PDF version - Politechnika Śląska, Wydział Elektryczny

ELEKTRYKA
Zeszyt 3 (235)
2015
Rok LXI
Bogusław BUTRYŁO, Agnieszka CHOROSZUCHO
Katedra Elektrotechniki Teoretycznej i Metrologii, Politechnika Białostocka
MODELOWANIE ZJAWISK ELEKTROMAGNETYCZNYCH
W KONSTRUKCJACH BUDOWLANYCH Z ZASTOSOWANIEM
NIEJAWNEJ METODY RÓŻNICOWEJ
Streszczenie. W pracy zaprezentowano opracowany algorytm metody różnic
skończonych w dziedzinie częstotliwości (FDFD). Zaproponowana koncepcja i realizacja
algorytmu pozwala na szczegółową analizę zjawisk związanych z propagacją fal
elektromagnetycznych w zakresie częstotliwości komunikacji bezprzewodowej,
w konstrukcjach budowlanych, z uwzględnieniem stratności materiałów. Dzięki uwzględnieniu techniki h-adaptacji siatki różnicowej algorytm jest przystosowany do obliczeń
układów dużej skali. Na przykładzie modelu testowego z fragmentem konstrukcji
budowlanej wykazano poprawność działania algorytmu przez weryfikację wyników
obliczeń z rezultatami otrzymanymi za pomocą metod FDTD oraz FEM.
Słowa kluczowe: pole elektromagnetyczne, modelowanie numeryczne, metoda różnic skończonych,
propagacja fal w ośrodkach niejednorodnych, materiały budowlane
NUMERICAL MODELING OF ELECTROMAGNETIC FIELDS IN LARGE
SCALE BUILDING STRUCTURES USING IMPLICIT DIFFERENCE
SCHEME
Summary. The paper presents the developed algorithm of the finite-difference
frequency-domain method (FDFD). The proposed concept and realization allows for
detailed analysis of the phenomena related to the propagation of electromagnetic waves in
the range of frequency used by wireless communication systems in building structures.
The developed algorithm also takes into account the lossiness of building materials. The
algorithm is suitable for large-scale computation systems by taking into account hadaptation technique of the differential mesh. Using the example of model with complex
structure the correctness of the developed algorithm was proved by verifying calculation
results with those obtained by FDTD and FEM methods.
Keywords: electromagnetic fields, numerical modelling, finite difference method, wave propagation
inside non-homogeneous materials, building materials
88
B. Butryło, A. Choroszucho
1. WPROWADZENIE
Zastosowanie metod modelowania numerycznego jest szczególnie uzasadnione
w przypadku technologii lokalnych sieci bezprzewodowych oraz przy projektowaniu i ocenie
warunków pracy układów wielkich częstotliwości (np. Wi-Fi). Z użyciem dobranych
algorytmów numerycznych możliwe jest rozpatrzenie wielu zjawisk związanych z propagacją
i oddziaływaniem fal elektromagnetycznych. W przypadku rzeczywistych układów, czy też
zagadnień o złożonej geometrii i strukturze materiałowej, stosowanie przybliżeń
analitycznych oraz prostych metod projektowych nie znajduje zastosowania ze względu na
wprowadzane uproszczenia. Przykładem złożonych układów dużej skali są zagadnienia
propagacji fal elektromagnetycznych w konstrukcjach budowlanych. Występujące zjawiska
falowe (m.in. interferencje, dyfrakcje czy odbicia) są powodowane przez trzy czynniki
o różnej skali:
1. ogólną geometrią układu, wynikającą z rozmieszczenia ścian, słupów, drzwi, powiązaną
ze zróżnicowaniem materiałowym elementów konstrukcji;
2. wewnętrzną konstrukcją poszczególnych elementów, w których mogą występować
elementy modyfikujące rozkład pola (np. perforacje, zbrojenie, kanały wentylacyjne);
3. niejednorodność w skali makroskopowej struktury stosowanych materiałów (mieszaniny
składników o różnych właściwościach).
W ramach tworzonych metod numerycznych możliwe jest bezpośrednie uwzględnienie
dwóch pierwszych czynników. Wymiary elementów wymienionych w tych grupach są
porównywalne z długością fal elektromagnetycznych stosowanych w systemach komunikacji
bezprzewodowej [1]. Efektywne obliczanie struktur o takiej skali zróżnicowania może być
realizowane z użyciem metod bazujących na fizyce falowej lub (rzadziej) modelach fizyki
optycznej [2, 6, 11]. Najszerzej stosowana, bazująca na fizyce falowej, metoda różnic
skończonych z bezpośrednim całkowaniem równań Maxwella w dziedzinie czasu (FDTD,
ang. finite-difference time-domain) wymaga jednak długotrwałych, wielokrokowych obliczeń
układów dużej skali, poczynając od obliczeń stanu nieustalonego. Jawny charakter schematu
czasowego prowadzi do konstrukcji algorytmu warunkowo-stabilnego. Dodatkowo błędy
