Odpowiedzi do zadań

Odpowiedzi do zadań
W razie zauważenia błędu w odpowiedziach proszę o kontakt.
1
Funkcje rzeczywiste
1.1
Wskazówka: wystarczy przesunąć wykresy prostych funkcji o odpowiedni wektor.
1.2
a) tak b) nie c) tak d) nie
1.3
a) Df = (−1, ∞), DW = R, f −1 (x) = 5x−2 − 1
b) Df = (1, 2], DW = [0, ∞), f −1 (x) = x21+1 + 1
4
c) Df = [0, ∞), DW = [0, ∞), f −1 (x) = ( x5 ) 7
d) Df = (0, 1] ∪ [16, +∞), DW = [0, +∞)
Funkcja odwrotna nie istnieje, bo f nie jest różnowartościowa - np. f ( 12 ) = f (32)
1.4
√
a) f −1 (x) = x − 2 + 1 dla x ∈ (2, +∞)
b) f −1 (x) = log√2 (x − 5) + 5 dla x > 5
y+ y 2 −4
c) f −1 (x) =
dla y ∈ (2, ∞)
2
d) f −1 (x) = log2 (x2 + 8) dla x ∈ R
e) f −1 (x) = 2π − arccos x dla x ∈ [−1, 1]
1
2
Granice funkcji
2.1
a)
1
2
1
3
b) 0 c) −∞ d)
2.2
a)
1
6
b) −2 c)
1
7
d)
5
4
2.3
a)
1
18
b)
1
24
c) − 52 d) − 38
2.4
a)
2
3
b) 12 c)
2
5
d)
2
9
2.5
a) e12 b) e− 2 c) e−2 d) 0
3
2.6
Znajdź asymptoty funkcji:
a) Pozioma z obu stron y = 1, pionowe x = 2, x = −2
b) Pozioma prawostronna y = 1, pozioma lewostronna y = −1, pionowa x = −3
c) Pionowa x = −4 i ukośna z obu stron y = x − 2
d) Pozioma prawostronna y = 0
2.7
a) Nie. b) a = 1 i a = −2
2
3
Pochodne
3.1
a) f ′ (x) = ex (sin x + cos x)
x−sin x
b) f ′ (x) = cos
√ ex
c) f ′ (x) = 2 tg x ln 2 ⋅ 2√1tg x ⋅ cos12 x
2
2
d) f ′ (x) = 2xex +1 cos ex +1
e) f ′ (x) = 4024x(x2 + 1)2011
1
f) f ′ (x) = √ 21
⋅ arc1tg x ⋅ 1+x
2
g) f ′ (x) =
h) f ′ (x) =
i) f ′ (x) =
1−ln arc tg x
1
√
8
8 x7
2
2
2xex +1 ⋅ sin cos x − ex +1 sin x cos cos x
earcsin x ⋅( √
1
1−x2
4
sin 2x−6 cos 2x)
sin 2x
2
1
√
⋅ ( sin(xx +1) + 2x ln x cos(x2
2 ln x⋅sin(x2 +1)
x
x
k) f (x) = xarcsin x ⋅ ( √ln1−x
+ arcsin
)
2
x
l) f (x) = (sin x)x ⋅ (ln sin x + x ctg x)
j) f (x) =
+ 1))
3.2
a) 12 b) 21 c) 0
d) 1 e) 0 f) 4
g) − 31 h) − π4 i)
j) 12 k) 1 l) 1e
2
π
3
4
Przebieg zmienności funkcji
(wkrótce kiedyś)
4
5
Całki
5.1
a) x sin x + cos x + C b) ex (x2 − 2x + 2) + C c) 14 x2 (2 ln ∣x∣ − 1) + C d) x(ln x − 1) + C
e) 21 arc tg2 x+C f) 12 ((x2 +1) arc tg x−x)+C g) 41 x2 (2 ln2 ∣x∣−2 ln ∣x∣+1)+C h) 15 ex (2 sin 2x+cos 2x)+C
5.2
−5)
a) 21 sin x2 + C b) (2x 2013
+ C c) 12 arc tg2 x + C d) ln 3∣x∣ + C
3 x
e) arcsin ln ∣x∣ + C f) 13 arc tg x3 + C g) arc tg ex + C h) sin3 e + C
2
3
2013
5.3
√
2
a) 21 ex (x2 − 1) + C b) sin ex − ex cos ex + C c) ln ∣ sin x∣ − (x + 1) ctg x + C d) 1 − x2 + x arcsin x + C
√
+ C h) x tg x + ln ∣ cos x∣ + C
e) −2 1 − x2 arccos x − 2x + x arccos2 x + C f)arc tg sin12 x + C g) − 2 ln4x∣x∣+1
2
6
Całkowanie funkcji wymiernych
6.1
a) 3 ln ∣x − 1∣ − ln ∣x∣ + C b) 21 ln(x2 + 1) − ln x + arc tg x + C c) ln(x2 + 2x + 5) − ln ∣x + 1∣ + 29 arc tg x+1
2 +C
2
3
1
2x+1
1
x+2
2
d) ln ∣x + 1∣ − x−1 + C e) 8 ln(4x + 4x + 17) − 16 arc tg 4 + C f) 2 ( x2 +4x+5 + arc tg(x + 2)) + C
7
Całkowanie funkcji niewymiernych
7.1
√
x−2
a) arcsin x−3
+
C
b)
5
arcsin
−
3
5 + 4x − x2 + C
3 √
3
√
c)* 31 (x + 7) x2 + 2x + 2 + 23 ln ∣x + 1 + x2 + 2x + 2∣ + C
√
√
√
√
d) 31 x + 1 − 21 3 x + 1 + 6 x + 1 − ln( 6 x + 1 + 1) + C
5
3
1
e) 52 (x − 3) 2 + 4(x − 3) 2 + 18(x − 3) 2 + C
√
√
√
1−x
1−x
−
1∣
−
ln
∣
+
1∣
+
2
arc
tg
f) ln ∣ 1−x
1+x
1+x
1+x + C
8
Całkowanie funkcji trygonometrycznych
8.1
a) 41 tg2 x2 + tg x2 + 12 ln ∣ tg x2 ∣ + C b) 14 (ln ∣ cos x − 1∣ − ln ∣cosx + 1∣ + cos1x−1 + cos1x+1 ) + C
5
7
9
c) − cos5 x + 2 cos7 x − cos9 x + C d) x − 14 sin 4x + C
5