1. Ciągi liczbowe Zadanie 1. Zbadać monotoniczność ciągów / 4n2
Transkrypt
1. Ciągi liczbowe Zadanie 1. Zbadać monotoniczność ciągów / 4n2
1. Ciągi liczbowe Zadanie 1. Zbadać monotoniczność ciągów √ 2 +n+1 (n!)2 n2 an = 2n+1 , an = 4n2 + n − 2n, an = (2n)! , an = nn(n+1) , 1 1 3 1 1− n n an = 1 − n , an = 2 , an = sin , an = n2+6n+2 . n Zadanie 2. Pokazać z definicji, że 2n+3 lim 3n+2 n→∞ = 2 n2 , lim 3 n→∞ n+1 = ∞, lim √ n n→∞ 2n+1 2 n→∞ 3n +2 n! = ∞, lim = 0. Zadanie 3. Obliczyć 2n2 +3n+1 3n+1 2n2 +3n+1 , , lim , lim 2 2 n→∞ 3n +2n+1 n→∞ 2n +2n+1 n→∞ 3n+1 lim 2 lim 3nn3+3n , +1 n→∞ 4 lim 2nn3+5n , +7 n→∞ 3 2 −4 lim 5n2n+3n 3 +n−1 , n→∞ (2n2 +3n)5 (3n3 +1)2 lim , (6n4 +1)4 n→∞ √ √ lim ( 4n2 + 5n − 2n), lim ( 3 27n3 + 12n2 − 3n), n→∞ n→∞ √ √ n3 ·(3n+2)! lim ( n + 1 − n − 1), lim (n+1) lim 6 ·(3n−1)! , n→∞ (2n−3)!·(3n2 +1)3 . (2n+3)! n→∞ n→∞ Zadanie 4. Obliczyć (6n5 +8)5 ·(2n4 +7)5 (6n+5)! 36n−2 +32n−11 , lim , , lim 5 4 5 5 2 4 2n−3 +n8 )·(32n−1 −5) n−→∞ (6n +4) ·(2n +3) n−→∞ (2n +4) ·(6n−3)! n−→∞ (2 lim lim n−→∞ √ n 12 · 53n+3 + 63 · 102n+1, lim n−→∞ √ n 4n−6n4 + 2n−7n9, 9 n 2 + 4n 2 6n−4 6n + 23n n8 + 3n −5n lim , , lim 5n 2 −3 5n 2 n−→∞ n−→∞ 3n − 5 45n−3 +19n+19 2n+1 +518 )·(5n−2 +2) . n−→∞ (3 lim ∞ cos x n P Zadanie 5. Dla jakich wartości parametru a równanie = 2 n=1 2 a − 2 ma rozwiazanie? , Zadanie 6. Rozwiazać nierówność , ∞ P √ (tg x)n ≤ n=0 3+ 3 w zbiorze 2 h0, 2πi. Zadanie 7. Obliczyć 2n+(−1)n n 6n+n·cos nπ 3n2 n n , lim , lim (3+(−1) ) , lim nπ . 2 3n n+1 n−→∞ n−→∞ n−→∞ n−→∞ 2n−n cos 6 lim Zadanie 8. Obliczyć (n!)2 n2n n!n2 , lim , lim n . 2 n−→∞ (2n)! n−→∞ (n!) n−→∞ n lim Zadanie √ 9. Obliczyć granicę ciągu określonego rekurencyjnie a1 = 2, √ an+1 = 2 + an. Zadanie 10. Wykazać, że ciąg an = (1 + n1 )n+1 jest malejący i ograniczony. Pokazać, że jego granicą jest liczba e. Zadanie 11. Obliczyć granicę ciągu określonego rekurencyjnie a1 = x, an+1 = 21 (an + axn ), gdzie x > 0. Zadanie 12. Niech ϕ : N? −→ N? będzie bijekcją i niech istnieje lim an wówczas istnieje lim aϕ(n) i lim aϕ(n) = lim an. n→∞ n→∞ n→∞ n→∞