przybliżeń obliczeń w stanie nieustalonym mogą się przełożyć na wystąpienie dodatkowych
artefaktów obserwowanych w chwilowych rozkładach pola wyznaczanych w stanie
ustalonym. Alternatywnym rozwiązaniem pozostaje sformułowanie algorytmu w dziedzinie
częstotliwości.
W artykule przedstawiono konstrukcję i scharakteryzowano właściwości metody różnic
skończonych zdefiniowanej w dziedzinie częstotliwości (FDFD, ang. finite-difference
frequency-domain) [11]. Opracowane sformułowanie algorytmu pozwala na uwzględnienie
zróżnicowania właściwości materiałów w ramach konstrukcji budowlanych. Jednokrokowa
realizacja algorytmu prowadzi do określenia rozkładu pola w złożonym układzie, w stanie
Modelowanie zjawisk elektromagnetycznych...
89
ustalonym i daje możliwość analizy wielowariantowej. Właściwości metody zostały
przedstawione na przykładzie fragmentu konstrukcji budowlanej, w której rozkład pola
podlega zróżnicowaniu ze względu na geometrę układu (połączenie ścian jednorodnych
i niejednorodnych) oraz na skutek występowania wewnętrznych elementów średniej skali,
modyfikujących rozkład pola (drążenia w ścianach). Wyniki obliczeń z użyciem
opracowanego algorytmu porównano z rezultatami otrzymanymi przy stosowaniu metody
FDTD [6, 11] oraz metody elementów skończonych (FEM, ang. finite element method) [8].
2. SCHEMAT RÓŻNICOWY W DZIEDZINIE CZĘSTOTLIWOŚCI
Ze względu na pracę lokalnych systemów komunikacji bezprzewodowej w wybranym
paśmie częstotliwości, przy znanej częstotliwości środkowej fn pasma, opis zjawisk polowych
można sprowadzić do rozpatrzenia zagadnień monochromatycznych w stanie ustalonym.
Przyjęte podejście jest również uzasadnione tym, że systemy te pracują w stanie ustalonym ze
względu na występujące zjawiska falowe, geometrię układu (konstrukcja budynku) oraz
rozmieszczenie źródeł pola. Rozkład pola w stanie ustalonym jest opisany funkcją zespoloną,
np. wektor natężenia pola elektrycznego E=[Ex, Ey, Ez] [7]
Ex, y, z, t   Ex, y, z  e j2 f n t   x, y, z  .
(1)
Zakładając, że stosowane materiały konstrukcyjne charakteryzują się izotropowością
i liniowością, rozkład pola w ośrodkach stratnych jest opisany równaniami Maxwella [5, 7,
11]
  E   jω0   jH ,
(2)
  H   E  j 0    j E  J I ,
(3)
  J   j  ,
(4)
przy czym JI oznacza zespolony wektor gęstości prądu wymuszającego pole, zaś ρ to
objętościowa gęstość ładunku elektrycznego. Użyte, klasyczne oznaczenia parametrów
materiałowych obejmują: σ – przewodność elektryczną, jak również ε' (fn) i ε'' (fn) –
rzeczywistą oraz urojoną składową przenikalności elektrycznej ośrodka oraz μ' (fn) i μ'' (fn) –
składowe przenikalności magnetycznej.
Na skutek zróżnicowania struktury wewnętrznej materiałów budowlanych oraz wpływu
wilgotności w dostępnej literaturze szeroko są prezentowane i dyskutowane różne wartości
parametrów przy zadanych częstotliwościach komunikacji bezprzewodowej odpowiednio
opisane przez przyjęcie granicy dolnej, np. ε'd oraz górnej, np. ε'g [1]
  f n    d ,  g ,
(5)
  f n    d ,  g ,
(6)
B. Butryło, A. Choroszucho
90
  f n   d ,  g ,
(7)
  f n   d ,  g .
(8)
Pod tym względem analiza numeryczna konstrukcji budowlanych nie jest zagadnieniem
jednoznacznym i wymaga zwykle analizy kilku wariantów, przy rozpatrzeniu różnych
wartości współczynników materiałowych. Ten czynnik przemawia za stosowaniem proponowanego dalej niejawnego algorytmu w dziedzinie częstotliwości, prowadzącego do
bezpośredniego wyznaczenia rozkładu pola w stanie ustalonym, obliczanego przy kolejnych
wybranych wartościach ε', ε'', μ', μ''.
Przejście do sformułowania algorytmu różnicowego uzyskano przez zdyskretyzowanie
równań (2)-(3) po obszarze. Geometria typowych konstrukcji budowlanych wpisuje się
w układ współrzędnych kartezjańskich i z tego względu ten układ przyjęto za bazę
dyskretyzacji. Przy ocenie propagacji pola w materiałach budowlanych oraz konstrukcjach
w ramach jednej kondygnacji budynku model układu można uprościć do wariantu
dwuwymiarowego. Pomija się oddziaływanie zewnętrznych elementów konstrukcji oraz
przyjmuje brak zmian rozkładu pola w kierunku pionowym. W dalszej analizie zjawisk, bez
utraty ogólności rozważań, przyjęto opis TM (ang. Transverse Magnetic), w którym składowe
pola magnetycznego Hx i Hy są opisane w płaszczyźnie modelu, zaś wektor Ez jest
prostopadły do wyróżnionej płaszczyzny modelu:
Hx 

