Równanie Bernoulliego - Open AGH e

Równanie Bernoulliego
Autorzy: Zbigniew Kąkol, Bartek Wiendlocha
Rozważmy, pokazany na Rys. 1, nielepki, ustalony, nieściśliwy przepływ płynu w strudze. Płyn na rysunku przemieszcza się w
stronę prawą. W czasie Δt powierzchnia S1 przemieszcza się o odcinek v1 Δt. Analogicznie powierzchnia S2 przemieszcza się o
odcinek v2 Δt. Na powierzchnię S1 działa siła F1 = p1 S1 , a na powierzchnię S2 siła F2 = p2 S2 .
Rysunek 1: Wyprowadzenie równania Bernoulliego
Skorzystamy teraz z twierdzenia o pracy i energii, które mówi, że praca wykonana przez wypadkową siłę jest równa zmianie
energii układu. Siłami, które wykonują pracę są F1 i F2 . Obliczamy więc całkowitą pracę
W = F1 v1 Δt − F2 v2 Δt = p1 S1 v1 Δt − p2 S2 v2 Δt
(1)
Ponieważ w czasie Δt ta sama objętość płynu V wpływa do strugi i z niej wypływa S2 v2 Δt = S1 v1 Δt = V więc
W = (p1 − p2 )V
(2)
Obliczoną pracę porównujemy ze zmianą energii strugi
(p1 − p2 )V = (
mv22
2
+ mgh2 ) − (
mv21
2
+ mgh1 )
(3)
gdzie m jest masą przemieszczonej objętości V płynu.
Dzieląc stronami równanie ( 3 ) przez objętość V , a następnie wprowadzając gęstość cieczy { ρ = m/V można, grupując
odpowiednio wyrazy, przekształcić to równanie do postaci
p1 +
ρv21
2
+ ρgh1 = p2 +
ρv22
2
+ ρgh2
(4)
Ponieważ nasze rozważania odnosiły się do dowolnych dwóch położeń, możemy opuścić wskaźniki i napisać
p+
ρv2
2
+ ρgh = const.
Równanie to nosi nazwę równania Bernoulliego dla przepływu ustalonego, nielepkiego i nieściśliwego. Jest to podstawowe
równanie mechaniki płynów. Wyraża fakt, że z przepływem płynu związane jest (oprócz ciśnienia statycznego) ciśnienie
dynamiczne ρv2 /2.
Wynika z niego, że przepływ cieczy w strudze może być wywołany różnicą ciśnień na końcach strugi lub różnicą poziomów tych
końców.
PRZYKŁAD
Przykład 1: Pompka akwariowa
(5)
Zilustrujmy to prostym przykładem pompki wodnej stosowanej na przykład w akwarystyce. W tym urządzeniu woda z
akwarium jest przepompowywana przez układ filtrów i odprowadzana z powrotem do akwarium. Po drodze woda jest
przepuszczana przez przewężenie w rurce tak jak na rysunku poniżej (Rys. 2). Prędkość wody w przewężeniu jest (zgodnie z
równaniem ciągłości) większa niż w rurce. Natomiast zgodnie z równaniem Bernoulliego, w poziomej rurce ( h = const.)
p+
ρv2
2
= const., więc gdy rośnie prędkość v i płyn jest nieściśliwy (stała gęstość), to p maleje i w przewężeniu ciśnienie
jest mniejsze niż w pozostałej części rurki. Jeżeli to przewężenie jest dostatecznie małe to ciśnienie może być niższe od
atmosferycznego, a to oznacza, że przez otwór w przewężeniu woda nie będzie uciekać tylko z zewnątrz będzie zasysane
powietrze. W ten sposób woda będzie nie tylko filtrowana ale jeszcze dodatkowo napowietrzana.
Rysunek 2: Pompka wodna
ZADANIE
Zadanie 1:
Treść zadania:
Spróbuj samodzielnie wykonać bardzo proste doświadczenie. Weź dwie kartki papieru i trzymaj je ustawione równolegle do
siebie w niewielkiej odległości (np. 1-2 cm). Następnie dmuchnij między kartki. Okazuje się, że kartki nie rozchylają się, a
zbliżają do siebie, sklejają się. Spróbuj wyjaśnić przyczynę tego zjawiska. Przykłady podobnych efektów, zwanych
paradoksami aerodynamicznymi, znajdziesz w filmach zamieszczonych na końcu modułu
Równanie Bernoulliego może być wykorzystane do wyznaczenia prędkości płynu na podstawie pomiaru ciśnienia. Ponownie
posługujemy się rurką z przewężeniem, do której przymocowano tak jak na Rys. 3, dwie pionowe rurki A i B służące do pomiaru
ciśnienia.
