SCHEMAT BERNOULLIEGO Jest to seria n niezależnych

SCHEMAT BERNOULLIEGO
Jest to seria n niezależnych doświadczeń losowych (niezależność rozumiemy w sensie, że wynik każdego doświadczenia nie ma wpływu na wyniki innych doświadczeń), takich że: w każdym doświadczeniu są tylko dwa
możliwych wyniki - sukces (oznaczany jako 1) i porażka
(oznaczana jako 0), przy czym prawdopodobieństwo
sukcesu p ∈ (0, 1) oraz porażki 1 − p są takie same
we wszystkich doświadczeniach.
Przestrzeń probabilistyczna to (Ω, F, P ), gdzie
Ω - zbiór n-wyrazowych ciągów złożonych z 0 i 1, #Ω = 2n;
F = 2Ω; P ({ωj }) = pk (1 − p)n−k , gdzie k - liczba jedynek (sukcesów) w ciągu ωj , j = 1, . . . , 2n.
Schemat Bernoulliego jest całkowicie określony poprzez
zadanie dwóch parametrów: n ∈ N oraz p ∈ (0, 1).
Niech Sn będzie liczbą sukcesów w n doświadczeniach.
Wówczas
( )
n k
P (Sn = k) =
p (1 − p)n−k ,
k = 0, 1, 2, . . . , n.
k
(n )
Nabór liczb b(n, p, k) = k pk (1−p)n−k , k = 0, 1, 2, . . . , n,
określa tzw. rozkład dwumianowy.
1
Liczby te posiadają własności:
• b(n, p, k) > 0, k = 0, 1, 2, . . . , n;
∑n
• k=0 b(n, p, k) = 1;
• b(n, p, k) = b(n, 1 − p, n − k).
Jaka jest najbardziej prawdopodobna liczba sukcesów
w schemacie Bernoulliego?
Jeśli (n + 1)p jest liczbą całkowitą, to
max P (Sn = k) = P (Sn = (n+1)p) = P (Sn = (n+1)p−1),
0≤k≤n
natomiast jeśli (n + 1)p nie jest liczbą całkowitą, to
max P (Sn = k) = P (Sn = [(n + 1)p]),
0≤k≤n
gdzie [x] oznacza część całkowitą (podłogę) liczby x,
tzn. [x] = max {k ∈ Z : k 6 x}.
Istotnie,
b(n, p, k + 1)
=
b(n, p, k)
(
)
pk+1(1 − p)n−k−1
(n − k)p
(n)
=
.
k
n−k
(k + 1)(1 − p)
k p (1 − p)
n
k+1
Ostatnie wyrażenie jest większe od 1, gdy k < (n+ 1)p− 1,
oraz mniejsze od 1, gdy k > (n + 1)p − 1.
2