10 a 32 2 −> a n a ++ = 2 a 3 2 −=− aa - E-SGH

Wersja najbardziej zaawansowana.
Zestaw nr 1: Ciągi liczbowe – własności i granica
1.1. Niech a n = −2n − 3 dla n = 1,2,... . Sprawdzić, czy (an) jest ciągiem monotonicznym,
arytmetycznym.
1.2. Sprawdzić czy następujący ciąg jest ciągiem geometrycznym. Wypisać pierwszych pięć wyrazów
ciągu, a następnie dla ciągu geometrycznego obliczyć sumę S 10 .
3
5
n
n!
(− 1) .
, c) a n =
n
2
n2
n
a) a n =   , b) a n =
1.3. Sprawdzić, który z następujących ciągów jest ciągiem arytmetycznym
a) a n = 2n + 7 , b) a n =
2n
, c) a n = 7 − 3n .
n!
Dla ciągu arytmetycznego obliczyć sumę S 10 .
1.4. Niech a n = 3 ⋅ 2 n − 1 dla n = 1,2,... . Sprawdzić, czy:
a) a2 = 10 ,
b) a n +1 = 6 ⋅ 2 n − 1 dla n = 1,2,...
c) ciąg ( a n ) jest rosnący.
1.5. Niech a n = 2n − 6 n +
1
dla n = 1,2,... . Sprawdzić, czy
n
a) a2 > −32 ,
b) ciąg a n jest malejący,
(−1) n+1
1.6. Niech a n =
dla n = 1,2,... Sprawdzić, czy ciąg ( a n ) jest monotoniczny i czy wszystkie
2n + 4n
1 ≤a ≤ 1.
jego wyrazy spełniają warunek − 20
n
6
1.7. Ciąg (an )ma wyraz ogólny dany wzorem an = n n + 3 + dla n = 1,2,3,... Podać oszacowania
pierwszych dziesięciu wyrazów tego ciągu z dokładnością do dwóch miejsc po przecinku. Zbadać, czy
jest to ciąg arytmetyczny.
*1.8. Niech a n =
5 2 n − 2 2n
n
5 +2
n
dla n = 1,2,... Wykazać, że a n = 5 n − 2 n oraz sprawdzić, czy ( a n ) jest
ciągiem geometrycznym i czy jest monotoniczny.
*1.9. Ciąg (an ) jest ciągiem arytmetycznym takim, że a1 = 2 oraz a 2 − a1 = −3 . Wykazać, że jest on
ciągiem malejącym, a ponadto:
a) a n = −3n + 5 ,
b) a n + 2 = a n − 6 dla n = 1,2,...
*1.10. Ciąg (an) jest ciągiem geometrycznym takim, że a1 = 2 oraz q = − 12 . Wyznaczyć wzór ogólny
tego ciągu oraz wykazać, że an+ 2 = 14 an dla n = 1,2,... .
1.11. Obliczyć granicę ciągu (an), jeśli:
n 2 + 3n + 2
a). a n =
2 n 2 + 5n
− 2n 3 − 3n 2 + 7
b). a n =
4 n 2 + 8n + 3
5n 4 − 6 n 2 + 7 n + 3
c). a n =
n 3 + 9n + 6 + 8
( n + 2) 4 − ( n − 2) 4
d). a n =
( n + 2) 4 + ( n − 2) 4
*d). a n =
*e). a n =
k). a n = 2
n3 + n 2
2 n +5
n 2 +3
 1  − 2 n 2 +5 n +1
 3
l). a n =  
1
n +1
ł). a n = 5
n+ 2

