+k - Politechnika Częstochowska

MATEMATYKA DYSKRETNA
Wykład II
Dr inż. Jolanta Błaszczuk
Instytut Matematyki
Politechnika Częstochowska
Częstochowa 2011
Dr inż. Jolanta Błaszczuk
Instytut Matematyki, Politechnika Częstochowska
Logika
Logika matematyczna jest nauką o metodach wnioskowania.
Pierwsze ogólne schematy poprawnych rozumowań
logicznych sformułował już w starożytności filozof grecki
Arystoteles (384-322 p.n.e), ale okres intensywnego rozwoju
logiki nastąpił dopiero w drugiej połowie XIX w oraz w XX
wieku dzięki matematykom: George Boole (1815-1864) oraz
August De Morgan (1806-1878). Znaczny wkład w rozwój
logiki wnieśli również polscy matematycy m.in. Jan
Łukasiewicz (1878-1956) i Alfred Tarski (1901-1983).
Prawa rachunku zdań
Zdania sensowne tzn. o których można powiedzieć, że są
prawdziwe albo fałszywe będziemy oznaczać p, q, r. Mówimy,
że każde zdanie sensowne (tzn. w sensie logicznym) q ma
wartość logiczną równą 1, gdy jest prawdziwe oraz wartość
logiczną 0, gdy jest fałszywe. Ze zdań sensownych budujemy
wyrażenia rachunku zdań za pomocą funktorów. Rolę
funktorów wyznaczają tabelki określające wartości logiczne
wyrażeń zbudowanych przy użyciu funktorów w zależności od
wartości logicznych zdań składowych. Jeśli w danym
wyrażeniu występuje więcej niż jeden funktor, o kolejności
działania funktorów decydują nawiasy.
1) negacja ∼ (nie, nieprawda, że …)
„Nieprawda, że na Słońcu żyją ludzie” uznajemy za
zaprzeczenie zdania p: „Na Słońcu żyją ludzie” i oznaczamy
∼p. Oczywiście zdania: p i ∼p mają przeciwne wartości
logiczne.
Częstochowa 2011
18
Dr inż. Jolanta Błaszczuk
q
0
1
Instytut Matematyki, Politechnika Częstochowska
∼q
1
0
2) alternatywa ∨ (lub)
Przez r oznaczmy zdanie: „Dziś wieczorem pójdę do kina lub
do znajomych”. Spójnik „lub” łączy dwa proste zdania.
p: „Dziś wieczorem pójdę do kina”; q: „Dziś wieczorem pójdę
do znajomych”. Zdanie r nazywamy alternatywą zdań p oraz
q. Uznamy, że jest prawdziwe wtedy, gdy albo tylko idziemy
do kina, albo tylko do znajomych, ale też wtedy, gdy idziemy
do kina oraz do znajomych. To zdanie będzie więc fałszywe
tylko wtedy, gdy nie będziemy w kinie oraz gdy nie będziemy
u znajomych.
p
0
0
1
1
q
0
1
0
1
p∨q
0
1
1
1
Alternatywa dwóch zdań jest fałszywa tylko wtedy, gdy oba
zdania ją tworzące są fałszywe.
3) koniunkcja ∧ (i)
Niech r oznacza zdanie: „Ojciec Marka ma samochód i ma
komputer”. Zdanie to składa się z dwóch zdań prostych:
p: „Ojciec Marka ma samochód”; q: „Ojciec Marka ma
komputer”, połączonych spójnikiem „i”. Zdanie nazywamy
koniunkcją zdań p oraz q.
Częstochowa 2011
19
Dr inż. Jolanta Błaszczuk
p
0
0
1
1
q
0
1
0
1
Instytut Matematyki, Politechnika Częstochowska
p∧q
0
0
0
1
Koniunkcja dwóch zdań jest prawdziwa tylko wtedy, gdy oba
zdania ją tworzące są prawdziwe.
4) implikacja ⇒ (jeśli …, to …)
Zdanie r: „Jeżeli będziesz dobrze pracował, to otrzymasz
nagrodę” jest implikacją utworzoną ze zdań prostych:
p: „Będziesz dobrze pracował”; q: „Otrzymasz nagrodę”.
