Wrocław Podwójne szeregi Czebyszewa funkcji

R O C Z N IK I P O L S K IE G O T O W A R Z Y S T W A M A T E M A T Y C Z N E G O
S eria III: M A T E M A T Y K A S T O S O W A N A X X II (1983)
K ry s ty n a Z ię ta k
Wrocław
Podwójne szeregi Czebyszewa funkcji hipergeometrycznych
dwóch zmiennych*
(Praca wpłynęła do Redakcji 19.06.1980)
wsTęp
V pracy podano wzory dla współczynników podwójnego szeregu
Czebyszewa funkcji hipergeometrycznej dwóch zmiennych x,y •
Współczynniki te wyrażają się przez inne funkcje hipergeometryczne dwóch zmiennych. W szczególności) dla funkcji hipergeometrycznych, które wyrażają się przez odpowiednie funkcje hipergeometryczne jednej zmiennej z argumentem postaci x + y ,
współczynniki Czebyszewa są wartościami innej funkcji hipergeometryczne j jednej zmiennej.
W paragrafie 1 podano podstawowe informacje dotyczące podwójnych szeregów Czebyszewa. Znane są ich liczne numeryczne
zastosowania (zob. np. Basu [2], Paszkowski [5 ], str. 3^0)•
Opracowano również algorytmy obliczania sum częściowych takich
szeregów. Basu [2 ] podaje uogólnienie algorytmu Clenshawa sumowania pojedynczego szeregu na przypadek podwójnych
szeregów Czebyszewa.
W paragrafie 2 podano podstawowe informacje o funkcjach
lipergeometrycznych dwóch zmiennych. W paragrafie 3 podano
zory dla współczynników podwójnego szeregu Czebyszewa dowolnej funkcji hipergeometrycznej dwóch zmiennych oraz uproszczone wersje tych wzorów dla szczególnych postaci tych funkcji.
200
K.ZięTAK
V paragrafie 4 udowodniono dwa spośród tych wzorów. Dowody pozostałych wzorów są podobne, więc z tego powodu zostały pominięte.
Niniejsza praca została wykonana w ramach problemu międzyresortowego "Teorie matematyczne i ich zastosowania"• Zawarte w niej wyniki są opublikowane częściowo w [7 ] i [8],
1. PODWÓJNE SZEREGI CZEBYSZEWA
Niech Tlc1 (x,y) oznacza następujący iloczyn wielomianów Czebyszewa pierwszego rodzaju
TjŁi(x,y) = Tjj.(x)T1 Cy) = cosfk arccos) x cos (1 arccos y) .
Wiadomo, że wielomiany
gonalny z wagą
w kwadracie
Tlr1 (x,y)
K = [ (x,y) : — 1 < x < 1,
tworzą układ zupełny i orto-
-1 < y < 1 ] .
Podwójnym szeregiem Czebyszewa funkcji
kwadracie K nazywamy szereg
f(x,y)
określonej w
CD
gdzie
natomiast znale ' oznacza, że pierwszy składnik sumy trzeba
podzielić przez 2. Współczynniki a ^
nazywamy współozynnikami Czebyszewa funkcji f (x,yj i czasami będziemy je oznaczać
symbolami
a ^ f f (x,y)]
lub
a^tf]
dla podkreślenia tego, jaką funkcję
dwójny szereg Czebyszewa.
f (x,y)
rozwijamy w po-
Dadanie jednostajnej zbieżności szeregu (1) sprowadza
się do badania jednostajnej zbieżności szeregu
PODWÓJNE SZEREGI CZEBYSZEWA
(2)
oo , oo
k=0
1=0
a
201
cos(kt)cos(lu),
łŁJ-
-JC < t,u C ji
,
który jest podwójnym szeregiem Fouriera funkcji f (cos t,oosu)
zmiennych t, u . Hobson (zob. [4], str. 710) podaje proste
kryterium zbieżności szeregu (2) dla funkcji rzeczywistych.
TWIERDZENIE 1. Jeśli funkcja g(t,u) ma wahanie skończone w kwadracie - jtct < TU , -TC < u < 3T i jedna z
jej pochodnych cząstkowych jest ograniczona w tym kwadracie, to podwójny szereg Fouriera jest zbieżny jednostajnie do funkcji g (t,u) w punktach zbioru domkniętego zawartego w zbiorze punktów ciągłości funkcji g(t,u).