 n 
n
m). a n = 
4(n − 1)(n 2 + 3) 2n


n). a n = 1 −
4n 3 + 7 n + 2 (n 2 − 8)
n(n 2 + 5)3 n
1 

n +1
 n
o). a n = 
n+3
(n 2 + 1) n 3 + 5 (n + 3)
4n 2 + 3n − 2n
f). a n =
−




n+5
n −1
3 

p). a n = 1 +

 n+2
2
 1 (−1) n 

*g). a n =  2 +
n 3 
n
7 n − 42n
2n − 1
h). a n =
i). a n = n
n
5
3 n
n+7

 n+3
−n−2
2 n +1
r). a n = 


*s). a n = 1 −
j). a n = 3 1 + 2 n
1 

n2 
n +3
*t).
Zestaw nr 2: Podstawowe własności funkcji jednej zmiennej,, granica i ciągłość.
2.1.W układzie współrzędnych narysować wykresy funkcji
| 2| 2 ,
a następnie wyznaczyć
a) zbiór : b) punkty, w których każda z funkcji ma ekstrema.
*c) obrazy
, jeśli 4; 2
2
,
3
3
*d) przeciwobrazy ! "
! "
, jeśli " #
1; 1%.
2.2. W układzie współrzędnych narysować wykresy funkcji
3 | & 9|
a następnie
( !
1,
a) wyznaczyć zbiór : ) b) wyznaczyć punkty, w których każda z funkcji ma ekstrema.
c) dla każdej z tych funkcji wyznaczyć przedziały w których funkcji jest rosnąca,
d) zbadać różnowartościowość każdej z tych funkcji.
2.3. W tym samym układzie współrzędnych narysować wykresy trzech funkcji określonych
wzorami
|4 & | ,
|4 & |
Wyznaczyć zbiory
* 4|| & , a) + : , b) - : * c) . : * , 2.4.Dla , podać wykres, określić zbiór wartości oraz wyznaczyć zbiór / : 0 ,
jeśli
*a) 2
| !|
,
b) 12 & ,
3
c) 14 1 2.5. Wiadomo, że
lim :∞, lim ∞, lim * 0 lim < 4,
89
89
Wyznaczyć, o ile istnieją następujące granice;
* <
,
89
<
,
89 lim
lim
2.6. Obliczyć granice:
lim>
8=
1
,
||
lim 2
8?
!
?,
*
,
89 89
,
89 lim
(
,
8@ ( ?
lim
89
lim
lim> (
8=
!
,
lim (
8A
,
89 *
lim
3
,
89 <
lim
lim 14| : 1|
8 A
2.7. Dla podanych funkcji wyznaczyć dziedzinę a następnie granice na wszystkich końcach
przedziałów określoności
a) ! &
3 !
b) ( BCD3
c) * E
2
H < F
G 3
!
IJK@
2.8. W zależności od wartości parametru L , gdzie L , wyznacz wartość granicy lub granic
jednostronnych funkcji
lim>
8M
2.9. Narysować wykres funkcji
L
,
L
L
,
&
8M L &
N lim
1
R & 1
1
O
1 lim P
Q
8 A 1 L
H1 ) 1 ; :∞
H1 ) 0 ; 1 S
H1 ∞ ; 0
a) Określić przedziały monotoniczności i ekstrema funkcji .
b) Wyznaczyć zbiór T : 0; 1
2.10.Stosując definicję ciągłości funkcji, zbadać ciągłość
1
R & 1
1
H1 ) 1 ; :∞
H1 ) 0 ; 1 S
H1 ∞ ; 0
2.11. W układzie współrzędnych narysować przykładowy wykres funkcji , która jest ciągła w
0 oraz spełnia następujące warunki:
lim ∞ 8 A
N
lim 2 8 A
lim ∞ 8=C
lim ∞ 8=C
lim 0 8=>
lim ∞ 8=>
lim :∞
8KA
lim 2
8KA
c) Ile najmniej miejsc zerowych ma funkcja w każdym z przypadków a) i b)?
2.12. Zbadać ciągłość funkcji w punkcie = 0, jeśli U
: 1
1 : √
||
2.13. Zbadać ciągłość funkcji w punkcie = 0, jeśli X 1
H1 , 0S
H1 W 0
H1 Y 0S
H1 0
*2.14. Dla jakiej wartości parametru Z, gdzie Z, funkcja jest ciągła w , jeśli
! ?
\@]
[
√Z 3
H1 , 3S
H1 W 3
Po ustaleniu poszukiwanej wartości parametru Z narysować wykres tej funkcji a następnie
wyznaczyć przedziały monotoniczności i ekstrema funkcji .
*2.15. Dla jakiej wartości parametru ^, gdzie ^, funkcja jest ciągła w , jeśli
!
& H1 ) 0 1_N W 4
R
!
^ :
H1 0 , , 4
&
S
Po ustaleniu wartości parametru ^ narysować wykres tej funkcji a następnie wyznaczyć przedziały
monotoniczności i ekstrema funkcji .
2.16. Wyznaczyć asymptoty pionowe i poziome wykresu funkcji określonej wzorem:
a) b) 2 &K!
?
! ]
@K!
&
c) h(x)=\
d) k(x)=E
&
3 !
Zestaw nr 3: Pochodna I-go rzędu
3.1. Na podstawie definicji pochodnej funkcji w punkcie = : ` = lim8a
b ba a
Wyznaczyć (o ile istnieje) pochodną
a) funkcji 3 & w punkcie = 0 oraz w punkcie = 1
b) funkcji !
!
w punkcie = 1 oraz w punkcie = 1
3.2. Na podstawie definicji (por. zad.1) wyznaczyć pochodne następujących funkcji w dowolnym
punkcie = należącym do dziedziny tych funkcji
a) 7 & : 2 1 , gdzie Tb b) !
9
, gdzie Td c) * √ : 1 , gdzie Te 1, ∞
3.3. Korzystając z ogólnej reguły różniczkowania funkcji potęgowej wyprowadzić wzory na pochodną
następujących funkcji:
a) ! ,
b) & √,
!