Zdanie p nazywamy poprzednikiem implikacji, natomiast
zdanie q – następnikiem. Załóżmy, że zdanie wypowiedział
kierownik pewnego zakładu do swojego pracownika. W jakich
przypadkach kierownik wypełni swoją obietnicę (tzn. kiedy to
zdanie jest prawdziwe)? Na pewno wówczas, gdy pracownik
będzie dobrze pracował i gdy otrzyma nagrodę. Kierownik nie
spełni obietnicy, jeśli pracownik będzie dobrze pracował i nie
otrzyma nagrody.
p
0
0
1
1
q
0
1
0
1
p⇒q
1
1
0
1
Implikacja jest fałszywa, gdy jej poprzednik jest prawdziwy, a
następnik fałszywy (gdy z prawdziwej przesłanki wynika
fałszywy wniosek).
Częstochowa 2011
20
Dr inż. Jolanta Błaszczuk
Instytut Matematyki, Politechnika Częstochowska
5) równoważność ⇔ (wtedy i tylko wtedy, gdy … )
Zdanie „Liczba 258 jest podzielna przez 3 wtedy i tylko wtedy,
gdy suma 2, 5 i 8 jest podzielna przez 3” składa się z
następujących zdań: p: „Liczba 258 jest podzielna przez 3”; q:
„Suma 2, 5 i 8 jest podzielna przez 3”. Zdanie takie będziemy
nazywać równoważnością p i q.
p
0
0
1
1
q
0
1
0
1
p⇔q
1
0
0
1
Równoważność jest prawdziwa tylko wtedy, gdy oba zdania ją
tworzące mają tę samą wartość logiczną (oba prawdziwe albo
oba fałszywe).
Wyrażenie rachunku zdań nazywamy tautologią, gdy jest ono
prawdziwe bez względu na to jakie wartości logiczne
przyjmują zdania składowe. Zamiast tautologia mówimy
również prawo rachunku zdań.
Przykład 1
Sprawdzić, czy jest tautologią wyrażenie (p⇒q)⇔[(∼p)∨q].
Sporządzamy tabelkę (metoda zero-jedynkowa).
p
0
0
1
1
q
0
1
0
1
Częstochowa 2011
p⇒q
1
1
0
1
∼p
1
1
0
0
(∼p)∨q
1
1
0
1
(p⇒q)⇔[(∼p)∨q]
1
1
1
1
21
Dr inż. Jolanta Błaszczuk
Instytut Matematyki, Politechnika Częstochowska
Wyrażenie jest tautologią.
Przykład 2
Sprawdzić, czy jest tautologią wyrażenie [∼(p∨q)]⇔[(∼p)
∨(∼q)].
p
0
0
1
1
q
0
1
0
1
p∨q
0
1
1
1
∼(p∨q)
1
0
0
0
(∼p) ∨(∼q)
1
1
1
0
[∼(p∨q)]⇔[(∼p) ∨(∼q)]
1
0
0
1
Wyrażenie nie jest tautologią.
Indukcja matematyczna
Indukcja matematyczna jest podstawowym narzędziem
służącym do dowodzenia ciągów zdań i jest jednym z
podstawowych narzędzi wykorzystywanych w dowodzeniu
twierdzeń i definiowaniu pojęć matematyki dyskretnej. Jest
konsekwencją zasady dobrego uporządkowania zbioru liczb
naturalnych (tzn. że każdy jego podzbiór ma element
najmniejszy – zasada minimum). Najprostsza wersja zasady
indukcji matematycznej jest następująca:
Zasada indukcji matematycznej
Niech p(m), p(m+1), … będzie ciągiem zdań.
Jeśli
(P) zdanie p(n) jest prawdziwe oraz
(I) zdanie p(k+1) jest prawdziwe, jeśli tylko zdanie p(k) jest
prawdziwe i m≤k,
to wszystkie te zdania są prawdziwe.
Częstochowa 2011
22
Dr inż. Jolanta Błaszczuk
Instytut Matematyki, Politechnika Częstochowska
(P) nazywamy warunkiem początkowym i zazwyczaj jest
prosty do sprawdzenia, natomiast (I) – krok indukcyjny –
może czasem przysporzyć kłopotów.
Metodę indukcji matematycznej stosujemy w sytuacjach, gdy
- znamy na początku odpowiedź,
- wiemy jak wyprowadzić odpowiedź w danym kroku na
podstawie odpowiedzi w kroku poprzednim,
- gdy zgadujemy ogólne rozwiązanie.