W przypadku, gdy ten zbiór domknięty ma punkty na brzegu kwadratu, to w tych punktach funkcja okresowa otrzymana przez przedłużenie funkcji g (t,u) poza kwadrat
musi być ciągła.
W naszym przypadku funkcja f(cos t, cos u)
wa i jej pochodne cząstkowe są równe
(3 )
^ '
(V
. 1 / (c ° 3..,.t,l 0 0 8 u ? = _ a i n
dt
a.f (003 t, cos u) _ _ sin
ou
t
a f ( x -y)
O X
_Sf (X,y)
dy
jest okreso-
= cos t
y = cos u t
X
x = cos t
y = cos u
Jeśli więc pochodna
f_(x,y)
(lub f (x,y))
jest ograniczox
y
&a w kwadracie K , to ińwnież pochodna cząstkowa (3) (lub (4))
jest ograniczona w kwadracie — JU < t, u < jc . Łatwo sprawdzić, że funkcje f (x,y) i f (cos t, cos u) mają (lub nie
maÓą) jednocześnie wahanie skończone w odpowiednich kwadratach. Stąd otrzymujemy prosty wniosek z Twierdzenia 1.
WNIOSEK 1. Dla każdej funkcji f(x,y) ciągłej, o wahaniu
skończonym i mającej jedną pochodną cząstkową ograniczoną w kwadracie K , jej podwójny szereg Czebyszewa (1)
jest do niej zbieżny jednostajnie.
202
K.ZięTAK
Podwójne szeregi Czebyszewa mają własności analogiczne
do własności pojedynczych szeregów Czebyszewa. I tak, na przy
kład: .
(x,y)f O.y)]
=
=
W +ak-i,i+j W +afc+i,i-j W +aic+i,i+j ^
•
Własności tej dowodzi się analogicznie jak odpowiednich
własności pojedynczych szeregów Czebyszewa (zob. Paszkowski
[5], str. 1 2 3 , 128).
2. FUNKCJE HIPERGEOMETRYCZNE DWÓCH ZMIENNYCH
Funkcje hipergeometryczne dwóch zmiennych są określone jako
podwójne szeregi potęgowe (zob. np. Bateman, Erdelyi [3 ]»
str. 218)
(5)
Z(x,y) = 2
2
m=0 n=0
o współczynnikach
(6)
gdzie
a
“
““
postaci
AP (w .+u .m+v.n)
_ i “T
J - j
" JJi
^
n*j)
A
j
fw ")
= T T
JJ, ( J
w
- dowolne liczby zespolone, u , v. - dowolne liczj
j
J
by całkowite, i - funkcja gamma ,
Ca(a+1)...(a+n-1) ,
(a)n
= J 1,
l(-1)n/(1-a)_n .
n
> 0 ,
n
= 0 ,
n < 0 .
Niech
(7)
vdf
f (m,n) =
m+1 1xi
Amn
„ /
\ df m tn+1
(m,n) = -£■*-— .
S
Wiadomo, że (zob. Bateman, Erdelyi [3] » str. 221) szereg
(5) jest zbieżny w obszarze ograniczonym krzywą o równaniach
parametrycznych
PODWÓJNE SZEREGI CZEBYSZEWA
(8)
gdzie
(9)
*
=
203
•
s lira
f(a,v)
/
t— ► oo
lyl = ~ n ^ ) i
f (u,t,
yt),
-
/**w >
f ( u 9v) = lim
'
t — ►<»
0 •
g(at, v t) .
Niech.
R = ***
■
■
Wówczas (zob. Bateman, Erdelyi [3]» str. 221)
^
R =
lt(l‘.0)|
’
S =
If(0,1)|
•
Łatwo sprawdzić, że pochodne cząstkowe pierwszego rzędu
funkcji (5 ) są określone w takim samym obszarze, w jakim jest
określona sama funkcja.
Ważną grupę funkcji hipergeometrycznych dwóch zmiennych
stanowią funkcje wyrażające się funkcją hipergeometryczną jednej zmiennej z argumentem x + y . Mianowicie (zob. Appell,
Kampe de Feriet [i] , str, 151) t i&two wykazać, że
s
(11)
,Ft ( « Ł , fi,
^
^
” ^ 5
Jegl =
n
cV s
J Tl (“i>ra+n x m y n
t
mini*
Wiele znanych, często spotykanych w zastosowaniach funkcji
należy właśnie do tej klasy funkcji.