(9)

E z
,
j  x
(10)
 H y H x

 

  E z  .
j  x
y

(11)
Hy 
Ez 
E z
,
j  y
1
1
1
W opracowanym sformułowaniu częstotliwościowym (FDFD) przyjęto konstrukcję
z przesunięciem siatek dla składowych pola elektrycznego oraz składowych pola
magnetycznego (rys. 1), zgodną z koncepcją zaproponowaną przez K. S. Yee przy
formułowaniu metody różnicowej w dziedzinie czasu [11].
Modelowanie zjawisk elektromagnetycznych...
91
Rys. 1. Fragment dwuwymiarowej siatki różnicowej z przesunięciem składowych pola elektrycznego
oraz pola magnetycznego (wariant TM)
Fig. 1. Part of the two-dimensional differential staggered mesh (TM mode)
W klasycznych algorytmach wielkość oczek siatki różnicowej (rys. 1) pozostaje stała
Δ = Δx = Δy [6]. Ze względu na zróżnicowanie właściwości materiałowych i geometrii
podobszarów w konstrukcjach budowlanych, w proponowanym algorytmie założono, że
rozmiary oczek mogą podlegać adaptacji. W ten sposób możliwe jest miejscowe
dostosowanie wielkości elementów, w celu ograniczenia liczby stopni swobody opisujących
rozpatrywany model. Zastosowanie lokalnej zmiany wielkości siatki różnicowej przy
wykorzystaniu techniki h-adaptacji prowadzi do określenia lokalnych miar opisujących
przyległe oczka. Przykładowo, dla osi Ox definiuje się rozmiar sąsiednich komórek (rys. 2),
jak również średni określony lokalnie rozmiar przylegających oczek
 x ,l  x , p

