Ciągi liczbowe i ich granice. Granice nieskończone. Warunek

Materiały dydaktyczne – Analiza Matematyczna (Wykład 2)
Ciągi liczbowe i ich granice. Granice nieskończone. Warunek Cauchyego. Działania arytmetyczne
na ciągach. Podstawowe techniki obliczania granic ciągów. Istnienie granic ciągów
monotonicznych, istnienie pierwiastków. Podstawowe granice, w tym liczba e. Twierdzenie
Bolzano-Weierstrassa.
Definicja 1. Ciągiem liczbowym nazywamy dowolną funkcję określoną na zbiorze liczb naturalnych
o wartościach w zbiorze liczb rzeczywistych. Ciągi oznaczamy symbolem {an }n∈N , przy czym
zamiast litery a możemy użyć zarówno małej, jak i wielkiej litery z dowolnego alfabetu. Wartość
funkcji a dla argumentu n jest oznaczana symbolem an . O an mówimy, że to n-ty wyraz ciągu albo
wyraz ciągu o numerze n. W tradycyjnej notacji stosowanej dla funkcji zamiast an pisalibyśmy
raczej a(n) ( a : N → R).
Definicja 2. Mówimy, że ciąg an jest zbieżny do granicy g ∈ R albo, że g jest granicą ciągu an
jeśli dla dowolnej dodatniej liczby rzeczywistej ε istnieje liczba rzeczywista Nε , że odległość od g
wyrazów an o numerach większych od Nε jest mniejsza niż ε. Symbolicznie piszemy:
def
g = lim an ⇐⇒ ∀(ε>0) ∃Nε ∀(n>N ) |an − g| < ε.
n→∞
Innymi słowy, jeśli rozważymy jakikolwiek przedział otwarty (g − ε, g + ε) (może to być przedział
dowolnie mały, tzn. liczba ε może być dowolnie mała), to poczynając od pewnego wyrazu (n > Nε ),
wszystkie wyrazy ciągu o numerach większych leżą w tym przedziale.
Przykład 1. Oczywiście, nie każdy ciąg ma granicę. Na przykład granicy nie ma żaden z następujących ciągów: a) an = (−1)n ; b) bn = (−1)n n; c) cn = reszta z dzielenia liczby n przez 5
Stwierdzenie 1. Jeżeli ciąg ma granicę, to jest ona określona jednoznacznie (żaden ciąg nie może
mieć dwóch różnych granic).
Stwierdzenie 2. Każdy ciąg zbieżny jest ograniczony.
Definicja 3. Mówimy, że ciąg {an }n∈N jest rozbieżny do +∞ albo, że ciąg {an }n∈N ma granicę
niewłaściwą równą ∞, jeśli dla dowolnej dodatniej liczby rzeczywistej M istnieje liczba rzeczywista
N , że wszystkie wyrazy an o numerach większych od N są większe niż M . Symbolicznie piszemy:
def
lim an = ∞ ⇐⇒ ∀(M >0) ∃N ∀(n>N ) an > M.
n→∞
Mówimy, że ciąg {an }n∈N jest rozbieżny do −∞ albo, że ciąg {an }n∈N ma granicę niewłaściwą
równą −∞, jeśli dla dowolnej liczby rzeczywistej m < 0 istnieje liczba rzeczywista N , że wszystkie
wyrazy an o numerach większych od N są mniejsze niż m. Symbolicznie piszemy:
def
lim an = −∞ ⇐⇒ ∀(m<0) ∃N ∀(n>N ) an < m.
n→∞
Definicja 4. Sumą ciągów {an }n∈N i {bn }n∈N nazywamy ciąg
def
{an }n∈N + {bn }n∈N = {an + bn }n∈N .
Różnicą ciągów {an }n∈N i {bn }n∈N nazywamy ciąg
def
{an }n∈N − {bn }n∈N = {an − bn }n∈N .
1
Materiały dydaktyczne – Analiza Matematyczna (Wykład 2)
Iloczynem ciągów {an }n∈N i {bn }n∈N nazywamy ciąg
def
{an }n∈N · {bn }n∈N = {an · bn }n∈N .
Ilorazem ciągów {an }n∈N i {bn }n∈N (o ile dla wszystkich n ∈ N, bn 6= 0) nazywamy ciąg
{an }n∈N def an
==
{bn }n∈N
bn n∈N
Stwierdzenie 3. Jeżeli ciągi {an }n∈N i {bn }n∈N mają granice równe odpowiednio a i b, to
(i)
(ii)
(iii)
lim (an + bn ) = a + b;
n→∞
lim (an − bn ) = a − b;
n→∞
lim (an · bn ) = a · b.
n→∞
Jeśli ponadto dla wszystkich n ∈ N, bn 6= 0 i b 6= 0, to
(iv)
lim ( an )
n→∞ bn
= ab .