Przykłady funkcji hipergeometrycznych dwóch zmiennych są
podane m,in, w książkach Appella, Kampe de Ferieta [i], Batemana, Erdelyiego [2] oraz w pracy Srivastavy [ó] ,
204
K.ZięTAK
3 . PODWÓJNE SZEREGI CZEBYSZEWA FUNKCJI HIPERGEOMETRYCZNYCH
DWÓCH ZMIENNYCH
Rozważmy funkcję
Z (px,qy)
(12)
w
(zob. (5)) dla
< - | ^ . '^ T ’
lql<
iT()*,v)i
yu,v >
•
o .
Jest ona w tym obszarze zbieżna (zob. (7) - (9)) • Jej współozynnikl Czebyszewa określa następujące twierdzenie.
TWIERDZENIE 2. Jeśli parametry
równości (1 2 ) , to
(13)
[Z(p*,qy)]
=^(1)
(f)
p
2
i
2
q
spełniają nie-
“* P 2' ł l!“ .
gdzie
, .X
{ ¥ )
(¥)
(¥)
(¥)n
n
A
x
'm x
m x
n
'n
mu - 2m+k,2n+l (Jc+1) „C1 +1J n (1 )m (l)n
Dowód tego twierdzenia jest podany w § 4.
W szczególnym przypadku, dla funkcji (11) jej współczynniki Czebyszewa wyrażają się przez wartości odpowiedniej funk*
cji hipergeometrycznej jednej zmiennej. Mianowicie,
TWIERDZENIE 3 , Współczynniki Czebyszewa funkcji
sFt 6 *1 * Aj* p(x+y))
/V
2s+2 2 t+3 \
p tx + y ))]
« +k+l
2
.+k+l
gdzie
są równe
9
.
s
/ ,k+1 J_J
= e r r ll)
« 1+k+l+1
2
A.+k+l+1
*
k+1
--------------
k+l+1
2
1
k+1+2
2
s-t,2
, lc+l+1 ,k+1,1+1 j(p2S~*)‘
i — 1,2,...,s| j — 1,2,..«,t .
Dowód tego twierdzenia jest podany w § 4.
PODWÓJNE SZEREGI CZEBYSZEWA
205
W następnym twierdzeniu podamy wzory dla współczynników
Czebyszewa funkcji
sFt (<*± • fi }
p(x+y)2 )
.
TWIERDZENIE 4. Współczynniki Czebyszewa funkcji
sFt
(16)
(Ki )
A j ! p (x + y)
a2k,2ifsFt 6*1 * P y
‘•“ “
f e L
(i) 0V (i; 01
^
21
równe
)
p Cx+y)
r
“X ~ "
n
<!>j^k+l
<)■
j
=
,
s+3 t+3 ( < v ,k+1»2
i x
= i
P+k+1, 1+k+l;^5j+k+l,2k+2l+1 ,2k+1,21+1 ;4p),
(17)
a2k+1,2lH-l[sFt (“i i Aj' P(*+y>2)] =
'łpk+1+1fi')
TT («•), , ,
Wfa-1+1 A l
lktlł1
” W21C+1 <1)21+1
A
I I f A j A +l+1
p
S+3 t+3
,
, , ,
i
1’
j “ I
+k+l, | +k+l, 2+k+l; /3^+k+l+l , 21c+21+3, 2k+2,21+2; 4p) ,
a 2 k ,21+1
=
a 2 k + 1 ,2 1
0
*
/
Zaś dla funkcji
(18)
=
(x+y) fiFt (oc± ;
O
; p (x+y) J są równe
a2k,2i + i l > +y)sFt («i ; Aj* p(x+y)2 )] =
4px +1(i )
k+1+1
(21c) I (21+1) !
1+k+l, ^ +k+l;
f|
(cc±)k+;l
n
< « k+1
i= 1
t
/
5
s+31't+3 (0Ci+lŁ+1» 2 +lc+1i
^+k+l,2k+2l+2,2lt+1 ,21+2; 4p),
K.ZięTAK
206
(19)
a2k+1 ,21 l > +y) sFt 6*1
, t fr
=
(2^
1) , (m )T
W
h'
£ +k+l,1+k+l;
2 )1 =
w
T ' T 7T—
j D;
P^
s+/ t ł3
K
^
1’ f
+k+1-
^ j )k + i
/3^+k+l, 2k+21+2,2k+2,21+1 ; 4p) ,
a2k,21 = a2k+1,21+1 “ 0 *
Dowody powyższych trzech twierdzeń są podobne do sposobu
otrzymania współczynników pojedynczego szeregu Czebyszewa dla
funkcji hipergeometrycznej jednej zmiennej (zob. Paszkowski
[5] , str. 204). W następnym paragrafie wyprowadzimy wzory (13)1
(15) .
