ZESTAW 13. FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH. Przykładowe

ZESTAW 13. FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH.
Przykładowe rozwiązania zadań.
Zadanie 1. Wyznacz dziedzinę funkcji f (x, y) =
p
1 − x2 − y 2 .
Rozwiązanie: Ponieważ pierwiastki stopni parzystych istnieją tylko dla wyrażeń nieujemnych, więc dziedziną funkcji
będzie zbiór par (x, y), dla których 1 − x2 − y 2 ­ 0, czyli x2 + y 2 ¬ 1. Jest to koło (razem z brzegiem) o środku w punkcie
(0, 0) i promieniu r = 1.
Zadanie 2. Oblicz lim(x,y)→(0,0) f (x, y), gdy f (x, y) =
x3 − y 3
.
x−y
Rozwiązanie: Ponieważ funkcja nie jest określona w punkcie P0 = (0, 0), więc wyrażenie
x3 − y 3
musimy przekształcić.
x−y
W tym celu stosujemy wzór na różnicę sześcianów. Mamy więc:
(x − y)(x2 + xy + y 2 )
x3 − y 3
= lim(x,y)→(0,0)
= lim(x,y)→(0,0) (x2 + xy + y 2 ) = 0
x−y
x−y
5 − x − y dla x 6= 1, y 6= 2
Zadanie 3. Zbadaj ciagłość funkcji f (x, y) =
1
dla x = 1, y = 2
lim(x,y)→(0,0)
Rozwiązanie: Funkcja f (x, y) jest określona w całej płaszczyźnie, więc również w punkcie P0 = (1, 2). Zauważmy, że
f (1, 2) = 1. Obliczmy
lim(x,y)→(1,2) (5 − x − y) = 2.
Ponieważ f (1, 2) 6= lim(x,y)→(1,2) (5 − x − y) zatem funkcja f (x, y) nie jest ciągła w punkcie P0 = (1, 2).
Zadanie 4. Wyznacz pochodne cząstkowe pierwszego rzędu dla funkcji u = f (x, y).
a) u = xy 2 + 3y 3 + 1
Rozwiązanie: Najpierw obliczamy pochodną względem zmiennej x traktując przy tym zmienną y jako stałą. Czyli
u0x = y 2 . Następnie obliczamy pochodną względem zmiennej y traktując zmienną x jako stałą. Czyli u0y = 2xy + 9y 2
b) u = ln(2x − 3y 2 )
Rozwiązanie: Zróżniczkujmy u jako funkcję złożoną u = lnv, gdzie v = (2x − 3y 2 ). Ze wzorów na pochodne mamy
u0v =
1
, vx0 = 2
v
i vy0 = 6y.
Na podstawie wzoru na pochodną funkcji złożonej mamy
u0x = u0v · vx0
u0y = u0v · vy0 .
oraz
Stąd
u0x =
1
·2
v
oraz
u0y =
1
· 6y,
v
gdzie v = (2x − 3y 2 ),
czyli
u0x =
2
2x − 3y 2
i
u0y =
6y
.
2x − 3y 2
Zadania do samodzielnego rozwiązania
Zadanie 1. Wyznacz dziedzinę funkcji f (x, y), gdy:
a) f (x, y) = p
b) f (x, y) =
√
1
x2
+
e) f (x, y) =
√
x+
√
y
y2
f) f (x, y) = ln(4 − x2 − y 2 )
xy
c) f (x, y) = xex+y
g) f (x, y) =
1
x
+
x x2 + y 2 − 2
1
x+y
h) f (x, y) =
p
9 − x2 − y 2
d) f (x, y) =
1
i) f (x, y) =
1
ln(|xy|)
j) f (x, y) =
1
+ lny
x2 − 2x − 3
k) f (x, y) =
1
ln(xy)
Odpowiedź:
a) Cała płaszczyzna bez punktu (0, 0).
b) Pierwsza i trzecia ćwiartka układu współrzędnych razem z osiami OX i OY .
c) Cała płaszczyzna.
d) Cała płaszczyzna bez prostej y = −x.
e) Pierwsza ćwiartka układu współrzędnych razem z brzegiem.
f) Koło bez brzegu o środku w punkcie S = (0, 0) i promieniu r = 2.
g) Cała płaszczyzna bez osi OY i okregu o środku w punkcie S = (0, 0) i promieniu r =
√
2.
h) Koło o środku w punkcie S = (0, 0) i promieniu r = 3 wraz z brzegiem.
i) Cała płaszczyzna bez osi OX i OY oraz bez hiperboli y =
1
.
x
j) I i II ćwiartka układu współrzędnych bez osi: x = −1, x = 3, y = 0.
k) I i III ćwiartka układu współrzędnych bez osi OX i OY oraz bez hiperboli y =
1
.
x
Zadanie 2. Oblicz lim(x,y)→(0,0) f (x, y), gdy:
p
a) f (x, y) = x + 2y
e) f (x, y) =
b) f (x, y) = x2 + y 2
c) f (x, y) =
ex+y − 1
x+y
2
f) f (x, y) = p
9 + x2 + y 2 − 3
x2 + y 2
x2 + y 2
x2 + y 2 + 1 − 1
2
ex +y − 1
d) f (x, y) =
x2 + y 2
Odpowiedź:
a) 0
b) 0
c) 1
d) 1
Zadanie 3. Zbadaj ciągłość funkcji f (x, y) w punkcie (0, 0) :
2

