Srodek masy

5. ŚRODEK MASY UKŁADU
Środek masy układu składającego się z N cząstek zajmuje określone połoŜenie, które
określamy za pomocą wektora Rsm :
N
∑ r i mi
Rsm =
i =1
N
(46)
∑ mi
i =1
Przykładowo, dla układu złoŜonego z dwóch cząstek:
+
R sm = r1 m1 r 2 m 2
m1 + m 2
(47)
środek masy
Środek masy dwóch cząstek
Wyliczmy prędkość środka masy, czyli:
•
dR sm
= R sm
dt
Vsm =
RóŜniczkując Równ. 47 względem czasu :
N
•
R sm =
•
∑ ri m i
i =1
N
∑ mi
i =1
N
=
N
∑ vi mi
i =1
N
∑ mi
i =1
=
∑p
i =1
N
i
∑ mi
i =1
=
(48)
P
N
∑m
i =1
i
gdzie pi jest pędem i-tej masy, zaś P jest pędem całego układu cząstek. Przepiszmy powyŜszy
rezultat jeszcze raz:
•
R sm =
P
M
(49)
N
gdzie M ( M = ∑ m i ) jest całkowitą masą układu. ZauwaŜmy, Ŝe Równanie powyŜsze
i =1
moŜna teŜ przepisać jako:
23
Vsm =
P
M
P = Vsm M
lub
(50)
•
gdzie Vsm = R sm jest prędkością środka masy.
Gdy nie działają siły zewnętrzne (lub gdy działają, ale ich wypadkowa wynosi zero), to
P=const i zgodnie z powyŜszym równaniem:
Vsm = const
(51)
Zapamiętajmy: jeśli na układ cząstek nie działają siły zewnętrzne (lub gdy ich wypadkowa jest
równa zeru) to prędkość środka masy jest stała (jeśli tylko całkowita masa układu nie ulega
zmianie).
RozwaŜmy teraz sytuacje, gdy na układ cząstek działa siła wypadkowa F. Widzieliśmy juŜ, Ŝe
F=
dP
, a zatem zgodnie z Równ. 50:
dt
dP
dV
= F = M sm = Ma sm
dt
dt
(52)
F = Ma sm
(53)
lub przepisując ten wynik:
Równania 50, 51 i 53 pokazują nam, Ŝe stosując pojęcie środka masy, opis układu wielu ciał
staje się bardzo prosty i sprowadza się formalnie do takich samych wzorów jak dla
pojedynczej cząstki pod warunkiem, Ŝe zastąpimy prędkość, pęd i przyspieszenie cząstki
przez te same wielkości, ale odniesione do środka masy.
Przykładem ilustrującym te zalety moŜe być opis aktu rozerwania się granatu. Po wybuchu (i
jego rozerwaniu się na tysiące części), środek masy granatu dalej porusza się po paraboli (tak
jakby nie było wybuchu), gdyŜ w momencie eksplozji nie działa na niego Ŝadna dodatkowa
siła zewnętrzna. MoŜna powiedzieć, Ŝe rozerwanie się granatu jest jego „wewnętrzną
sprawą”.
24
Środek masy granatu po wybuchu porusza się tak jakby wybuchu nie było
6. ZDERZENIA
Jest to doskonały przykład zastosowania zasady zachowania pędu.
RozwaŜmy odchylenie cząstki początkowo spoczywającej (M2) przez cząstkę nadbiegającą
(M1):
M1
M2
v1
w spoczynku
Przed zderzeniem:
M1
θ2
v 1'
θ1
M2
v 2'
Po zderzeniu (zderzenie niecentralne)
Zderzenie centralne i niecentralne
Na rysunku powyŜszym rozwaŜyliśmy od razu przypadek ogólny zderzenia, tzn. zderzenie
niecentralne; charakteryzuje je tzw. parametr zderzenia d. W przypadku d=0, mielibyśmy
zderzenie centralne i wtedy cząstki po zderzeniu poruszałyby się wzdłuŜ tej samej prostej co
przed zderzeniem. Jeśli d≠0, zderzenie jest niecentralne i cząstki rozbiegają się w róŜnych
kierunkach.