Wiadomo, że wielomiany Czebyszewa są funkcjami hipergeometrycznymi. Mianowicie (zob. Paszkowski [5 ]* str. 19)
T 2 h (x) = (_1)h 2F l(łl> _h; \
Tgh+i (x ) = (“ 1)h
x2F 1 (h+1, -h; 2 ; x2).
Wobec tego z twierdzenia *ł jako prosty wniosek otrzymuje się
wzory dla współczynników Czebyszewa wielomianu Tn (p(x+y)) •
Niech
aw ° 2 akl[Tn(p ( x 'y))5 *
Wówczas
WNIOSEK 2. Dla dowolnego
=
0 ,
(2 h )
1 , . . .
ile,21 =
a 2 k
p
oraz dla każdego
są prawdziwe wzory
/ ,x h
p
2k+21
Wytlc*+!1 '(_h)'k + 1
(21eVlT2iri---
k, 1 =
^
^ 3 (łl+k+1,-h+k+ ,
A +k+l,1+k+l; 2k+2l+1,2k+1,21+1; 4p ) ,
PODWÓJNE SZEREGI CZEBYSZEWA
(2h)
_ ,
2k+1 ,21+1 “
h
p
207
2k+21+2 ^ k + 1 + 1 (~h)k + l+ 1 F u .
(2k+1) l (21+1) l
4 3 (h+k+
+1+1, -h+k+1+1, ~ +k+l,2+k+l; 2k+21+3>2k+2,
(2h)
_
2k,21+1 "
a
+21+2; 4p2) ,
(2h)
2k+1,21
Analogiczne wzory otrzymujemy dla współczynników
^
(zob. [8]). Ze względu na czynnik
"*■
(-h)jt+^+^
występujący w tych wzorach mamy
a 2 k ^ 2 1
a ^
i
,
=
°
2 i + i
^
=
°
k
+
1
>
h
»
^
Funkcje hipergeoraetryczne, przez które wyrażają się
współczynniki
a ^ ^ , są w istocie skończonymi sumami. Łatwo
sprawdzić, że na przykład dla
h > 0 ,
(2h)
, / .>.h+k+l
2k+21 h-k-1
2n
al' 2oV
k , 22 11 ”=
h^ p
*
2
n = 0
(-D
p
x
y _______ (h+k+l+n-1) 1 (2k+21+2ń) !
(h-k-l-n) ! (’2k+21+n) I (Źk+ń) ! (21+ń) ! n! *
4. DOWODY TWIERDZEŃ 2 1 3
Wiadomo, że (zob. Paszkowski [5] , str. 29)
(20)
x2J = 2-2J+1
(21)
^
ks=0
__
= 2-^j ± ' (2£ j ) t 21+1 w
Udowodnimy teraz twierdzenie 2•
Z (5) mamy
j > 0 ,
,
j > o
.
208
K.ZięTAK
Niech
oo
oo
„
s 2m , . 2n
p(PX)
fqy)
'
H
.
W
z2 = 2
2
A
oo
Z3 = S
m=0
oo
S A 2mt1i2nł1(px)—
n=0
1
Z1 = g
A
1
m =0
H -
n = 0
S
ra=0
(px) 2m+1 (qy) 211 ,
’
(qy)2- ’
,
2
A2m,2n+1 <px)2“ (qy)2n+1 •
n=0
7
Korzystając ze związków (20) , (21) , możemy zapisać
Z^
staci
= is
r
^
— 2m-2n+2 2m 2n[ ^^'/2ra \ ~
p q L g § W T * (x)Jx
A2“ - 2” 2
X [ 2 Ł ) T 21(y)l =
Ll=0'
'
J
k=0 1=0
^ / 2m "\ / 2n ^\0-2 m -2 n + 2
* U - k ) (,n-lj2
A więc
(A
oo
^
^
= §
r
p
2m
(X)T
( y ) S ^ A
m=k n=l
A
2
^
2n
q
, ^
0 -
2 r a - 2 n
+
0 -
A
,
A
DteO
11=0
2 /
2 m
\
W
2 m
- 2 n
/
2 n
W
- 2 k
\
1
- 2 1 +
2 m + 2 k
f 2 n + 2 1
2
m +2 k,2
n +2 1
oo
= 4 (t) k(l) 1 S
S
A2ci+2Ic ,2n+21 X
(2m+2k) ! (2 n + 2 l) !