c) ? √ ,
f
d) F !
√
,
3.4. Obliczyć pochodne
a) 3 F 7 & : 2 1 , gdzie Tb b) g g : & & g !
!
!
g
F
!
F
2 gdzie Tb 0
c) √ 3√ F 15 √ & : 2 & √ 1 , gdzie Tb 0,
d) !
f
√
:
f
&
√ f
i
f
, gdzie Tb 0, :∞
F
:∞
e) ! O
3.5. Wyznaczyć pochodną funkcji
a) sin · ln gdzie 0, :∞:
c) ( sin : cos b) & : N : O · ln , gdzie 0, :∞:
d) o 3.6. Pamiętając, że 19 ` a także, że ` 14, zróżniczkować funkcje
pq9
!
a) 2 1& , gdzie 0,
:∞
d) b) 19 , gdzie 0, :∞
c) 14||, gdzie x ∞, 0 r 0, :∞.
e) gdzie x 0, 1 r 1, :∞
!
,
IJ stJ Kuvs ,
@D
gdzie
,
3.7. Obliczyć pochodne podanych niżej funkcji złożonych,
a) 14? ,
b) log F 8 & 16.,
e) sin & : 1.,
f) cos z ,
c) zlog 10 ,
g) ln \ 3 K!] ,
!
b) !
2 3
K
3
@ D @ CD
@ D K@ CD
c) E&K!
& !
w punkcie 2
f) √ln ?
(odp.: 1)
w punkcie 1
e) O} & 2 }4& 2
,
(odp.:-0,5)
w punkcie 0
d) sin : cos {
2 3
3
h) @ D K@ CD
3.8. Korzystając z reguł różniczkowania, obliczyć wartość ` w punkcie Tb
a) & (
d) (
w punkcie |
&
(odp.: G √3)
&
(odp 0)
w punkcie &F
w punkcie (
|
(odp 0,5)
!
(odp&@)
3.9. Wyznaczyć równanie stycznych do wykresu funkcji , jeśli podane są punkty styczności
; . W każdym przypadku narysować wykres funkcji oraz na tym samym rysunku
wyznaczoną w zadanym punkcie styczną
a) & : 4
b) 2
!
K!
3
1 , 0 1
,dla Y 2
c) ln , dla 0;
0 2
:∞
( i @
!
*d) (
ln ( i 0.
,
3.10. Wyznaczyć równania wszystkich tych stycznych do wykresu funkcji , które to styczne są
równoległe do dwusiecznej kąta drugiej ćwiartki układu współrzędnych, jeśli funkcja jest określona
wzorem
? ? : & & : 3 4
!
g
3.11. Na wykresie wielomianu F 4 & : 8 wskazać punkty, w których styczna jest
pozioma.
!
&
Zestaw nr 4: Zastosowanie pochodnej funkcji jednej zmiennej
4.1. Obliczyć granice następujących funkcji stosując w każdym przypadku dwie metody (jedna z nich
to wykorzystanie reguły de L’Hospitala)
a) ~€8KA
b) ~€8…
‚ ƒ „„ …†
‡ …„ˆ  ƒ
4.2. Korzystając z reguły de L’Hospitala, obliczyć granice funkcji:
√ …
 …
b) lim8KA IJ *g) lim8KA & ln d) lim8KA K!
*i) lim8= @ D !
@D
c) lim8= ln e) lim8KA
h)lim8KA & (
@D
*j) lim8=
IJ !
!
& uvs &K 3
3 stJ 3
*4 3 Wyznaczyć (o ile istnieją) asymptoty ukośne wykresów funkcji w +
a) b) ? 3 &K!
g &
c) · (
a) pq
b) ! ?
?
b) !
√
: & & 6 : 7
*c) || · (
!
3
f
√K!
d) !
c) & 14
pq
√
4 5. Wyznaczyć przedziały monotoniczności funkcji
a) f
& √
d) ln : (
2
D
*4 4 Wyznacz wszystkie asymptoty funkcji
lub -
! ?
?
: & & 10 : 12
?
e) & 5 · ( f) ln1 &)
3
4.6. Zbadać monotoniczność i wyznaczyć ekstrema lokalne
a) F 3 & : 2
F
?
!
!
b) | : 3| 1
c) pq
√
d) ( 2CD3
2
4.7 Wyznaczyć najmniejszą i największą wartość funkcji na przedziale:
a) F 3 & : 2 ,
!
F
!
?
b) & 3( || ,
e) pq : 14
!
f) & 14
#
4, 1%
#
4, √3%
4.8. Zależność popytu p na wybrane dobra konsumpcyjne od wielkości dochodu konsumenta x (x>0)
wyraża się wzorem:
a) ‰ (
?
b) ‰ 2
D
2
?
( D
3
c) ‰ (
?
2
D3
W każdym przypadku należy ustalić poziom dochodu konsumenta, przy którym popyt jest największy.
*4. 9 Niech K(x) oznacza koszt całkowity wyprodukowania x jednostek pewnego dobra.
Š ? 40 & : 600
a) Wyznaczyć dla tego dobra poziom produkcji, przy którym koszt przeciętny jest najniższy.
b) Określić funkcję kosztów krańcowych.
*4. 10 Wyznaczyć cenową elastyczność popytu dla cen ‰! 10 ‰& 49 , jeżeli zależność popytu od
ceny towaru p wyraża się wzorem
‰ Podać interpretację uzyskanego wyniku.
‹
Œ
: !KŒ.
!!
Zestaw nr 5: Zastosowania pochodnej II-go rzędu. Pochodne cząstkowe
5.1 Wyznacz pochodną drugiego rzędu funkcji f w punkcie x0 .
3
a) f ( x) = 1 x − x x + 5 ,
x0 = 4
(odp. f ′′(4) = 61 )
3
4
b) f ( x ) = x ln x ,
c)
f ( x) =
x0 = e
e− x
, x0 = 1
x
(odp. f ′′(e) = e −1 )
(odp. f ′′(1) = 5e −1 ).
5.2. Wyznacz przedziały wypukłości, wklęsłości oraz punkty przegięcia wykresu funkcji f .
a) f ( x) = x +
1
x
b) f ( x) =
d) f ( x) = x 3 e − x
*e) f ( x) =
1
c) f ( x) =
1+ x2
ln x
x
ex
x+2
.