,
(12)
2
2
przy czym Δx,p, Δx,l oznaczają liniowe rozmiary oczek siatki znajdujących się odpowiednio po
prawej i po lewej stronie węzła w punkcie (xi). Podobne postępowanie dotyczy osi Oy.
 x ,c 
Rys. 2. Definicja rozmiaru sąsiednich komórek
Fig. 2. Definition the size of neighboring cells
Ze względu na zróżnicowanie modeli opisujących zjawiska fizyczne, w konstrukcji
algorytmu wyróżniono trzy rodzaje obszarów i powiązanych z nimi węzłów siatki różnicowej
(rys. 3). Pełny opis zagadnienie w obszarze Ω obejmuje
  W  Z  O ,
(13)
92
B. Butryło, A. Choroszucho
przy czym: ΩW – obszar zawierający węzły wewnątrz modelu z pominięciem źródeł pola,
ΩZ – obszary wewnątrz modelu z przypisanymi źródłami pola elektromagnetycznego, Γ O –
brzeg obszaru Ω obejmujący przyległe oczka siatki. Na obszar ΓO składają się oczka,
w których należy przypisać warunki brzegowe uwzględniające otwarty charakter
analizowanego zagadnienia. Wielkość obszaru ΓO zależy od przyjętej aproksymacji ABC
(ang. absorbing boundary conditions). W prezentowanej wersji zastosowano warunki Mura
pierwszego rodzaju, w których obszar ΓO ogranicza się do zewnętrznych węzłów modelu.
Rozszerzenie zbioru ΓO daje możliwość stosowania innych metod aproksymacji numerycznej
zmian pola przy propagacji fal do nieskończoności.
Rys. 3. Geometria modelu z wyróżnieniem podzbiorów o różnej formie opisu
Fig. 3. The geometry of analysed model with the indication subsets of various types description
Przy zachowaniu ogólnych równań, opisujących pole elektromagnetyczne (2)-(4),
w poszczególnych obszarach zastosowano różne metody aproksymacji numerycznej. Dla
każdego węzła wewnętrznego znajdującego się w obszarze ΩW możliwe jest zdefiniowanie
pełnego zbioru węzłów sąsiednich. Ze względu na możliwe wykorzystanie nierównomiernej
siatki różnicowej, należy stosować metody wyszukiwania właściwego podzbioru węzłów
sąsiednich w bezpośrednim otoczeniu węzła o indeksie (i, j) (rys. 3). W związku ze
stosowaniem h-adaptacji, liczebność zbioru nie jest stała i zależy od lokalnej konstrukcji
siatki. Relacje matematyczne, wiążące wielkości polowe opisane w węźle (i, j) oraz
w węzłach sąsiednich, wynikają wprost z dyskretyzacji równań Maxwella (2)-(4).
Na zbiór opisujący pole w otoczeniu węzła składają się węzły znajdujące się
w bezpośrednim otoczeniu węzła (i, j), przy czym ich liczba oraz położenie wynikają
z lokalnej konstrukcji siatki różnicowej. Rozkład pola w węzłach wewnętrznych jest opisany
ogólnymi równaniami Maxwella. Dzięki dyskretyzacji obszaru uwzględnia się zmiany
właściwości materiałowych, a także zróżnicowanie geometrii w analizowanych zagadnieniach. Do przybliżenia pochodnych cząstkowych po obszarze zastosowano schemat różnic
centralnych Eulera (ang. central-difference), z uwzględnieniem lokalnej zmiany konstrukcji
siatki różnicowej [11]:
Modelowanie zjawisk elektromagnetycznych...
u
x
xi , y j
93
 x, p


 

u xi 
, y j   u xi  x,l , y j 
2
2
,
 
 
 x,c
(14)
przy czym u oznacza aproksymowaną wielkość polową u = {Ex, Ey, Ez, Hx, Hy, Hz}.
W przypadku gdy Δx,p = Δx,l zastosowane przybliżenie pochodnej różnic centralnych jest
rzędu drugiego. Przy uwzględnieniu przesunięcia skojarzonych siatek opisujących składowe
pola elektrycznego i magnetycznego, pole w węzłach wewnętrznych jest przedstawione za
pomocą zależności:
i , j  12
Hx  
1
j  i , j  1
2
i  12 , j
Hy 
1
j  i  1 , j
2
i, j
E z  j  i , j   i , j  
i  12 , j