Rysunek 3: Pomiar prędkości płynu metodą Venturiego
Stosując równanie Bernoulliego dla punktów, w których prędkość płynu wynosi odpowiednio v1 i v2 (przewężenie) otrzymujemy
p1 +
ρv21
2
= p2 +
ρv22
2
(6)
Ponieważ v1 < v2 więc ciśnienie w przewężeniu jest mniejsze niż w rurce p2 < p1 . Różnica ciśnień zgodnie z równaniem ( 6 )
wynosi
p1 − p2 =
ρv22
2
−
ρv21
2
(7)
Z równania ciągłości wynika, że
v2 =
S1
S2
v1
(8)
Podstawiając tę zależność do równania ( 7 ) otrzymujemy
p1 − p2 =
ρv21
2
(
S12
S22
− 1)
(9)
Równocześnie tę samą różnicę ciśnień można wyznaczyć z różnicy poziomów płynu w rurkach A i B (Rys. 3)
p1 − p2 = ρgh
(10)
Porównując powyższe dwa wzory możemy wyznaczyć prędkość v1 w rurce
−−−−−−
2gh
v1 = √ 2 2
S1 /S2 −1
Metoda pomiaru prędkości płynu oparta na wyznaczeniu różnicy wysokości płynu w dwóch pionowych rurkach nosi nazwę
metody Venturiego.
Opisane powyżej zagadnienia ilustrują poniższe filmy:
http://epodreczniki.open.agh.edu.pl/openagh-video.php?id=28
Badanie cisnienia przy zmiennym przekroju strumienia
http://epodreczniki.open.agh.edu.pl/openagh-video.php?id=29
Spadek ciśnienia wzdłuż strumienia cieczy
(11)
ZADANIE
Zadanie 2: Prędkość wyciekającej wody
Treść zadania:
W zbiorniku wody na głębokości h znajduje się otwór przez który wycieka woda. Oblicz prędkość v z jaką wycieka woda.
Wskazówka: Zastosuj równanie Bernoulliego dla punktu na powierzchni cieczy i punktu w otworze przez, który wycieka
woda.
ROZWIĄZANIE:
Dane: h , przyspieszenie grawitacyjne g .
Na rysunku poniżej pokazana jest linia prądu łącząca dowolny punkt na powierzchni cieczy z otworem, przez który wypływa
woda.
^File not found.^
Stosujemy równanie Bernoulliego dla punktów (1) i (2) otrzymujemy
p1 +
ρv21
2
+ ρgh1 = p2 +
ρv22
2
+ ρgh2
Ponieważ p1 = p2 = pat i ponadto h 1 − h 2 = h więc
ρgh =
ρ
2
(v22 − v21 )
skąd
−−−−−−−
v2 = √2gh + v21
Ponieważ poziom wody w zbiorniku opada wolno, możemy przyjąć v1 = 0. Wówczas
−−−
v2 = √2gh
Woda wypływ przez otwór z prędkością jaką uzyskałaby, spadając swobodnie z wysokości h .
Filmy zamieszczone poniżej prezentują tzw. paradoksy aerodynamiczne, które łatwo wyjaśnisz, stosując właśnie poznane prawo
Bernoulliego.
http://epodreczniki.open.agh.edu.pl/openagh-video.php?id=30
Piłeczka w strumieniu powietrza
http://epodreczniki.open.agh.edu.pl/openagh-video.php?id=31
Paradoks aerodynamiczny
http://epodreczniki.open.agh.edu.pl/openagh-simulation.php?fileId=1089
Publikacja udostępniona jest na licencji Creative Commons Uznanie autorstwa - Na tych samych warunkach 3.0 Polska. Pewne
prawa zastrzeżone na rzecz autorów i Akademii Górniczo-Hutniczej. Zezwala się na dowolne wykorzystanie treści publikacji pod
warunkiem wskazania autorów i Akademii Górniczo-Hutniczej jako autorów oraz podania informacji o licencji tak długo, jak tylko
na utwory zależne będzie udzielana taka sama licencja. Pełny tekst licencji dostępny na stronie
http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/pl/.
Czas generacji dokumentu: 2015-07-08 13:28:36
Oryginalny dokument dostępny pod adresem: http://epodreczniki.open.agh.edu.pl/openagh-permalink.php?
link=b00146a61ae08c8454bca9bea99b6313
Autor: Zbigniew Kąkol, Bartek Wiendlocha