ZDANIE W SENSIE LOGICZNYM – wyrażenie oznajmujące, o

ZDANIE W SENSIE LOGICZNYM – wyrażenie oznajmujące, o którym można powiedzieć,
że jest fałszywe albo prawdziwe, czyli wyrażenie, któremu można przypisać jedną z
dwóch wartości logicznych: prawdę lub fałsz.
Oznaczenia:
p, q, r, … - zdania
1 – prawda
0 – fałsz.
Przykład zdania logicznego:
„Na Ziemi żyją ludzie.”
„Słońce krąży wokół Ziemi.”
„Każdy syn jest młodszy od ojca.”
spójnik
i
lub
nieprawda, że…
jeżeli…, to…
wtedy i tylko wtedy, gdy…
symbol logiczny
∧
∨
¬
⇒
⇔
nazwa zdania złożonego
koniunkcja
alternatywa
negacja
implikacja
równoważność
KONIUNKCJA – zdanie złożone składające się z dwóch zdań prostych połączonych
spójnikiem „i”. Koniunkcja dwóch zdań jest prawdziwa tylko wtedy, gdy oba zdania ją
tworzące są prawdziwe.
ALTERNATYWA – zdanie złożone składające się z dwóch zdań prostych połączonych
spójnikiem „lub”. Alternatywa dwóch zdań jest fałszywa tylko wtedy, gdy oba zdania ją
tworzące są fałszywe.
Zdanie i jego ZAPRZECZENIE mają przeciwne wartości logiczne.
IMPLIKACJA – zdanie złożone składające się z dwóch zdań prostych połączonych
spójnikiem „jeżeli…, to…”. Implikacja jest fałszywa tylko wtedy, gdy z prawdziwej
przesłanki wynika fałszywy wniosek.
RÓWNOWAŻNOŚĆ – zdanie złożone z dwóch zdań prostych połączonych spójnikiem
„wtedy i tylko wtedy, gdy…”. Równoważność jest prawdziwa tylko wtedy, gdy oba
zdania ją tworzące mają tę samą wartość logiczną, a więc oba są prawdziwe albo oba są
fałszywe.
Wartości logiczne zdań złożonych:
p
q
p∧q
0
0
0
0
1
0
1
0
0
1
1
1
p∨q
0
1
1
1
p⇒q
1
1
0
1
p⇔q
1
0
0
1
PRAWO LOGICZNE (prawo rachunku zdań, tautologia) – zdanie złożone, które jest
zawsze prawdziwe, niezależnie od wartości logicznych zdań je tworzących.
PRAWA DE MORGANA
I prawo De Morgana - zaprzeczenie alternatywy dwóch zdań jest równoważne
koniunkcji zaprzeczeń tych zdań.
II prawo De Morgana - zaprzeczenie koniunkcji dwóch zdań jest równoważne
alternatywie zaprzeczeń tych zdań.
Jak rozwiązać zadanie dotyczące tautologii?
Zadania z tautologii najłatwiej rozwiązać metodą zero-jedynkową. Tworzymy tabelę,
w której wypisujemy wszystkie możliwości. Jeśli mamy tylko dwa zdania proste to
wypisujemy 22 możliwości, zaś przy trzech zdaniach prostych wypisujemy 23
możliwości. Oto sposób, dzięki któremu nie zapomnimy o żadnej możliwości:
 na samej górze dajemy same jedynki,
 pod trzecią kolumną (r) zmieniamy wartości co jeden,
 pod drugą kolumną (q) zmieniamy wartości co dwa,
 pod pierwszą kolumną (p) zmieniamy wartości co cztery.
W kolejne tytuły kolumn wpisujemy kolejne elementy zdania logicznego. Obliczenie
wartości logicznej każdej składowej zdania logicznego jest niezbędne, gdyż zostanie
wykorzystane do dalszych obliczeń.
Dane zdanie logiczne jest tautologią jeśli jest zawsze prawdziwe, czyli w sytuacji, gdy
w ostatniej kolumnie tabeli znajdą się same jedynki.
Przykład. Czy zdanie (𝑝 ∧ (𝑞 ∨ 𝑟)) ⟺ (𝑝 ∧ 𝑞) ∨ (𝑝 ∧ 𝑟) jest tautologią?
Odp. To zdanie jest tautologią.