Analiza numeryczna - egzamin IA - 2 lutego 2007 Wyniki egzaminu

Analiza numeryczna - egzamin IA - 2 lutego 2007
Wyniki egzaminu: częściowa informacja będzie na mojej stronie internetowej
Wpisy do indeksu i oglądanie prac: 6 i 7 lutego 2007 - na konsultacjach
1. (8 punktów) Funkcję f (x) = x3 aproksymujemy na przedziale [−1, 1] w sensie aproksymacji jednostajnej wielomianami stopnia ¬ n.
(a) Wykazać, że ponieważ funkcja f jest nieparzysta, to pierwszy (n = 1) i drugi
wielomian optymalny (n = 2) są takie same.
(b) Skonstruować pierwszy wielomian optymalny, wyznaczyć punkty alternansu i zilustrować to graficznie.
2. (4 punkty) Sformułować twierdzenie Czebyszewa o alternansie i krótko omówić wynikający z niego sposób konstrukcji n−tego wielomianu optymalnego w sensie aproksymacji
Czebyszewa na zbiorze n + 2 punktów.
3. (5 punktów)
(a) Podaj definicję odwzorowania zwężającego. Czy funkcja g(x) = 1/(1 + x2 ) jest
zwężająca na dowolnym przedziale? Dlaczego? Jaki jest jej punkt stały?
(b) Do jakiej granicy dąży ciąg generowany przez g(x):
xn+1 = g(xn )?
Czy ten ciąg jest zbieżny dla dowolnego x0 ?
(c) Co na podstawie poprzednich podpunktów można powiedzieć o pierwiastkach (pierwiastku) rzeczywistych wielomianu w(x) = x3 + x − 1?
4. (4 punkty) Jak można znaleźć kwadraturę
Z
1
−1
x2 f (x)dx ≈ A1 f (x1 ) + A2 f (x2 )
dokładną dla wszystkich wielomianów stopnia ¬ 3. Jak wybrać węzły kwadratury x1 i
x2 ? Uwaga. Nie musi się wszystkich obliczeń wykonywać do końca.
5. (6 punktów) Rozważmy następujący układ równań liniowych
"
1001 1000
1000 1001
#"
x1
x2
#
"
=
b1
b2
#
.
Jeśli wektor prawych stron b = [2001, 2001]T zaburzymy przez ∆b = [1, 0]T , to rozwiązanie x̂ układu Ax̂ = b + δb będzie się bardzo różnić od dokładnego rozwiązania x
układu Ax = b. Jak to wyjaśnić? Czy tak samo musi być dla innych prawych stron b?
Dlaczego?
Jak można obliczyć normę spektralną macierzy?
6. (3 punkty) Jaka jest w standardzie IEEE typ single reprezentacja najmniejszej liczby
znormalizowanej dodatniej? Jak definiuje się epsilon maszynowy?
1
Analiza numeryczna - egzamin IB - 2 lutego 2007
Wyniki egzaminu: częściowa informacja będzie na mojej stronie internetowej
Wpisy do indeksu i oglądanie prac: 6 i 7 lutego 2007 - na konsultacjach
1. (8 punktów) Funkcję f (x) = 4x3 − 3x aproksymujemy na przedziale [−1, 1] w sensie
aproksymacji jednostajnej wielomianami stopnia ¬ n.
(a) Wykazać, że ponieważ funkcja f jest nieparzysta, to pierwszy (n = 1) i drugi
wielomian optymalny (n = 2) są takie same.
(b) Skonstruować pierwszy wielomian optymalny i zilustrować to graficznie.
2. (5 punktów) Co to jest szereg Czebyszewa? W jakim sensie suma częściowa szeregu
Czebyszewa funkcji f (x) aproksymuje funkcję f ? Na czym jest oparta idea algorytmu
Clenshawa i do czego on służy?