5.3.Wyznacz pochodne drugiego rzędu funkcji f oraz przedziały, w których ta funkcja
rośnie lub maleje coraz szybciej, gdy
a) f ( x) = x 3 − x
b) f ( x) = x 3 (1 − x) 2 ,
c) f ( x ) = x + sin x ,
*d) f ( x) = x n − nx,
n = 2,3,4...
*e) f ( x) = x(1 − x) n , n = 1, 2,3...
5.4. Zbadaj tempo zmian funkcji f (przedziały, w których funkcja rośnie coraz szybciej,
rośnie coraz wolniej, maleje coraz szybciej lub maleje coraz wolniej) gdy
a) f ( x) = − x 3 + 6 x 2 − 9 x + 4
b) f ( x) =
x2 − 4
1
c) f ( x) = xe x ;
d) f ( x) = x ln
1
x2
.
*5.5. Zbadaj przebieg zmienności funkcji f i naszkicuj jej wykres.
a) f ( x) =
x2
x2 − 4
;
b) f ( x) =
2
c) f ( x) = e − x .
x
x2 +1
*5.6. Zbadaj dla jakich wartości parametrów α , β , γ ∈ R funkcja f ( x) = xα + β x + γ jest
wklęsła, a dla jakich wartości jest wypukła w przedziale (0, ∞ ) .
*5.7. Zbadaj, dla jakich wartości parametru α ∈ R funkcja f ( x) =
1
1 + eαx
jest wklęsła, a dla
jakich wartości wypukła w przedziale (0, ∞ ) .
*5.8. Zbadaj tempo zmian funkcji f ( x) =
e ax + e − ax
w zależności od wartości parametru
2
a∈R.
(
)
2
5.9. Dana jest funkcja wielkości produkcji f ( x, y ) = 3 x + y , gdzie x, y są nakładami,
odpowiednio, na czynniki produkcji. A i B. Jeśli nakłady na czynnik A rosną, zaś nakłady na
czynnik B pozostają na ustalonym poziomie y = b0 , to w jakim tempie zmienia się wielkość
produkcji?
5.10. Wyznacz pochodne cząstkowe pierwszego rzędu funkcji f w punkcie ( x0 , y0) , o ile
istnieją, gdy
a)
f ( x, y ) = xy 2 + y ,
b)
f ( x, y ) = 2 xy − 4 x + 5 y 5 ,
( x0 , y0) = (2,−1)
( x0 , y0) = (0,1) .
5.11. Oblicz pochodne cząstkowe I-go rzędu funkcji f po każdej ze zmiennych x oraz y.
a) f ( x, y ) = x + 2 y 2 x + xy
d) f ( x, y ) =
x− y
x+ y
b) f ( x, y ) = x cos y +
e) f ( x, y ) =
x 4 − 2 xy
y
c) f ( x, y ) = xe 2 x − y
f) f ( x, y ) = ln( x 2 + 3 xy ) .
5.12. Oblicz wszystkie pochodne cząstkowe drugiego rzędu funkcji f .
a) f ( x, y ) = x 3 + 2 y 3 x + 3 xy + 5
d)
f ( x, y ) = e x
2y
b) f ( x, y ) =
y
x
e) f ( x, y ) = xye x + y
c) f ( x, y ) = x y
f) f ( x, y ) =
1
x2 + 3y
.
′′ ( x, y) = f yx
′′ ( x, y ) dla ( x, y ) ∈ R 2 , jeśli
5.13. Dana jest funkcja f : R 2 → R ,. Sprawdź, że f xy
a) f ( x, y ) = xe 2 x − y …………………………………….b) f ( x, y ) = 2 x 3 y 2 + x 4 y + 3 y
c) f ( x, y ) =
x− y
x+ y
d) f ( x, y ) = ln( x 2 + 3 xy ) .
Zestaw nr 6: Ekstrema funkcji dwóch zmiennych
6.1. Narysować dziedzinę oraz warstwice I c funkcji f dla podanych wartości c:
a) f ( x, y ) = −3 x + y; c = −1, c = 1, c = 3;
b) f ( x, y ) = x − 3 + y; c = −1, c = 1, c = 3;
c) f ( x, y ) = x 2 − y + 1; c = −1, c = 1, c = 3;
d) f ( x, y ) = x 2 + y 2 − 1; c = 0, c = 3 , c = 15 ;
e) f ( x, y ) =
x+ y
; c = −1, c = 0, c = 1;
x− y
*f) f ( x, y ) = −3x + y ; c = −1, c = 1, c = 3;
*g) f ( x, y ) = x + 3 + y − 1; c = 0, c = 1, c = 2.
6.2. Korzystając z układu warstwic funkcji f, wyznaczyć najmniejszą i największą wartość tej
funkcji na zbiorze X, jeśli:
a) f ( x, y ) = −3 x + y;
{
1 2
x − y;
4
d) f ( x, y ) = x + y;
}
}
X = ( x, y ) ∈ ℜ 2 : − 1 ≤ x ≤ 1 ∧ 0 ≤ y ≤ 1 − x 2 ;
b) f ( x, y ) = x − y;
c) f ( x, y ) =
{
X = ( x, y ) ∈ ℜ 2 : x ≥ 0 ∧ y ≥ 0 ∧ 1 ≤ x + y ≤ 3 ;
X =
X =
{ ( x, y ) ∈ ℜ
{ ( x, y ) ∈ ℜ
2
2
}
: −1 ≤ x ≤ 3 ∧ 0 ≤ y ≤ 3 ;
}
: x2 + y 2 ≤ 4 ;
{
}
*e) f ( x, y ) = x 2 + y 2 + 1; X = ( x, y ) ∈ ℜ2 : x + y = 4 .
6.3. Wyznaczyć (o ile istnieją) ekstrema lokalne funkcji:
a) f ( x, y ) = 4 x 2 + y 2 + 10 x − 8 y − 5;
b) f ( x, y ) = 3 x 2 + 3 xy − y 2 − 15 x;
c) f ( x, y ) = x 3 + 3 xy 2 − 6 xy;
d) f ( x, y ) = x 4 + y 4 − 2 x 2 + 4 xy − 2 y 2 ;
e) f ( x, y ) = x 2 + y 4 − 2 xy + 1;
f) f ( x, y ) = 4 xy +
1 1
+ ;
x y
*g) f ( x, y ) = x 3 + y 2 − 6 xy − 48 x;
*h) f ( x, y ) = x 3 + y 3 − 3axy; w zależności od parametru a;
(
)
*i) f ( x, y ) = e 2 x x + y 2 + 2 y .
6.4. Sprawdzić, czy funkcja f ( x, y ) = 2 x 3 + xy 2 + 5 x 2 + y 2 ; ma ekstrema lokalne
 5