^ -2 m -2 n _2m
2n
X ml (m +2k) I n T ( n + 2 l ) T 2
p
q
ą f £ V k ^ 2 1
^
^
Ś k ^Tn
A
2 ra
2
x
2 m + 2 k ,2 n + 2 1 X
q
2 n
/ 2 m
l
^(
^2n+21
( 22n+2l)_2m+2k
n: 2 l)
UJ
1
co
-1
^ r ~ i
_
■
w po-
=
+ 2 k '\
.
2
v
»
PODWÓJNE SZEREGI CZEBYSZEWA
X
Ml
(2k+l)
(21+1)
209
0-2ra-2n p 2m g.2n
(2 k + ' 0 m (2 1 + 1 )n “ !“ !
W podobny sposób przekształcamy
v
| m = O|
v
n= 0
■ [ § &
^
,
*
Z^ . Otóż
2' 2m' 2n+1
p
2” ^
1-
> * « ]
w 2ra 2n+1 „-2m-2n+1
X p
q
2
Stąd
(23)
oo
a2kf21+1 = ^
^
A2m+2k,2n+21+1 (2m+2k) (2n+*l+1) x
^ _1-2m-2n-2k-21
X2
p
2ra+2k
= i J E W a ')21* 1 ^
w
UJ
; ^
^
q
2n+21+1
A
2m+2lŁ. 211+21+1
0-2m-2n 2m
2ra v~-_r*v 2xi
(2k+l)m (21+2)nm!n!
Wreszcie, przekształcając
(220
a2k+1,2l = 4 ( f )
Z^
(f)
i
Z^
^
—
x
2n
*
otrzymamy wzory
A2m+2lc+1 ,2n+21X
,n „-2m-2n 2m 2n
(2k+2) 2m (21+1) 2n
P
q
*
(2k^2)m (21+1) nm!n!
210
(25)
K.ZięrAK
t \2k+1 / \21+1 oo t oo t
a2k+1,2l+1 = 4 (fj
*
A2m+2k+1 ,2n+2l+1 X
(2 )
(2k+2)2 m (21+2)2n2-2”-2np 2V
(2k+2)ra(21+2)^m!nl
n
*
Zatem ze wzorów (22) - (25) wynika, że
/ vk
1 00
,k ,
, ^v1
akl = 4 (f) (2 )
00
A2m+k,2n+l*
/, .v
0-2m-2n 2m 2n
(k+D 2m v
Cl+1)J 2n
Orx2
P
(k+1)m (1+1) nmln!
Stąd natychmiast wynikają wzory (13) , (14) , gdyż
(26 )
(k+D 2m2 -2“ = ( j ^ i) f e a )
.
Należy jeszcze sprawdzić czy szereg (13) jest zbieżny. Otóż
pokażemy, że podwójny szereg, przez który wyrażają się współczynniki a1<.1 , jest wartością odpowiedniej funkcji hipergeometrycznej dwóch zmiennych w punkcie (p2,q^)» Mianowicie, łatwo sprawdzić, że (porównaj (7) - (9)) '•
,„ D
f (m,n) =
HtliH = f (2m+k+1,2n+l) f (2m+k, 2n+l) X
ran
(m + 1 + | )(a + 1 + |)
(m V 1 + k)(m V 1 )
$2
Y
=f lim
f2 Q*'t» Vt) =
t 1 » 00
(jLŁ,v) =f lim
t — ► 00
e 2 tytt, v t) = Y2 fy* »
9
»
p.,u >
Oi
PODWÓJNE SZEREGI CZEBYSZEWA
k
211
A więc, jeśli funkcja Z(px,qy) jest określona w obszarze wyznaczonym przez funkcje
, T(/a ,v) , zaś
y, Pi q
spełniają nierówności (12) , to szereg (1 3 ) jest
zbieżny w obszarze zdefiniowanym przez funkcje
^
^f2 ( yu»v ) * ®dyż
lp2|<
,
l $ 2
lq2| <
| f
z
( /-S ^ ) 1
(/* ,» )|
co kończy dowód twierdzenia 2 .