E  E
 i , j 1 z i , j z ,
yi , j 1  yi , j
(15)
E z i , j E z
,
xi 1, j  xi , j
(16)
i 1, j
H y i 12 , j H y
xi 1 , j  xi 1 , j
2
2

i , j  12
H x i , j  12 H x
yi , j  1  yi , j  1
2
.
(17)
2
Równania (15) i (16), przy uwzględnieniu ich iteracyjnej modyfikacji, zostały
podstawione do zależności (17). Po dalszych przekształceniach oraz niezbędnych
uproszczeniach sformułowane równanie falowe w postaci różnicowej, dla składowej Ez jest
wyrażone za pomocą wzoru
i, j
E z  wi , j i1, j E z  wi1, j i1, j E z  wi1, j i , j 1 E z  wi , j 1 i , j 1 E z  wi , j 1  0 ,
(18)
przy czym lokalnie liczone zespolone współczynniki są opisane m.in. zależnością
wi , j  j i , j   i , j 
1
j  i 1 , j

2

1
1
1



 x ,c  x , p j  i 1 , j  x ,l  x ,c
2
1
j  i , j  1
2
(19)
1
1
1



.
 y ,c  y , g j  i , j  1  y ,d  y ,c
2
Wyjściowa postać równania (19) pozwala, obok przewodności elektrycznej, uwzględnić
również stratność materiałów na skutek różnych zjawisk o charakterze pasożytniczym. W tym
celu należy, zgodnie z równaniami (2) i (3), przyjąć w równaniu (19) zespolone wartości
przenikalności elektrycznej i magnetycznej.
Drugi wyróżniony zbiór ΩZ tworzą węzły znajdujące się w obszarach źródłowych.
W prezentowanym sformułowaniu przyjęto definicję tzw. źródeł twardych. Wartości pola są
wyrażone za pomocą narzuconej funkcji opisującej wydajność źródeł. Stosowane
wymuszenia pola są zatem określone w postaci jawnej, przez przypisanie dla wybranego
zbioru węzłów funkcji harmonicznej o zadanej częstotliwości f oraz lokalnie modyfikowanej
fazie
B. Butryło, A. Choroszucho
94
i, j
E z  E  sin 2 f n t  i , j  .
(20)
Rozmieszczenie węzłów źródłowych w obszarze modelu daje możliwość modelowania źródeł
punktowych, liniowych oraz objętościowych (rys. 3).
Wynikowy opis rozpatrywanego modelu uzyskuje się przez złożenie zależności
tworzonych dla każdego węzła siatki, m.in. z uwzględnieniem zależności (18)-(20).
W końcowym zapisie otrzymuje się równanie macierzowe
Ae  b ,
(21)
przy czym: A – zespolona macierz współczynników, e – wektor ze zgrupowanymi obliczanymi składowymi pola i,jEz natomiast b to wektor z czynnikami opisującymi wartości źródeł
pola.
Wartości czynników macierzy A wynikają z położenia węzła w siatce różnicowej oraz
jego kwalifikacji do zbioru {ΩW, ΩZ, ΓO}. Utworzona macierz A jest rzadka, przy czym
współczynnik upakowania nie przekracza wartości 5/NDOF, gdzie NDOF oznacza liczbę stopni
swobody. Pomimo że macierz jest odwracalna, stopień jej upakowania oraz wielkość
analizowanych układów wyklucza stosowanie metod dokładnych. Rozwiązanie równania (21)
uzyskano z użyciem własnych procedur, opracowanych dla macierzy A opisanej na zbiorze
liczb zespolonych.
3. ANALIZOWANY MODEL
Przedstawiony algorytm zastosowano do obliczenia zagadnienia testowego (rys. 4),
z niesymetrycznym układem złożonym z dwóch prostopadłych ścian.
ściana wykonana
z gazobetonu
(prostopadła do osi Ox)
ściana wykonana z betonu
z drążeniami
(równoległa do osi Ox)
warstwa
PML
(a)
(b)
Rys. 4. Analizowany model: (a) geometria i warunki brzegowe (FDFD), (b) zastosowana siatka przy
analizie metodą FEM
Fig. 4. The analyzed model: (a) the geometry and boundary conditions (FDFD), (b) the mesh used in
FEM
Jedna ze ścian była wykonana z betonu o parametrach elektrycznych r' = 6 oraz