w punktach (0, 0 ),  − , 0 (− 1, 2), (− 1, − 2 ) .
 3

*6.5. Firma produkuje dwa wyroby, których ceny wynoszą odpowiednio P1 i P2. Oznaczmy
przez Q1 i Q2 poziomy produkcji wyrobu pierwszego i drugiego. Zakładamy, że funkcja
2
2
kosztów całkowitych rozważanej firmy ma postać Q1 + Q1Q2 + Q2 oraz, że firma jest
monopolistą na rynku. Oznacza to, że ceny obu produktów zależą od wielkości produkcji.
Przyjmujemy, że funkcje popytu z jakimi styka się monopolista są następujące:
Q1 (P1 , P2 ) = 40 − 2 P1 + P2 , Q2 (P1 , P2 ) = 15 + P1 − P2 .
Wyznaczyć poziomy produkcji maksymalizujące zysk firmy.
6.6. Wyznaczyć elastyczności cząstkowe i podać interpretację tych elastyczności dla
następujących funkcji w podanych punktach:
a) f ( x, y ) = 5 x + 2 y + 3;
b) f ( x, y ) = x ln y;
(x, y ) = (4, 10) ;
(x, y ) = (2, e) ;
c) f ( K , L) = 9 K 1 / 4 L3 / 4 ;
(K , L ) = (k0 , l0 ) .
*6.7. Oszacowana funkcja produkcji przedsiębiorstwa ma postać
Y=6K3/2L1/2,
gdzie Y oznacza wielkość produkcji, K – wartość majątku produkcyjnego, L – zatrudnienie.
W pewnym okresie odnotowano, że K=50, L=400.
a) Jaka była w tym okresie elastyczność produkcji przedsiębiorstwa względem: 1) majątku
produkcyjnego? 2) zatrudnienia?
b) Planuje się na koniec okresu zmniejszenie zatrudnienia do poziomu L=360. Jaki wzrost
majątku produkcyjnego pozwoliłby utrzymać wielkość produkcji na niezmienionym
poziomie?
Zestaw nr 7: Wektory
7.1.Wyznaczyć wektor x ∈ R n , jeżeli
a) n = 4 oraz [ − 1 0
b) n = 4 oraz x = 5 [ 2
c) n = 3 oraz
2 3]T = x − [ 2 3 − 2 − 1]T ;
3 − 2 0]T + 3[ − 1 0 2 3]T ;
x + [ 4 3 6]T = 2 [ − 2 1 0]T − 3x
d). n = 3 oraz x = (1 − t ) [2
− 4 16 ] + t [− 32 64 − 128 ]
T
T
jeśli t =
1
,
4
3
,
4
7
8
7.2. Sprawdzić, czy wektor y jest kombinacją liniową wektorów x1 , x 2 ,..., x k , gdy:
y = [1,−4] , x1 = [1,−2] , x 2 = [−1,1] ;
b) y = [1,−4] , x1 = [1,−2] , x 2 = [−1,1] , x 3 = [5,1] ;
c) y = [1,0] , x1 = [1, 2] , x 2 = [a, − 1] , gdzie a ∈ R jest parametrem;
a)
d) y = [ 2, − 2,−3] , x1 = [−1, 0,1] , x 3 = [0, 2,1] ;
e) y = [1, 1, 1] , x1 = [−1, 0,1] , x 2 = [0, 2,1] ;
f)
y = [6,−5, 4,1,1] , x1 = [−1,1, 0,1, 0] , x 2 = [−1,1, 0,1, 0] , x 3 = [0, 0,1,1, 2] .
*7.3. Sprawdzić, czy wektory x1 , x 2 ,..., x k są liniowo niezależne, gdy:
a) x1 = [1, 2] , x 2 = [−3, − 6] ;
a) x1 = [1, 2] , x 2 = [−1, 3] ;
b ) x1 = [1, 2] , x 2 = [−1, 3] , x 3 = [0,1] ;
c) x1 = [1, − 1] , x 2 = [−1, a] , gdzie a ∈ R jest parametrem;
d) x1 = [1,1, 0] , x 2 = [−1, 0, 2] , x 3 = [0,1, − 1] ;
e) x1 = [1,1, 0] , x 2 = [−2, − 3,1] , x 3 = [0,1, − 1] ;
f) x 2 = [−3,1, 0,1] , x 3 = [0, 0,1, 2] x1 = [−1,1, 0, 0] .
7.4. Podać interpretację geometryczną i narysować w układzie współrzędnych zbiór
V = {x ∈ R 2 : x = a + tv, t ∈ R} , gdy:
a)
b)
c)
d)
a = [0, 0], v = [ 2,1] ;
a = [0, 3], v = [ 2,1] ;
a = [ 2, 4], v = [ 2,1] ;
a = [ −1,−1], v = [ 2,1] .
7.5. Sprawdzić, czy punkty x1 , x 2 ,
x 3 należą do tej samej prostej, gdy:
x1 = [1, 0, 2] , x 2 = [3,1, − 3, ] , x 3 = [−1, − 1, − 1] ;
b) x1 = [1, 0, 2] , x 2 = [3,1, − 3, ] , x 3 = [ 2,1, 2] ;
c) x1 = [1, 0, − 1, 0] , x 2 = [1,1, 0,1] , x 3 = [1, 2,1, 2] .
a)
7.6. Niech a = [1,−1, 1] oraz b = [1,1, 2] . Sprawdzić, czy x należy do prostej przechodzącej przez
punkty a i b oraz do odcinka o końcach w punktach a i b , gdy:
a) x = [1, 2, 0] ,
*7.7. Dany jest zbiór
c) x = [1, 1 , 7 ] .
2 4
b) x = [1,−3, 0] ,
Vk = {x ∈ R 3 : x1 − x2 + 2 x3 = k}
gdzie parametr k jest ustaloną liczbą rzeczywistą oraz
x1 = [1,1, 0], x 2 = [−2, 0,1] .
a) Uzasadnić, że V0 = {x ∈ R 3 : x = αx1 + β x 2 , α , β ∈ R}
i podać interpretację geometryczną zbioru V0 .
b) Podać przykład wektora x 0 ∈ V1 , a następnie uzasadnić, że x 0 + y ∈ V1 dla każdego y ∈ V0 .
c) Pokazać, że V1 = {x ∈ R 3 : x = x 0 + αx1 + βx 2 , α , β ∈ R} . Podać interpretację geometryczną
zbioru V1 .
d) Sprawdzić, czy dla dowolnych wektorów jeśli y, z ∈ V1 , to y + z ∈ V1 ?
*7.8. Dany jest zbiór V = {x ∈ R 3 : 2 x1 + x2 − 3 x3 ≤ 1} . Uzasadnić, że jeśli a, b ∈ V , to
{x ∈ R 3 : x = ta + (1 − t )b, t ∈< 0,1 >} ⊂ V . Podać interpretację geometryczną tego faktu.
7.9. Dane są wektory x1 = [1,−1] , x 2 = [0,1] .
a) Pokazać, że dowolny wektor x ∈ R 2 jest kombinacją liniową wektorów x1 i x 2 .
b) Uzasadnić, że {x ∈ R 2 : x = αx1 + β x 2 , α , β ∈ R} = R 2 .
*c) Czy wektory x1 , x 2 , oraz x ∈ R 2 tworzą, przy dowolnie ustalonym wektorze x układ wektorów
liniowo zależnych?
*7.10. . Dane są wektory x1 = [1,−1,0] , x 2 = [0, 0,1] , x 3 = [1, 0,1] .
a)Pokazać, że dowolny wektor x ∈ R 3 jest kombinacją liniową wektorów x1 , x 2 i x 3 .
b)Uzasadnić, że {x ∈ R 3 : x = αx1 + β x 2 + γx 3 , α , β , γ ∈ R} = R 3 .
Zestaw nr 8: Macierze, działania na macierzach
8.1. Wykonać wskazane działania na macierzach A, B, C i D tak aby wyznaczyć elementy macierzy X
lub uzasadnić, że macierz X nie istnieje, jeśli:
3 2 1 1
1 1
3 2 1
4 0
4 0
,

Ž

1 1Ž , "  0
1 2 0Ž , T 
1
4 6
0 1 2 0
2 1
5
1 1
12
‘
8
oraz
a) / ’ : 
c) / "’  : 2T
b) / \ "T 4] e) / "’ " TT ’
d) / "’  T ’ !
&
f) / ’  : 
!
F
8.2. Dana jest macierz A o wymiarach 4 “ 5 i o elementach ”• 1, 2, 3, 4, – 1, 2, 3, 4, 5,
których wartości są następujące:
12 0
4 10 3
2
1 5 2
0
—
˜
0
1 3 2 2
15
3 9 6 2
Wyznaczyć opisane w podpunktach sumy.
F
F
a š ›2”? 3”F b š ›F• : 3?• ”œ!
•œ!
8.3. Dane są macierze
3 2 3
1 3 0
1 0
2 1 0 Ž , "  1
2
1 Ž oraz ¡ 0 1
1 0 1
0
1 2
0 0
F
c š › &ž ž?
žœ!
0
0Ž
1
Uprościć wzory określające macierz X, a następnie wyznaczyć w każdym przypadku elementy tej
macierz, jeśli:
a / "" ! 3’ b / " ! 2"’ a
8.4. Niech A 
c
c) ¡ : / : 3’ "" ! ¡
d) / : ’ "" ! ¡ : ’
!
b
d b
‘ , B ¥¦ u§ 
‘, gdzie ad Y cb.
d
c a
a) Sprawdzić, że przy dowolnych liczbach a, b, c, d, jeśli ad Y cb, to AB I& oraz BA I& .
3
2
b) Wyznaczyć macierze 
‘
10 7
!
0,5 0,3
oraz ª
«
0,2 1
!
na podstawie punktu (a) tego zadania.
8.5. Wektory k1, k2, k3 k4 oznaczają kolumny a wektory w1T, w2T, w3T wiersze macierzy
3 4 0
1