D o w ó d
t w i e r d z e n i a
3* Łatwo udowodnić
tożsamość
Ś
™
C )
( '“ * )
■
•
korzystając ze wzoru dla dwumianu Newtona. Z twierdzenia 2 wynika, że współczynniki Czebyszewa funkcji
s(Ft ( * i ;
P(x+y^
równe
V l [3Ft («i>
W
/ n,k+1
k+ 1 00
P (x+y^] = 4 (2)
S
00
_
E_n m *p 2m+2i
s
]T
2ra+2n+k+l
Emn = t
] T (#j) 2m+2n+k+l
]T ^
k+1
2-2m-2n
* (k + i ) m M
1
/ i m
(k+1) 2m (1+1) 2n2~2m~2n
(k+1) m (1 + 1 ) nm!n! (2m+k) !(2n+l)l'
T T (oći+k+1) 2m+2n
*
Zatem po zamianie wskaźnika sumowania
m
na
r = m + n
mamy
212
.
(2S)
K.ZięTAK
_ u _ /E f +i U
“ki - kiII U /
n
("i W
^
^
^
k łl
- f l (*i+k+1) 2r
2-2r 2r
* n! (k+1 )r__n (1 +?; n (r-n) !
r
L~ kil!
v
TT
/ xk+l JS | foj? k+ 1 oo
(cyi+k+1^ 2r
v
i5J----------- 2“2rP 2r>
(e \
*=J_______ ^
■
V2 )
_t
śzA *
] j ( / * j W " ] T [ % +k+1 )2r
ki II
(k+r-n) I (l+n)! (r-n) Inl *
Stoma wewnętrzna po
n
klll
^ 7
r! (k+l+r) I ~ q
jest rówma (zob. (27))
(k+l+r\ (v\ _
kil! (2r+k+l) I
^
\ 1 +n
\nj ~ r I (k+l+r) I (r+l) I (r+kj I *
J
Stąd oraz z (28) otrzymujemy (porównaj
s
k
(26))
s [Yoc.+k+lA /o(,+k+l+1
( s f * 1 L ] (“ i ) k + i
^kl “ kil! [2 )
t
a
\
* ~ i
r j ^ ) k+i
l+k+2^ 2 (-t+s) 2r^2r
P
(k+1 +1)r (k+1)
' '_
r (l+l)
' ' rr 1
co należało wykazać.
Dowód wzorów podanych w twierdzeniu k jest oparty na
przekształceniach analogicznych do przekształceń zastosowanych
w dwóch powyższych dowodach, dlatego go pomijamy.
P o d z i ę k o w a n i e . Bardzo dziękuję Profesorowi
S.Paszkowskiemu za zaproponowanie mi tematu powyższej pracy
i cenne uwagi.
PODWÓJNE SZEREGI CZEBYSZEWA
213
PRACE CYTOWANE
1 | P.APPELL, J.KAMPE DE FERIET, Functlons hypergeometrigues
et hyperspherigues, Paris 1926.
N.K.BASU, On double Ch.ebysh.ev series approxiiaation, SIAM J.
Numer. Anal. 10, 3 (1973) » 496-505.
H.BATEMAN, A.ERDELYI, Wy s szyje transoendientnyje
f
uniccyi , I,
Moskwa 1973*
E.W.HOBSON, The theory of functlons of a real yariable on
the theory Fouriera series, II. Cambridge 1926.
S.PASZKOWSKI, Zastosowania numeryczne wielomianów i szeregów Czebyszewa, Warszawa 1975.
H.M.SRIVASTAVA, Some formulas of Hermite and Carlitz, Rev.
Roumaine Math. Pure Appl. 17 (i972), 1257-1263.
K.ZięTAK, Double Chebyshey series for hypergeometric functions of two yąriables, Buli. Acad. Polon. Soi. 23 (1975)>
1107-1111.
------- , Współczynniki podwójnego szeregu Czebyszewa fun—
kej i T^[p (x+y)] , Raport N-15» Instytut Informatyki Uniwersytetu Wrocławskiego, Wrocław, grudzień 1976.
Instytut Informatyki
Uniwersytet Wrocławski
ł