 = 0,00195 S/m i zawierała pionowe drążenia o wymiarach 0,040,03 m wypełnione
Modelowanie zjawisk elektromagnetycznych...
95
powietrzem. Natomiast druga ściana wykonana była z materiału jednorodnego (gazobeton),
o parametrach r' = 2,25 oraz  = 0,00001 S/m [2, 4, 10].
W opisie modelu przyjętego algorytmu FDFD zastosowano siatkę o wymiarach
Δx × Δy = 5×5 mm. Analizowany układ był przybliżony siatką złożoną z 26085 stopni
swobody.
Weryfikacja wyników uzyskanych opracowanym schematem FDFD została wykonana
przy użyciu metody różnic skończonych w dziedzinie czasu (FDTD) oraz metody elementów
skończonych (FEM). Zarówno w metodzie FDTD, jak i w FEM warunki absorpcyjne na
zewnętrznych krawędziach modelu zostały odwzorowane z użyciem warunków PML (ang.
perfectly matched layer) o grubości 0,2 m (rys. 4b). W każdym z układów modelowano
punktowe źródło pola elektromagnetycznego o przebiegu harmonicznym (E0 =1 V/m,
fn = 2,4 GHz).
W metodzie FDTD w całym obszarze zastosowano siatkę równomierną z oczkiem Yee
o wymiarach Δx × Δy = 1×1 mm [6]. Natomiast w metodzie FEM wykorzystano technikę
siatki czworobocznej h-adaptowanej (rys. 4b) [3].
W metodzie czasowej FDTD obwiednia rozkładu natężenia pola EM w układzie była
wyznaczona przez przetworzenie serii chwilowych rozkładów pola. W tym celu dodatkowo
opracowano algorytm przetwarzający sekwencję kolejnych rozkładów pola obliczonych przy
wystąpieniu stanu ustalonego.
4. WYNIKI ANALIZY NATĘŻENIA POLA ELEKTRYCZNEGO
Na rysunku 5 przedstawiono charakterystyki natężenia pola elektrycznego wyznaczone
za pomocą rozpatrywanych trzech metod (FDTD, FDFD, FEM). Największe zmiany
zaobserwowano przy porównaniu wyników otrzymanych metodą FEM z metodami
różnicowymi (FDFD, FDTD). Porównanie wartości natężenia pola wzdłuż prostej y = 0,82 m
(rys. 5) wykazało, że najbardziej zbliżone wyniki rozkładu natężenia pola uzyskano metodami
różnicowymi. Natomiast charakterystyki uzyskane metodą FEM różniły się od wartości
uzyskanych pozostałymi metodami (FDFD i FDTD), głównie w obszarze bliskim
przypisanym warunkom brzegowym. Zauważono, że pojawiające się lokalnie różnice
w wartościach natężenia pola (FDFD, FDTD) są średnio rzędu 15%. Należy zaznaczyć, że
taka rozbieżność dotyczy małych wartości natężenia pola. Z użyciem rozpatrywanych metod
uzyskuje się jakościowo zbliżone rozkłady pola. Z tego względu każda z tych metod, w tym
opracowana FDFD, może być stosowana do wyznaczenia wartości względnego tłumienia fal
EM w analizowanych układach.
B. Butryło, A. Choroszucho
96
0,30
|E z | [V/m]
0,25
metoda FDFD
metoda FDTD
metoda FEM
ściana prostopadła
do osi OX
0,20
linia lokalizacji źródła
pola EM
0,15
0,10
0,05
x [m]
0,00
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
Rys. 5. Porównanie wartości natężenia pola elektrycznego uzyskanych wzdłuż prostej y = 0,82 m
Fig. 5. Comparison of the value of electric field intensity obtained along the line y = 0,82 m
5. PODSUMOWANIE
Każda z rozpatrywanych metod może być stosowana do analizy rozkładu pola wewnątrz
pomieszczeń, zawierających złożone konstrukcje budowlane. Ze względu na rozmiary
układów i ich geometrię należy jednak przed przygotowywaniem modelu rozważyć jego
konstrukcję oraz właściwości wybranej metody, w tym możliwość modelowania warunków
brzegowych oraz źródła pola.
Zaobserwowane różnice w wartościach natężenia pola elektrycznego wynikają głównie
