzymujemy
1
2
(m+M)u2
1
2
mv2
=
(m+M)gh
1
2
m( m+M
m
2
) 2gh
=
m
.
m+M
Podstawiając dane otrzymujemy stosunek m/(m + M) ∼ 0.0025. Oznacza to, że zachowane zostaje tylko 0.25%
99.75%
(11)
początkowej energii kinetycznej, a 99.75%ulega zmianie w inne formy energii.
http://epodreczniki.open.agh.edu.pl/openagh-simulation.php?fileId=1358
Publikacja udostępniona jest na licencji Creative Commons Uznanie autorstwa - Na tych samych warunkach 3.0 Polska. Pewne
prawa zastrzeżone na rzecz autorów i Akademii Górniczo-Hutniczej. Zezwala się na dowolne wykorzystanie treści publikacji pod
warunkiem wskazania autorów i Akademii Górniczo-Hutniczej jako autorów oraz podania informacji o licencji tak długo, jak tylko
na utwory zależne będzie udzielana taka sama licencja. Pełny tekst licencji dostępny na stronie
http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/pl/.
Czas generacji dokumentu: 2015-07-23 11:12:00
Oryginalny dokument dostępny pod adresem: http://epodreczniki.open.agh.edu.pl/openagh-permalink.php?
link=864ecf3843622c27a84cd06b87a11684
Autor: Zbigniew Kąkol, Bartek Wiendlocha