Twierdzenie 4. (O trzech ciągach) Niech {an }n∈N , {bn }n∈N i {cn }n∈N będą ciągami liczbowymi
takimi, że lim an = g = lim cn . Jeśli istnieje takie N , że dla wszystkich n > N , an 6 bn 6 cn , to
n→∞
n→∞
lim bn = g.
n→∞
Twierdzenie 5. (O dwóch ciągach) Niech {an }n∈N i {bn }n∈N będą ciągami liczbowymi.
(1) Jeżeli lim an = +∞ i dla każdego n ∈ N, an 6 bn , to lim bn = +∞.
n→∞
n→∞
(2) Jeżeli lim bn = −∞ i dla każdego n ∈ N, an 6 bn , to lim an = −∞.
n→∞
n→∞
(3) Jeżeli dla każdego n ∈ N, an 6 bn , to lim an 6 lim bn .
n→∞
n→∞
(4) Jeżeli lim an < lim bn , to istnieje N , że dla każdego n > N , an < bn .
n→∞
n→∞
Przykład 2. (a) Pokażemy, że dla dowolnej liczby rzeczywistej dodatniej a,
lim
√
n
n→∞
a = 1.
Załóżmy najpierw, że a > 1. Z nierówności Bernoulliego mamy
n
√
√
a = (1 + (a − 1)) = 1 + ( n a − 1) > 1 + n · ( n a − 1) .
(1)
Po przeniesieniu jedynki na lewą stronę, i podzieleniu obustronnie przez n dostajemy
√
n
a−16
a−1
.
n
Dla dowolnie wybranej liczby rzeczywistej dodatniej ε dobierzmy teraz n tak duże, aby
tzn. dobierzmy n > Nε = a−1
ε . Wówczas na podstawie 2 i doboru n dostajemy
√
n
a − 1 < ε.
Dla dowodu przypadku a < 1 wystarczy skorzystać z działań na granicach.
(b) Niech a bedzie dowolną liczbą rzeczywistą, większą od 1. Udowodnimy, że
an
= ∞.
n→∞ n
lim
2
(2)
a−1
n
< ε,
Materiały dydaktyczne – Analiza Matematyczna (Wykład 2)
Do dowodu wykorzystamy łatwą do wykazania nierówność:
Jeśli x > 0, to
n(n − 1) 2
x
(1 + x)n >
2
(wyprowadzamy ją łatwo z rozwinięcia dwumianu Newtona (1 + x)n ). Po podstawieniu w tej
nierówności w miejsce x liczby a − 1 otrzymujemy
an = (1 + (a − 1))n >
n(n − 1)
n2
(a − 1)2 >
(a − 1)2 .
2
4
Stąd
an
n(a − 1)2
>
.
n
4
Prawa strona ostatniej nierówności dąży do +∞, zatem lewa, jako większa, także zmierza do +∞.
(c) Udowodnimy, że
√
lim n n = 1
n→∞
n2 (a−1)2
4
W dowodzie odwołamy się do nierówności an >
√
stawmy w niej a = n n. Otrzymamy wówczas
n>
wyprowadzonej w przykładzie (b). Pod-
√
n2 ( n n − 1)2
4
Skąd po obustronnym wyciągnięciu pierwiastka i podzieleniu przez
n
2,
dostajemy
√
2
√ > n n − 1.
n
Lewa strona nierówności zbiega do 0, więc z twierdzenia o trzech ciągach, na podstawie tego, że
prawa strona jest nieujemna otrzymujemy, że ona również musi zbiegać do 0.
Stwierdzenie 6. Dowolny podciąg ciągu zbieżnego jest zbieżny do tej samej granicy, co ciąg dany.
Twierdzenie 7. (Bolzano-Weierstrassa) Każdy ciąg ograniczony zawiera podciąg zbieżny
Niech {an }n∈N będzie ciągiem ograniczonym. Dla dowodu Tw. Bolzano-Weierstrassa określamy
zbiór A = {x ∈ R : istnieje nieskończenie wiele n ∈ N, dla których x < an }. Zbiór A jest niepusty
i ograniczony od góry. Zatem ma kres górny. Dalej konstuuje się podciąg ciągu {an }n∈N zbieżny
do tego kresu górnego.
Twierdzenie 8. Każdy ciąg monotoniczny i ograniczony zawiera podciąg zbieżny.
n
Przykład 3. Niech an = 1 + n1 . Udowodnimy, że jest to ciąg rosnący i ograniczony.
n+1
n
1
Nierówność an < an+1 otrzymamy rozwijając wyrażenia an = 1 + n1 i an+1 = 1 + n+1
na podstawie wzoru Newtona. Pierwsze da w tym rozwinięciu mniej składników, niż drugie, a poza
tym każdy składnik pierwszego jest niewiększy niż odpowiedni składnik drugiego. Dokładniej,
mamy
n
an = 1 + n1 =
1
n
n
n
0 + 1 · n + 2 ·
1+
n
1!