z ogólnych właściwości metod, w tym:
 różnych warunków brzegowych zastosowanych przy modelowaniu zagadnień otwartych;
 rozmiaru siatki, sposobu jej konstrukcji i możliwości jej adaptacji;
 rzędu stosowanych przybliżeń numerycznych po obszarze i przyjętych algorytmów
numerycznego całkowania w czasie (w algorytmie FDTD).
Wymienione czynniki determinują wartość błędu obliczeń. Prezentowany algorytm FDFD
pozwala na obliczenie rozkładu pola elektrycznego w konstrukcjach budowlanych w stanie
ustalonym. Obliczenia stanu ustalonego prowadzą do bezpośredniego określenia
maksymalnych wartości pola w rozpatrywanym obszarze i wyznaczenia obszarów i wartości
tłumienia fal. Jednokrokowy przebieg obliczeń daje możliwość efektywnego prowadzenia
analizy wielowariantowej, przy zmianie wartości parametrów materiałowych oraz geometrii
układu. Wykonane testy wykazały, że ze względu na efektywność implementacji schematu
bardzo ważny jest wybór algorytmu rozwiązania równania zespolonego dużej skali. W tym
celu zastosowano algorytm GMRES, który w tym przypadku okazał się najbardziej
efektywny spośród testowanych. Problematyka efektywności numerycznej algorytmu FDFD
zostanie przedstawiona w kolejnych publikacjach.
Modelowanie zjawisk elektromagnetycznych...
97
BIBLOGRAFIA
1. Anttalainen T.: Introduction to telecommunications network engineering. Espoo-Vantaa
Institute of Technology, ArtechHouse 2000.
2. Butryło B., Choroszucho A.: The influence of partition walls inside rooms
on the distribution of the electromagnetic field and the quality of transmission data.
„Przegląd Elektrotechniczny” 2009, Vol. 85, No 7, p. 15-20.
3. Comsol Multiphysics user’s guide. Comsol AB. 2009.
4. Dalke R.A., Holloway Ch.L., McKenna P., Johansson M., Ali A.S.: Effects of reinforced
concrete structures on RF communications. „IEEE Trans. Electromagnetic Compatibility”
5.
6.
7.
8.
2000, Vol. 42, No 4, p. 486-496.
Morawski T., Gwarek T.: Pola i fale elektromagnetyczne. WNT, Warszawa 2009.
Oskooi A.F., Roundyb D., Ibanescua M., Bermelc P., Joannopoulosa J.D., Johnson S.G.:
MEEP: A flexible free - software package for electromagnetic simulations by the FDTD
method. „Computer Physics Communications” 2010, Vol. 181, 687-702.
Piątek Z., Jabłoński P.: Podstawy teorii pola elektromagnetycznego. WNT, Warszawa
2010.
Ping L., Qi-tao Y., Yun-liang L.: Analysis of electromagnetic propagation into reinforced
concrete walls by FEM-PML methods. „IEEE International Conference on Microwave
and Millimeter Wave Technology”, ICMMT 2008 Proceedings 2008, p. 1-4.
9. Rumpf R. C.: Design and optimization of nano-optical elements by coupling fabrication
to optical behavior. University of Central Florida Orlando, Florida, Spring Term 2006.
10. Shah M.A., Hasted J.B., Moore L.: Microwave absorption by water in building materials:
Aerated concrete. „British Journal of Applied Physics” 1965, Vol. 16, No. 11, p. 17471754.
11. Taflove A., Hagness S.C.: Computational Electrodynamics, The Finite – Difference Time
– Domain Method. Boston, Artech House, 2005.
Dr hab. inż. Bogusław BUTRYŁO, dr inż. Agnieszka CHOROSZUCHO
Politechnika Białostocka; Wydział Elektryczny
Katedra Elektrotechniki Teoretycznej i Metrologii
ul. Wiejska 45D
15-351 Białystok
e-mail: [email protected]
[email protected]