x + y 2 dla (x, y) 6= (0, 0)

a) f (x, y) =
0
dla (x, y) = (0, 0)
d) f (x, y) =


2
2
 ex +y − 1
dla (x, y) 6= (0, 0)
(
2
2
b) f (x, y) =
 x +y
1
dla (x, y) = (0, 0)
e) f (x, y) =
 p

9 + x2 + y 2 − 3
dla (x, y) 6= (0, 0)
c) f (x, y) =
x2 + y 2

2
dla (x, y) = (0, 0)
e)
4
6x − 3y
e2x−y − 1
3
d) Funkcja jest ciągła
b) Funkcja jest ciągła
e) Funkcja jest ciągła
c) Funkcja nie jest ciągła
2
f) 2
4
ex +y − 1
p
x4 + y 4
0
Odpowiedź:
a) Funkcja jest ciągła
1
6
dla
(x, y) 6= (0, 0)
dla
(x, y) = (0, 0)
dla
(x, y) 6= (0, 0)
dla
(x, y) = (0, 0)
Zadanie 4. Wyznacz pochodne cząstkowe pierwszego rzędu dla podanych funkcji u = f (x, y):
p
a) u = x3 + 2y 5 + 2x + e
h) u =
b) u = xy 2 + 3y 3 + 1
i) u = ln(2x − 3y 2 )
c) u =
1
1
+
x y
2
d) u = ex
+y 3
f) u = 2x
g) u =
2
a) u0x = 3x2 + 2,
u0y = 10y 4
b) u0x = y 2 , u0y = 2xy + 9y 2
1
1
, u0y = − 2
x2
y
e) u0x =
2
+y 3
u0y = 3y 2 ex
+ 2,
y 3 − x2 y + 6x
,
(x2 + y 2 )2
f) u0x = 2x · 2x
g) u0x = −
2
−2y
u0y =
−x
1−
x2
−
y2
u0y =
, u0y = p
k) u0x =
1
x
, u0y = − 2
y
y
m) u0x =
· ln2
−2xy
(x2 + y 2 )2
−6y
2x − 3y 2
−2y
2x
, u0y =
2
(x − y)
(x − y)2
−y 2
−2y
1 − x2 − y 2
j) u0x =
u0y =
2
−y
2
,
2x − 3y 2
2
+y 3
x3 − xy 2 + 6y
(x2 + y 2 )2
i) u0x =
l) u0x = 2xe−x
2
· ln2, u0y = −2 · 2x
1
y 2 − x2
+ 2
,
2
x
(x + y 2 )2
h) u0x = p
k) u =
x
y
m) u = ln
Odpowiedź:
d) u0x = 2xex
x+y
+1
x−y
l) u = 2 − e−x
−2y
1
x
+ 2
x x + y2
c) u0x = −
j) u =
+ 2x
xy − 3
e) u = 2
x + y2
1 − x2 − y 2
, u0y = 2ye−x
2
−y 2
1
1
, u0y = −
x
y
3
x
y
2
−y 2