Mechanika teoretyczna: Momenty bezwładności

Mechanika teoretyczna: Momenty
bezwładności
Mechanika teoretyczna
Momenty bezwładności – 2
Wzory do obliczenia momentów bezwładności
1. Momenty bezwładności względem płaszczyzn układu
Z
X
Ix =
mi x2i , Ix =
x2 dm
(1)
V
Iy =
Iz =
X
X
mi yi2 ,
Iy =
Z
y 2 dm
(2)
Z
z 2 dm
(3)
V
mi zi2 ,
Iz =
V
gdzie dm oznacza:
dm = ρdV dla brył
dm = ρdA dla ciał powierzchniowych
dm = ρdx dla ciał liniowych
(4)
Mechanika teoretyczna
Momenty bezwładności – 3
2. Momenty dewiacyjne względem płaszczyzn układu
Ixy =
Iyz =
Ixz =
X
X
X
mi xi yi ,
mi yi zi ,
Ixy =
Iyz =
Z
xydm
(5)
Z
yzdm
(6)
Z
xzdm
(7)
V
V
mi xi zi ,
Ixz =
V
3. Momenty bezwładności względem osi układu
Ixx =
Iyy =
Izz =
X
X
X
mi (yi2 + zi2 ),
Ixx =
Z
(y 2 + z 2 )dm
(8)
Z
(x2 + z 2 )dm
(9)
Z
(x2 + y 2 )dm
(10)
V
mi (x2i + zi2 ),
Iyy =
V
mi (x2i + yi2 ),
Izz =
V
Mechanika teoretyczna
Momenty bezwładności – 4
4. Biegunowy momenty bezwładności
X
X
2
I0 =
mi Ri =
mi (x2i + yi2 + zi2 )
I0 =
Z
V
mi (x2i + yi2 + zi2 )dm
(11)
(12)
Mechanika teoretyczna
Momenty bezwładności – 5
5. Przydatne wzory do obliczenia momentów bezwładności
I0 = Ix + Iy + Iz
(13)
Ixx = Iy + Iz
(14)
Iyy = Ix + Iz
(15)
Izz = Ix + Iy
(16)
1
(Ixx + Iyy + Izz )
2
(17)
I0 =
Momenty bezwładności
Mechanika teoretyczna
Momenty bezwładności – 6
Zadanie. Obliczyć moment bezwładności cienkiego pręta o długości L względem osi
prostopadłej i przechodzącej przez jego środek
z
L/2
L/2
y
x
Momenty bezwładności
Mechanika teoretyczna
Momenty bezwładności – 7
Ixx =
Z
(z 2 + y 2 )dm =
V
Z
z 2 dm +
| V {z }
Z
y 2 dm
(18)
V
0
ρ=
kg
m
(19)
dm = ρ · dy
(20)
M =ρ·L
(21)
masa całego pręta wynosi
stąd
Ixx =
Z
2
y dm =
V
1
=ρ·
3
Z
2
y ρdy = ρ
y
3
3
L
L
+
8
8
Z
L
2
−L
2
1 3 L2
y dy = ρ ·
y −L
2
3
2
L2
L2
3 1
= ρL
= ρ· L·
=
M
12 |{z} 12
12
M
(22)
Mechanika teoretyczna
Momenty bezwładności – 8
Zadanie. Obliczyć moment bezwładności cienkiego pręta ABC względem osi y zgodnie z
rysunkiem
y
u
C
α
L
A
dx
B
L
x
Mechanika teoretyczna
Momenty bezwładności – 9
Iyy =
Z
(x2 + z 2 )dm =
V
Z
x2 dm
V
Iyy = IyyAB + IyyBC
IyyAB
ponieważ M = ρ · 2L
Z
(23)
(24)
0
1 3 0
1
=
ρ · x dx = ρ x −L = ρL3
3
3
−L
2
1
1
IyyAB = 2ρ · L · L2 = M L2
| {z } 6
6
M
(25)
(26)
Mechanika teoretyczna
Momenty bezwładności – 10
IyyBC =
Z
L
ρx2 du
(27)
0
x = u sin α
IyyBC =
Iyy
Z
L
0
3
L
1
2
2
2
ρu sin αdu = ρ
sin α = . . . = M L2 · sin2 α
3
6
1
1
M L2
2
2
2
= M L + M L · sin α =
(1 + sin2 α)
6
6
6
(28)
(29)
(30)
Mechanika teoretyczna
Momenty bezwładności – 11
Zadanie. Obliczyć moment bezwładności jednorodnej cienkiej płyty kwadratowej
względem osi prostopadłej do płyty i przechodzącej przez jej środek ciężkości
z
dm = ρdF = ρady
dy
y
x
a
Mechanika teoretyczna
Momenty bezwładności – 12
W celu uproszczenia obliczeń wykorzystano wzór
Izz = Ix + Iy
ze względu na symetrię
Izz = 2 · Iy = 2
Z
(31)
y 2 dm
(32)
V
dF = a · dy
Izz = 2
Z
V
y 2 dm = 2
Z
(33)
y 2 ρdF = 2ρ
Z
a
2
y 2 ady
−a
2
F
2
3 a2
M · a2
1
a4
2 a
= · 2aρ y − a = ρ = ρ · a · =
| {z } 6
2
3
6
6
M
(34)