1 Całki nieoznaczone

1
Całki nieoznaczone
Całkowanie przez części lub podstawienie
Obliczyć
R
x + c,
R x2sinx xdx = 2sinx x − x cos
x e dx = x e − 2xex + 2ex + c,
R x2
1+x2 dx = x − arctgx + c,
R
x3
√
dx = √x14 +2 12 x4 + 1 + c,
4
p
R 2+x
2
R arcsin xdx = x arcsin x + (1 − x ) + c,
ln xdx = x ln x − x + c,
R arctan x
1
2
x2 +1 dx = 2 arctan x + c,
R arcsin
x
√
dx = 12 arcsin2 x + c,
1−x2
R −2x
3 −2x
2 −2x
e
cos 3x + 13
e
sin 3x + c,
e
cos 3xdx = − 13
R xdx
3x) sin 3x
= − 19 3x cos 3x−ln(sin
+ c,
sin 3x
sin2 3x
R x
ex
2 (sin x −
cos x) + c,
R e xsin xdx =
1
2
2 +1 dx = 2 ln x + 1 + c,
x
√
R 2√
x 4 − x3 dx = 4 − x3 29 x3 − 89 + c,
R
x ln xdx = 12 x2 ln x − 14 x2 + c,
R
− 21 ln x2 + 1 + c,
R arctgxdx = xarctgx
xarctgxdx = 12 x2 arctgx − 21 x + 12 arctgx + c,
R ln x
dx = 12 ln2 x + c,
R x5
sin x cos xdx
√
R
(arcsin x)2 dx = x arcsin2 x − 2x + 2 (arcsin x) 1 − x2 + c,
R
sin ln xdx = 12 x sin (ln x) − 12 x cos (ln x) + c,
Całki z funkcji wymiernych
Obliczyć
R
R
3x−2
x2 +5x+7 dx
=
3
2
ln x2 + 5x + 7 −
19
3
√
3 arctan 13 (2x + 5)
√
3 + c,
dx
= 13 ln (x − 1) − 13 ln (x + 2) + c,
(x − 1)(x + 2)
R
dx
= − 13 ln (x + 1) + 31 ln (x − 2) + c,
(x + 1)(x − 2)
R
dx
= 16 ln (x − 1) + 31 ln (x + 2) − 12 ln (x + 1) + c,
3
2−x−2
x
+
2x
√
1√
R 2x2 −2x
1
1
2
x3 +8 dx = ln (x + 2) + 2 ln x − 2x + 4 − 3 3 arctan 3 (x − 1) 3
R
R
R
R
dx
x2 −4
=
1
4
1
4
ln (x + 2) + c,
√
1√
1
2x+1
2
x2 +2x+6 dx = ln x + 2x + 6 − 5 5 arctan 5 (x + 1) 5 +
xdx
x2 −7x+10
ln (x − 2) −
= − 23 ln (x − 2) +
2x−7
(x−2)(3−x) dx
5
3
ln (x − 5) + c,
= −3 ln (x − 2) + ln (−3 + x) + c,
Całki z funkcji niewymiernych
Obliczyć
R
R
R
R
R
p
(x2 + 7x − 1) + 72 ln 2 − 72 ln 2x + 7 + 2 (x2 + 7x − 1) + c,
p
p
2x − 1
√
dx = 2 (x2 + 4x − 1) − 5 ln x + 2 + (x2 + 4x − 1) + c,
x2 + 4x − 1
p
x+3
√
dx = −5 arcsin 1 − 12 x − x (4 − x) + c,
4x − x2
√
x−1
√
dx = − 4x − x2 + 5 − arcsin 23 − 13 x + c,
2
4x − x + 5
q
√
√
x+1
√
dx =: x2 − 4x + 6 + 3 ln 41 2 (2x − 4) + 12 x2 − 2x + 3 + c,
x2 − 4x + 6
x
√
dx
x2 +7x−1
=
p
Całka z funkcji trygonometrycznych
Obliczyć
R
R
R
R
dx
sin x = ln (sin x) − ln (cos x + 1)
−2+2 cos x−ln 2 sin x+ln(cos x+1) sin x
sin x+2
1+cos x dx = −
sin x
p
√
√ (2 sin x + 5 + cos2 x) + arcsin 17 7 sin x − 17 7
p
√
√ R
cos x sin x
√
dx = (− cos2 x + 2 cos x + 5) − arcsin 16 6 cos x − 16 6 ,
2
cos x + 2 cos x + p
5
√
√ R −sin
x cos x
1
2 x − cos x + 5) − 1 arcsinh 2
√
dx
=
−
(cos
19
cos
x
−
19
2
2
19
19
cos x−cos x+5
2
R sin x
dx = − sin x + ln (1 + sin x) − ln (cos x) ,
cos x
R
√
sin x cos x
dx
− sin2 x+2 sin x+6
=−
1
R
R
R
2−sin x
2+cos x =
xdx
1 2x sin 2x+ln(cos 2x) cos 2x
cos2 2x = 4
cos 2x
dx
=
2 + 3 cos2 x
dx
2+cos x
=
tgxdx = − ln (cos x) ,
R
2 sin x cos x
√
dx
2 cos2 x + 2 sin x + 5