3. (4 punkty) Zadanie obliczenia pierwiastka trzeciego stopnia z liczby dodatniej a można
sprowadzić do zadania rozwiązania równania x3 − a = 0. Zbadać graficznie, dla jakich
przybliżeń początkowych metoda Newtona - zastosowana do tego równania - będzie
√
zbieżna do 3 a. Czy jest to zbieżność kwadratowa? Dlaczego? Co to znaczy, że iteracyjna
metoda obliczania zera funkcji jest zbieżna kwadratowo?
4. (4 punkty) Co to jest kwadratura interpolacyjna? Jak można sprawdzić, czy następująca kwadratura jest interpolacyjna:
1
1
1
3
i
1h
7f (0) + 32f
+ 12f
+ 32f
+ 7f (1) ?
90
4
2
4
0
Dla jakiego stopnia wielomianów ta kwadratura jest dokładna? Z czego wynika ta odpowiedź?
Z
f (x)dx ≈
5. (6 punktów)
(a) Czy jest prawdą, że jeśli dla obliczonego numerycznie rozwiązania x̃ układu Ax = b
norma wektora Ax̃−b jest mała, to x̃ jest bardzo dobrym przybliżeniem rozwiązania
dokładnego x? Jak tę odpowiedź krótko uzasadnić?
(b) Niech x będzie dokładnym rozwiązaniem układu Ax = b o nieosobliwej macierzy
A. Niech y będzie jakimś przybliżeniem rozwiązania x, y 6= 0. Niech r = b − Ay.
Wykazać, że y jest rozwiązaniem dokładnym układu (A + E)y = b dla
E=
ry T
.
yT y
(c) Rozważmy następujący układ równań liniowych Ax = b:
"
1001 1000
1000 1001
#"
x1
x2
#
"
=
1
−1
#
.
Niech y = x + δx, gdzie x jest dokładnym rozwiązaniem powyższego układu i
δx = [0.001, 0]T . Jak na podstawie tego przykładu liczbowego można zilustrować
pierwszy podpunkt?
6. (3 punkty) Co to są liczby zdenormalizowane (subnormal) i jak się je reprezentuje?
Wyjaśnić to na przykładzie typu single w standardzie IEEE. Co to jest BIAS i po co
się go stosuje?
2
Analiza numeryczna - egzamin IC - 2 lutego 2007
Wyniki egzaminu: częściowa informacja będzie na mojej stronie internetowej
Wpisy do indeksu i oglądanie prac: 6 i 7 lutego 2007 - na konsultacjach
1. (4 punkty) Sformułować twierdzenie Czebyszewa o alternansie i krótko omówić wynikający z niego sposób konstrukcji n−tego wielomianu optymalnego w sensie aproksymacji
Czebyszewa na zbiorze n + 2 punktów.
2. (5 punktów)
(a) Podaj definicję odwzorowania zwężającego. Czy funkcja g(x) = 1/(1 + x2 ) jest
zwężająca na dowolnym przedziale? Dlaczego? Jaki jest jej punkt stały?
(b) Do jakiej granicy dąży ciąg generowany przez g(x):
xn+1 = g(xn )?
Czy ten ciąg jest zbieżny dla dowolnego x0 ?
(c) Co na podstawie poprzednich podpunktów można powiedzieć o pierwiastkach (pierwiastku) rzeczywistych wielomianu w(x) = x3 + x − 1?
3. (3 punkty) Jaka jest w standardzie IEEE typ single reprezentacja najmniejszej liczby
znormalizowanej dodatniej? Jak definiuje się epsilon maszynowy?
4. (8 punktów) Funkcję f (x) = x3 aproksymujemy na przedziale [−1, 1] w sensie aproksymacji jednostajnej wielomianami stopnia ¬ n.
(a) Wykazać, że ponieważ funkcja f jest nieparzysta, to pierwszy (n = 1) i drugi
wielomian optymalny (n = 2) są takie same.
(b) Skonstruować pierwszy wielomian optymalny, wyznaczyć punkty alternansu i zilustrować to graficznie.