25
M1, v1
M2, v2
d
Parametr zderzenia: d
Zderzenie spręŜyste i niespręŜyste
Ponadto, rozróŜniamy zderzenia spręŜyste i niespręŜyste. Zderzenie spręŜyste ma miejsce
wtedy, gdy całkowita energia mechaniczna (a zatem kinetyczna plus potencjalna) jest
zachowana; nie ma rozproszenia energii mechanicznej na energie cieplną.
W przeciwnym przypadku (występuje rozproszenie energii mechanicznej na cieplną) – wtedy
mamy rozproszenie niespręŜyste.
Opis zderzenia w układzie laboratoryjnym
Wróćmy do przypadku przedstawionego na przedostatnim rysunku. W układzie
laboratoryjnym mamy następującą sytuację początkową:
v 1 = v1x,
v2 = 0
Prawo zachowania zapiszmy osobno dla składowej x i y:
M1 v1 = M1v1 ' cos θ1 + M 2 v 2 ' cos θ 2
0 = M1v1 ' sin θ1 − M 2 v 2 ' sin θ 2
(54)
ZałóŜmy, Ŝe zderzenia jest spręŜyste, tzn. nie ma rozproszenia energii mechanicznej na inne
postaci energii (np. na energię cieplną).
W naszym przypadku całkowita energia kinetyczna jest zachowana (nie ma bowiem zmiany
energii potencjalnej). A zatem:
1
1
1
2
2
2
M1 v1 = M1 ( v1 ' ) + M 2 ( v 2 ' )
2
2
2
(55)
Z układu równań 54 i 55 wyznaczymy 3 parametry, np.: v1’, v2’ i np. θ2 (w takim wypadku
musimy mieć dany kąt θ1; określa on nam stopień „niecentralności” zderzenia, podobnie jak
parametr d). ZauwaŜmy, Ŝe rozwiązanie powyŜszego układu równań wymaga stosunkowo
skomplikowanych przekształceń (drugie z tych równań zawiera kwadraty prędkości). Dlatego
opiszemy to samo zderzenie w układzie związanym ze środkiem masy.
Opis zderzenia w układzie środka masy
Prostszy opis zjawiska otrzymamy w układzie środka masy:
26
s. m.
M1, u1
M 2, u 2
Przed zderzeniem
s. m.
θ
M1, u1'
M2, u2'
po zderzeniu
Prędkości cząstek przed zderzeniem w układzie środka masy oznaczamy jako u1 i u2, zaś po
zderzeniu jako u1’ i u2’. Środek masy jest nieruchomy w układzie środka masy, więc
oczywiste są następujące równania:
M 1u 1 = M 2 u 2
M 1u 1 ' = M 2 u 2 '
(56)
Ponadto, jeśli zderzenie jest spręŜyste (energia kinetyczna jest zachowana), to:
Stosując do powyŜszej relacji Równ. (56), otrzymujemy:
Z równania powyŜszego dostajemy:
czyli:
(57a)
(gdyŜ rozwaŜamy tutaj tylko wartości bezwzględne prędkości).
Ponadto, z Równ. 56 otrzymujemy natychmiast:
(57b)
Widzimy, Ŝe wartość (moduł) prędkości kaŜdej z cząstek pozostaje niezmieniona po
zderzeniu.
Uzyskaliśmy tutaj wynik na prędkości końcowe, wyraŜone w układzie środka masy.
Pamiętać trzeba, Ŝe prowadząc obliczenia w układzie środka masy, musimy przeliczyć
prędkości z układu laboratoryjnego do układu środka masy, zaś na końcu trzeba zrobić
transformację w odwrotna stronę (tzn. z układu środka masy do układu laboratoryjnego).
Wzory transformacyjne są intuicyjnie oczywiste:
27
v1 = u1 + Vsm ;
v 2 = u 2 + Vsm
v1 ' = u1 '+ Vsm ;
v 2 ' = u 2 '+ Vsm
(58)
Równ. 57 i 58 umoŜliwiają wyliczenie wartości prędkości po zderzeniu. Pozostaje jeszcze
znaleźć kąt θ (zakładamy, Ŝe kąt jest znany θ1; określa on warunki zderzenia niecentralnego).
Przeprowadzając proste rozwaŜania geometryczne, moŜna wykazać, Ŝe 0 ≤ θ ≤ π oraz, Ŝe
związek między θ a θ1 jest następujący:
tgθ1 =
sin θ
cos θ + M1 / M 2
(59)
28