Przykład 3
Wykazać, że dla każdej liczby naturalnej n nie mniejszej od 1
zachodzi równość: 1+5+9+…+(4n-3)=n(2n-1).
(P) Sprawdzamy, że równość ta jest prawdziwa dla n=1.
1=1⋅(2⋅1-1).
(I) Wykazujemy, że ∀ k≥1 (1+5+9+…+(4k-3)=k(2k-1) ⇒
1+5+9+…+(4k-3)+(4k+1)=(k+1)(2k+1)).
Dowód:
1+5+9+…+(4k-3)+(4k+1)=k(2k-1)+4k+1=2k2+3k+1=
(k+1)(2k+1).
Na mocy indukcji matematycznej stwierdzamy, że dowodzona
równość jest prawdziwa dla każdej liczby naturalnej n nie
mniejszej od 1.
Przykład 4
Udowodnijmy , że liczba 21100-2120 jest wielokrotnością 10.
Częstochowa 2011
23
Dr inż. Jolanta Błaszczuk
Instytut Matematyki, Politechnika Częstochowska
Zauważmy na początku, że 21 jest liczbą nieparzystą, więc
21100 i 2120 są również liczbami nieparzystymi, ale już ich
różnica jest podzielna przez 2. Tak więc wystarczy teraz
jeszcze pokazać, że różnica ta jest też podzielna przez 5.
Ponieważ 21100=(2120)5, więc być może dla każdej liczby
naturalnej n zachodzi własność:
n5-n|5 ?
(P) Sprawdźmy:
dla n=0 mamy 05-0=0|5
dla n=1 mamy 15-1=0|5
dla n=2 mamy 25-2=30|5 Do tej pory własność jest prawdziwa.
(I) Przyjmijmy więc, że jest prawdziwa dla dowolnej naturalnej
liczby k tzn.:
n:=k => k5-k|5
(założenie indukcyjne)
Pokażemy, że własność jest prawdziwa dla liczby kolejnej:
n:=k+1 => (k+1)5-(k+1)|5
(teza indukcyjna)
Dowód:
(k+1)5-(k+1)=k5+5k4+10k3+10k2+5k+1-k-1=
=[(k5-k)+5(k4+2k3+2k2+k)] | 5
c.n.d.
Przykład 5
Udowodnijmy, że dla każdej liczby naturalnej nie mniejszej od
1 zachodzi nierówność: 2n>n.
(P) Sprawdzamy nierówność dla n=1.
21>1.
(I) Wykazujemy, że ∀ k≥1 (2k>k ⇒ 2k+1>k+1).
Dowód:
2k+1 = 2k⋅2 > k⋅2 = k+k ≥ k+1 ⇒ 2k+1 > k+1, gdy k≥1. Zatem na
mocy indukcji matematycznej stwierdzamy, że 2n>n, dla
każdej liczby naturalnej n nie mniejszej od 1.
Częstochowa 2011
24
Dr inż. Jolanta Błaszczuk
Instytut Matematyki, Politechnika Częstochowska
Przykład 6
Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej n nie mniejszej od 1
zachodzi równość:
n
( x 2 − x + 1) ( x 4 − x 2 + 1) ⋅ ... ⋅ ( x 2 − x 2
n −1
+ 1) =
x2
n +1
n
+ x2 + 1
x2 + x + 1
(P) Sprawdzenie dla n=1.
x4 + x2 + 1
2
( x − x + 1) = 2
⇔ ( x 2 − x + 1)( x 2 + x + 1) = x 4 + x 2 + 1 ⇔
x + x +1
⇔ ( x 2 + 1)2 − x 2 = x 4 + x 2 + 1
(I) Wykażemy, że
2k + 1
2k
 2
k
k −1
x
x
+
+1
∀k ≥ 1  ( x − x + 1) ( x 4 − x 2 + 1) ⋅ ... ⋅ ( x 2 − x 2 + 1) =
2

x
+ x +1

k
⇒ ( x 2 − x + 1) ( x 4 − x 2 + 1) ⋅ ... ⋅ ( x 2 − x 2
k +2
k +1
x 2 + x 2 + 1
.