2 1 5 1Ž
4
7
6 3
!
1
3
1
&
Ponadto niech ¬, ­ ? , gdzie ¬ 0Ž , ­ ®¯°, oraz ±,  F, gdzie ± — ˜ ,  — ˜.
2
?
8
F
1
Zapisać w postaci układu równań liniowych następujące związki
a)  ¬
b) ’ ­ ±
c) ! ² … : & ² „ : ? ² ˆ : F ² ƒ ¬
d) ³!’ : ¯³&’ : ³?’ ±
8.6. Podać macierzowy zapis, tj.  ¬, każdego z następujących układów równań liniowych gdzie A
jest macierzą o wymiarach ´ “ 4, q , N µ .
3
a) U !
!
:7&
c) [
5&
:&
4!
!
:8?
12?
:7?
:6?
4F
:9F
0
0S
0
!
!
b) ¶
2!
2!
2S
12
6&
:8&
10&
8&
2
4S
2
0
Zestaw nr 9: Układy równań liniowych
1 1 3 2
9.1. Dana jest macierz ®2 1 4 1°. Stosując operacje elementarne na wierszach macierzy A
3 1 1 2
sprowadzić tę macierz do postaci bazowej względem kolumn I, II oraz III.
1 1 0
9.2. Dana jest macierz ®2 2 4
3 1 2
2
1°.
2
1 0
Odp. · —0 1
0 0
0 &
0 4 ˜.
!
1 &
!
a) Stosując operacje elementarne na wierszach macierzy A sprowadzić tę macierz do postaci bazowej
względem kolumn I, III oraz IV.
b) Pokazać,że nie można sprowadzić tej macierzy do postaci bazowej względem kolumn I, II oraz III.
9.3. Wyznaczyć rząd macierzy A ( ozn.:rzA) , jeśli macierz ta dana jest następująco:
1 1 0 2
a) ®2 2 4 1°
3 1 2 2
12 0
4 10 3
2
1 5 2
0
c) —
˜
0
1 3 2 2
15
3 9 6 2
3 4 0
1
b) 
2 1 5 1Ž
4
7
6 3
0
1
1
2 2
1 1
0
2
0
d) —
˜
0 1 1 2 2
1
1
2
2
0
9.4. Stosując operacje elementarne na wierszach macierzy rozszerzonej ¸¹
rozwiązanie ogólne następujących układów jednorodnych:
|ºS» wyznaczyć
a/ U
2! : & 4? 0S
,
3& : ? 0
b/ U
2! : & 5? 0
c/ [ 5& : ? 0 S
! : 3& 2? 0
! & 5? : F 0S
,
! : & : 2F 0
! : &
d/ [& : ?
! : ?
0
0S
0
9.5. Stosując operacje elementarne na wierszach macierzy rozszerzonej ¸¹ |ºS» wyznaczyć dla
każdego układu po jednym przykładowym rozwiązaniu szczególnym i wykonać sprawdzenie, gdy
a) U
3!
!
c) R
4!
!
:7&
5&
:&
4F
:9F
:8?
12? :
:6?
2S
12
2F
3
F 0 S
1
!
b) ¶ !
2!
2!
6&
:8&
10&
8&
2
4S
2
0
9.6. W podanych niżej niejednorodnych układach równań liniowych
a) Zapisać macierz rozszerzoną ¸¹ |ºS» danego układu równań.
b) Stosując operacje elementarne na wierszach macierzy ¸¹ |ºS» sprowadzić macierz rozszerzoną
układu do postaci bazowej.
c) Sprawdzić, czy rzA = rz¸¹ |ºS»
d) Zapisać rozwiązanie ogólne tego układu równań.
e) Wyznaczyć wszystkie rozwiązania bazowe danego układu równań oraz wskazać rozwiązania
bazowe nieujemne.
2 : 4? 1S
& 5? : F 4S
• U ! 3 &
,
,
U !
:
4
! : & : 2F 2
&
?
2! : & 5? 2
! : & 2
S
5& : ? 6
• [
[& : ? 4S
! : ? 6
! : 3& 2? 2
Zestaw nr 10 WYZNACZNIKI
10.1. Obliczyć wyznaczniki, stosując rozwinięcie Laplace’a względem wybranego wiersza lub kolumny:
4
a) det 0
1
2 3
1 3Ž,
2 0
10.2. Dane są macierze
5
b) det 5
1
2 3 5
¾ 
1 4 2Ž ,
3 1 1
0 1
2 2Ž ,
2 0
0
1
c) det —
0
2
3 2 0 5
2 1 2 2
¿—
˜,
0 2 5 0
5
0
3 4
3
0
1
0
0
1
0
4
2
1
˜.
1
0
0
À 0
L
Z
L
0
0
Z Ž.
1
a) Stosując rozwinięcie Laplace’a względem trzeciego wiersza, obliczyć wyznaczniki tych macierzy:
