Metody optymalizacji – Paweł Zieliński 1 Lista nr 3 cd. – ćwiczenia 1

1
Metody optymalizacji – Paweł Zieliński
Lista nr 3 cd. – ćwiczenia
1. Rozważmy zagadnienie plecakowe w wersji ciągłej sformułowane za pomocą następującego zadania programowania liniowego LP:
c1 x1 + · · · + cn xn → max
przy ograniczeniach:
a1 x1 + · · · + an xn ¬ b,
0 ¬ xi ¬ 1 dla i = 1, . . . , n.
Następujący algorytm wyznacza rozwiązanie problemu LP:
• Uporządkuj przedmioty w nierosnącym porządku względem stosunków
· · · ­ acnn .
ci c1
ai , a1
­
• Włóż do plecaka przedmiot (podstaw x∗i = 1) o największym stosunku (najbardziej
atrakcyjny).
Powtarzaj proces dopóki plecak nie jest pełny.
1
• x∗1 = · · · = x∗r = 1, x∗r+1 = ar+1
(b−a1 −· · ·−ar ), x∗r+2 = · · · = x∗n = 0 (r pierwszych
przedmiotów zmieściło się w całości w plecaku, tylko część r + 1-szego przedmiotu
jest w plecaku).
Pokazać, korzystając z dualności, że x ∗ jest rozwiązaniem optymalnym problem LP a
co za tym idzie rozwiązaniem optymalnym zagadnienia plecakowego w wersji ciągłej.
2. Rozważmy pewien problem wyboru, w którym dane jest n elementów oraz koszty tych
elementów ci ­ 0, i ∈ [n]. Problem polega na wyborze dokładnie p elementów, p < n,
spośród n elementów, których całkowity koszt jest minimalny. Problem formalnie można
zapisać w następujący sposób:
X
ci ,
min
y ∈Φ
y
i∈y
gdzie Φ jest zbiorem rozwiązań dopuszczalnych, tj. Φ = {yy ⊂ [n] : |yy | = p}.
Załóżmy, że koszty mogą się wahać. Niech U będzie zbiorem możliwych kosztów elementów (n-elementowych wektorów kosztów) zdefiniowanym następująco:
U = {c̃c = (ci + δi )i∈[n] : 0 ¬ δi ¬ di ,
X
δi ¬ Γ} ⊂ Rn+ ,
i∈[n]
gdzie koszty nominalne ci , i ∈ [n], odchylenia di , i ∈ [n], i budżet Γ > 0 są dane.
Ustalmy x ∈ Φ (pewien wybór) i rozważmy następujący problem, zwany problemem
adwersarza:
X
c̃i ,
(1)
max min
c̃c∈U y ∈Φxk
y
i∈y
gdzie Φxk = {yy ∈ Φ : |yy \ x | ¬ k}, liczba k, k < n jest dana. Zatem problem (1) polega
P
na znalezieniu wektora kosztów c̃c ∈ U, który maksymalizuje: miny ∈Φxk i∈yy c̃i .
Korzystając z dualności podać model programowania liniowego dla problemu (1).
Wsk. Modele prymalne i dualne powyższych problemów zachowują całkowitoliczbowość.