·
1
n
+
n(n−1)
2!
·
1
n2
1
n2
+
+
n
n
1
3 · n3 + · · · + n−1
n(n−1)(n−2)
· n13 + · · ·
3!
1
+ nn · n1n
nn−1
+ n(n−1)(n−2)·...·2
(n−1)!
3
·
=
·
1
nn−1
+
n(n−1)(n−2)·...·2·1
n!
·
1
nn
Materiały dydaktyczne – Analiza Matematyczna (Wykład 2)
n+1
1
an+1 = 1 + n+1
=
n+1
n+1
1
1
1
· n+1
+ n+1
· (n+)
· (n+1)
+ n+1
2 +
3 + ···+
1
0
3
2
n+1
n+1
n+1
1
1
1
+ n−1 · (n+1)n−1 + n · (n+1)n + n+1 · (n+1)n+1 =
1+
n+1
1!
·
1
n+1
+
(n+1)n
2!
·
+ (n+1)n(n−1)·...·3
(n−1)!
1
1
· (n+1)
+ (n+1)n(n−1)
3 + ···+
3!
(n+1)2
(n+1)n(n−1)·...·2·1
1
1
+ (n+1)n(n−1)·...·2
· (n+1)
n +
n!
(n+1)!
(n+1)n−1
·
·
1
(n+1)n+1
Dwa pierwsze składniki rozwinięcia an są identyczne, jak dwa pierwsze sładniki rozwinięcia an+1 .
Dalej mamy:
1
n
n+1
1
·
<
· (n+1)
2
2;
2 n
2
n
n+1
1
1
+ 3 · n3 < 3 · (n+)3 ;
···
1
1
< (n+1)n(n−1)·...·3
· (n+1)
n−1 ;
(n−1)!
nn−1
(n+1)n(n−1)·...·2
1
1
· (n+1)
n.
nn <
n!
n
n−1
n
n
·
·
Dla dowodu ograniczoności ciągu udowodnimy, że dla dowolnej liczby naturalnej n zachodzą
nierówności
1 n
6 3.
26 1+
n
n
n
Wyrażenie 1 + n1 rozwijamy korzystając ze wzoru Newtona. Nierówność 2 6 1 + n1 wynika natychmiast z tego rozwinięcia (patrz niżej). Dla dowodu drugiej nierówności, niektóre z
wyrażeń występujących w tym rozwinięciu zastępujemy takimi, których wartości dla konkretnych
n są nie mniejsze od wartości wyrażeń zastępowanych. W szczególności korzystamy z tego, że dla
1
1
dowolnej liczby naturalnej n zachodzi nierówność 2n−1 6 n! (lub inaczej: n!
).
6 2n−1
1+
1 n
n
=
=
n
0
n
1
n
2
1
+ n3 · n13 + · · · +
n2
n
+ n−1
· nn−1 + n · n1n =
n 1
1 + 1!
· n + n(n−1)
· n12 + n(n−1)(n−2)
· n13 + · · · +
2!
3!
1
· nn−1
+ n(n−1)(n−2)·...·2·1
· n1n =
+ n(n−1)(n−2)·...·2
n!
(n−1)!
+
·
1
n
1
+
·
n
1 n
1 n n−1
1 n n−1 n−2
1! · n + 2! · n · n + 3! · n · n · n + · · · +
1
n−2
2
1 n n−1 n−2
+ (n−1)!
· nn · n−1
n · n · . . . · n + n! · n · n · n ·
= 1+
6 1+
1
1!
+
6 1+1+
< 2+
1
2
+
1
2!
+
1
3!
+ ··· +
1
(n−1)!
+
1
n!
... ·
2
n
·
1
n
6
6
1
1
1
1
2 + 22 + · · · + 2n−1 + 2n <
1
1
+ · · · + 2n−1
+ 21n + · · ·
22
= 3.
n
Stwierdzenie 9. Jeżeli lim an = g, to lim a1 +a2 +···+a
= g, przy czym twierdzenie to jest
n
n→∞
n→∞
prawdziwe również dla g = ±∞.
Definicja 5. Ciąg {an }n∈N nazywamy ciągiem Cauchy’ego jeśli dla dowolnego ε > 0 istnieje takie
Nε , że dla dowolnych n, m > Nε , |an − am | < ε.
4
Materiały dydaktyczne – Analiza Matematyczna (Wykład 2)
Twierdzenie 10. (Cauchy) Ciąg {an }n∈N jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy jest ciągiem Cauchy’ego.
Przygotował: Czesław Bagiński
5