b) Powtórzyć obliczenia, stosując rozwinięcie Laplace’a względem trzeciej kolumny.
10.3. Obliczyć wyznaczniki następujących macierzy:
1 2
¿ 
4 5
3 0
1 2
¾
‘,
3 1
3
0Ž ,
0
0 0 3
À 0 6 3 Ž ,
2 1 1
0 1 2
Á 4
0 1Ž.
3 5 0
10.4. Obliczyć wyznaczniki podanych macierzy, sprowadzając je uprzednio do postaci macierzy
trójkątnej.
2
2
¿—
1
0
2 3 5
¾ 
1 4 2Ž ,
3 1 1
3 2 4
4 3 2
˜
3 2 1
1 2 3
10.5. Obliczyć podane wyznaczniki, wykorzystując operacje elementarne i własności wyznacznika:
1
4
a) det —
5
8
2
3
6
7
3
2
7
6
4
1
˜,
8
5
1
2
3
1 0
3
b) det —
1 2 0
1 2 3
4
4
˜.
4
0
*10.6. Stosując operacje elementarne na wierszach macierzy, znaleźć rozwiązanie równania:
1
2
det —
4
6
1
2
6
6
1 1
2 2
˜ 0.
4 4
6 2
10.7. Znaleźć dopełnienie algebraiczne elementu a22 = 4 oraz a13 = 5 macierzy ¾ 0
3
1 2 3
10.8. Dana jest macierz ¾ 3 1 4Ž.
2 5 1
a) Obliczyć wyznacznik macierzy A metodą Sarrusa.
b) Wyznaczyć macierz dopełnień macierzy AD, a następnie obliczyć jej wyznacznik.
c) Obliczyć det A D A,
(
det AD AT , det ( AD )T A
)
d) Wykorzystując macierz dopełnień AD wyznaczyć macierz odwrotną do macierzy A.
10.9. Pokazać, że detAB = detA detB, jeśli:
3
¾ 2
1
1 2
0 0 3
0 5Ž , ¿ 
1 2 1Ž.
4 0
0 1 1
10.10. Wyznaczyć macierze dopełnień algebraicznych dla podanych macierzy:
5 5
4 6Ž.
1 8
5 11
¾
‘,
4 9
0 1
¿ 2 3
1 0
0
0Ž ,
1
4
À 1
1
2 1
0 2Ž
1 1
Á 0
1
0
N
0
1
0Ž
O
10.11. Wyznaczyć macierz odwrotną do macierzy A za pomocą metody dopełnień algebraicznych,
a) ¾ 
Gdy:
1 2
‘,
2 1
2
c) ¾ 6
5
,
3
2
d) ¾ —
1
0
1 1 0
b) ¾ 
1 0 2Ž
0 3 1
10.12. Rozwiązać równania z niewiadomą x.
a) det ª
1 2
« 0,
2 3
c) det 0
0
0
3
2
1
1
1 Ž det 2
1
0 1
1
0 Ž
0
0
:7¯
¯
2,S
9,
b) [
2
¯
:¯
¯
1
0
3
0
2
5
0
2
4
0
˜.
2
1
: 1
6
5
b) det ª
« det 
‘,
1 : 2
2 1
10.13. Rozwiązać układy równań stosując wzory Cramera
a) U
2
5
7
3
4 Ž,
2 3
:
:2
:
1,
1,S
3.
3!
c) [
!
2!
:2&
:4&
:3&
:?
2?
5,
8,S
7.
10.14.Rozwiązać każdy z układów równań w zależności od występującego tam parametru k lub p:
3<
a) [ !
!
:&
:<&
:&
:2?
:3?
:4?
1,
1,S
<.
‰
b) [ 10.15. Wyzanczyć macierz X z równania macierzowego
:¯
:¯
¯
:
:‰
1,
‰,S
1.
À ¾ ! ÂÃ ¿ : 2¿, gdzie A, B, C są danymi macierzami nieosobliwymi stopnia 3.
Obliczyć det X, wiedząc, że det A = 2, det B = 3, det C = 4.
10.16. Dane są macierze:
1
1
¾—
1
0
0
1
2
1
1
4
˜,
0
1
2
2 0
¿ 
2 0 3Ž.
3 5 2
a) Wyznaczyć macierz C daną wzorem C = ATA + 4 det (I – B)B−1 .
b) Wyznaczyć rząd każdej z macierzy: A, B oraz I – B.
c)
<
10.17 Zbadać, dla jakich wartości parametru k macierz ¿ <
1
0 1
1 1Ž jest odwracalna. Dla
1 <
1 0
znalezionych wartości k wyznaczyć macierz X spełniającą równanie ¿ !  1 0Ž.
0 1
10.18. Dane są macierze:
2
0
0
1 3
¾ 5
,
¿
Ž

1
0
0 2
4 10 2
0 0
oraz macierz C stopnia 3 taka, że det C = 1. Obliczyć det (3B−1CTA).
5
4Ž
3