5. (4 punkty) Jak można znaleźć kwadraturę
Z
1
−1
x2 f (x)dx ≈ A1 f (x1 ) + A2 f (x2 )
dokładną dla wszystkich wielomianów stopnia ¬ 3. Jak wybrać węzły kwadratury x1 i
x2 ? Uwaga. Nie musi się wszystkich obliczeń wykonywać do końca.
6. (6 punktów) Rozważmy następujący układ równań liniowych
"
1001 1000
1000 1001
#"
x1
x2
#
"
=
b1
b2
#
.
Jeśli wektor prawych stron b = [2001, 2001]T zaburzymy przez ∆b = [1, 0]T , to rozwiązanie x̂ układu Ax̂ = b + δb będzie się bardzo różnić od dokładnego rozwiązania x
układu Ax = b. Jak to wyjaśnić? Czy tak samo musi być dla innych prawych stron b?
Dlaczego?
Jak można obliczyć normę spektralną macierzy?
3
Analiza numeryczna - egzamin ID - 2 lutego 2007
Wyniki egzaminu: częściowa informacja będzie na mojej stronie internetowej
Wpisy do indeksu i oglądanie prac: 6 i 7 lutego 2007 - na konsultacjach
1. (5 punktów) Co to jest szereg Czebyszewa? W jakim sensie suma częściowa szeregu
Czebyszewa funkcji f (x) aproksymuje funkcję f ? Na czym jest oparta idea algorytmu
Clenshawa i do czego on służy?
2. (4 punkty) Zadanie obliczenia pierwiastka trzeciego stopnia z liczby dodatniej a można
sprowadzić do zadania rozwiązania równania x3 − a = 0. Zbadać graficznie, dla jakich
przybliżeń początkowych metoda Newtona - zastosowana do tego równania - będzie
√
zbieżna do 3 a. Czy jest to zbieżność kwadratowa? Dlaczego? Co to znaczy, że iteracyjna
metoda obliczania zera funkcji jest zbieżna kwadratowo?
3. (4 punkty) Co to jest kwadratura interpolacyjna? Jak można sprawdzić, czy następująca kwadratura jest interpolacyjna:
1
1
1
3
i
1h
7f (0) + 32f
+ 12f
+ 32f
+ 7f (1) ?
90
4
2
4
0
Dla jakiego stopnia wielomianów ta kwadratura jest dokładna? Z czego wynika ta odpowiedź?
Z
f (x)dx ≈
4. (8 punktów) Funkcję f (x) = 4x3 − 3x aproksymujemy na przedziale [−1, 1] w sensie
aproksymacji jednostajnej wielomianami stopnia ¬ n.
(a) Wykazać, że ponieważ funkcja f jest nieparzysta, to pierwszy (n = 1) i drugi
wielomian optymalny (n = 2) są takie same.
(b) Skonstruować pierwszy wielomian optymalny i zilustrować to graficznie.
5. (3 punkty) Co to są liczby zdenormalizowane (subnormal) i jak się je reprezentuje?
Wyjaśnić to na przykładzie typu single w standardzie IEEE. Co to jest BIAS i po co
się go stosuje?
6. (6 punktów)
(a) Czy jest prawdą, że jeśli dla obliczonego numerycznie rozwiązania x̃ układu Ax = b
norma wektora Ax̃−b jest mała, to x̃ jest bardzo dobrym przybliżeniem rozwiązania
dokładnego x? Jak tę odpowiedź krótko uzasadnić?
(b) Niech x będzie dokładnym rozwiązaniem układu Ax = b o nieosobliwej macierzy
A. Niech y będzie jakimś przybliżeniem rozwiązania x, y 6= 0. Niech r = b − Ay.
Wykazać, że y jest rozwiązaniem dokładnym układu (A + E)y = b dla
E=
ry T
.
yT y
(c) Rozważmy następujący układ równań liniowych Ax = b:
"
1001 1000
1000 1001
#"
x1
x2
#
"
=
1
−1
#
.
Niech y = x + δx, gdzie x jest dokładnym rozwiązaniem powyższego układu i
δx = [0.001, 0]T . Jak na podstawie tego przykładu liczbowego można zilustrować
pierwszy podpunkt?
4