=
2

x + x +1 
Dowód:
( x − x + 1) ( x − x + 1) ⋅ ... ⋅ ( x
2
=
=
=
x2
4
k +1
2
2k
−x
k −1
2 k −1
+ 1)( x 2
+ 1)( x
k +1
k
2k + 1
k +1
k
− x 2 + 1) =
−x
2k
+ 1) =
k
+ x 2 + 1 2k +1
( x 2 + 1)2 − ( x 2 )2
2k
=
⋅ (x
− x + 1) =
2
2
x + x +1
x + x +1
(x2
x2
k +1
k +2
k +1
)2 + 2 x 2 + 1 − x 2
x2 + x + 1
k
⋅2
=
x2
k +1
⋅2
k +1
+ 2x 2 + 1 − x 2
x2 + x + 1
k +1
=
k +1
+ x2 + 1
c.n.d.
2
x + x +1
Częstochowa 2011
25
Dr inż. Jolanta Błaszczuk
Instytut Matematyki, Politechnika Częstochowska
Przykład 7
Udowodnij, że:
∀n ≥ 0 11 | 26n +1 + 9n +1 .
(P) Sprawdzenie dla n=0.
11 | 26⋅0 +1 + 90 +1 = 2 + 9 = 11.
(I) Wykażemy, że
∀n ≥ 0 (11 | 26k +1 + 9k +1 ⇒ 11 | 26(k +1) +1 + 9k + 2 ) .
Dowód:
26(k +1) +1 + 9k + 2 = 26k +1 ⋅ 26 + 9k +1 ⋅ 9 = 26k +1 ⋅ (55 + 9) + 9k +1 ⋅ 9 =
= 26k +1 ⋅ 55 + 9( 26k +1 + 9k +1 ) .
Na podstawie zasady indukcji matematycznej stwierdzamy, że
dla każdej liczby naturalnej wyrażenie 26n +1 + 9n +1 jest
podzielne przez 11.
Literatura do wykładu II
1. http://wazniak.mimuw.edu.pl
2. W.Leksiński, I.Nabiałek, W.Żakowski, Matematyka:
definicje, twierdzenia, przykłady, zadania, Wydawnictwa
Naukowo-Techniczne, 1992.
3. K.Kłaczkow, M.Kurczab, E.Świda, Matematyka klasa I,
Oficyna Edukacyjna Krzysztof Pazdro, 2002.
4. H.Pawłowski, Matematyka 1, Wydawnictwo Pedagogiczne
Operon, 2003.
5. K.A.Ross, Ch.R.B.Wright, Matematyka Dyskretna,
Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 2008.
6. J.Grygiel, Wprowadzenie do matematyki dyskretnej,
Akademicka Oficyna Wydawnicza EXIT 2007.
Częstochowa 2011
26
Dr inż. Jolanta Błaszczuk
Instytut Matematyki, Politechnika Częstochowska
ZESTAW ZADAŃ DO WYKŁADU II
Zadanie 1
Sprawdź, czy są tautologiami następujące wyrażenia:
a) [∼(p∨q)]⇔[(∼p)∧(∼q)]
b) (p⇒q)⇔[(∼q) ⇒(∼p)]
c) ((p∧q)∧r)⇔(p∧(q∧r))
Zadanie 2
Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej n wyrażenie 4n-1 jest podzielne przez 3.
Zadanie 3
n ⋅ (n + 1)
Udowodnij twierdzenie: ∀ n∈N+ 1 + 2 + 3 + 4 + ... + n =
2
Zadanie 4
1
1
1
1
n
Udowodnij twierdzenie: ∀ n∈N+
+
+
+ ... +
=
1⋅ 2 2 ⋅ 3 3 ⋅ 4
n (n + 1) n + 1
Zadanie 5
Udowodnij, że dla każdej liczby naturalnej n≥4 zachodzi nierówność 2n< n!.
Zadanie 6
Udowodnij, że dla n∈N+ liczba 10n-1 jest podzielna przez 9.
Zadanie 7
Udowodnij, że dla n∈N+ liczba n3-n jest podzielna przez 6.
Zadanie 8
Udowodnij, że dla n∈N+ liczba 22 − 6 jest podzielna przez 10 dla n≥2.
Zadanie 9
n
10n + 4n − 2
Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej n liczba postaci
jest
6
całkowita.
Zadanie 10
Udowodnij , że liczba 37500-37100 jest wielokrotnością 10.
Zadanie 11
Udowodnij, że dla każdej liczby naturalnej dodatniej zachodzi równość
n
∑ i2 = 1 + 4 + 9 + ... + n2 =
i =1
Częstochowa 2011
n(n + 1)(2n + 1)
.
6
27