Integracja - Ekonometria

Transkrypt

Stacjonarność
Integracja
Integracja
Integracja
Stacjonarność
Integracja
Biały szum
AR(1)
Słaba stacjonarność
Szereg czasowy nazywamy słabo (wariancyjnie) stacjonarnym
jeżeli:
Integracja
Stacjonarność
Integracja
Biały szum
AR(1)
jeżeli:
1
wartość oczekiwana szeregu jest skończona i stała w czasie
E (yt ) = µ < ∞
Integracja
Stacjonarność
Integracja
Biały szum
AR(1)
jeżeli:
1
E (yt ) = µ < ∞
2
wariancja szeregu jest skończona i stała w czasie
Var(yt ) = σ 2 < ∞
Integracja
Stacjonarność
Integracja
Biały szum
AR(1)
jeżeli:
1
E (yt ) = µ < ∞
2
wariancja szeregu jest skończona i stała w czasie
Var(yt ) = σ 2 < ∞
3
kowariancja między realizacjami nie zależy od czasu i jest
jedynie funkcją odległości między obserwacjami
cov(yt , yt+h ) = cov(yt0 , yt0+h ) = γh
Integracja
∀t, t0, h
Biały szum
AR(1)
−2
−1
Szereg czasowy
0
1
2
Stacjonarność
Integracja
0
20
40
60
t
Integracja
80
100
Biały szum
AR(1)
−2
Szereg czasowy
0
2
4
Stacjonarność
Integracja
0
20
40
60
t
Integracja
80
100
Biały szum
AR(1)
−10
−5
Szereg czasowy
0
5
10
Stacjonarność
Integracja
0
20
40
60
t
Integracja
80
100
Stacjonarność
Integracja
Biały szum
AR(1)
Proces białego szumu ma następujące własności:
Integracja
Stacjonarność
Integracja
Biały szum
AR(1)
E (yt ) = µ ∀t
Integracja
Stacjonarność
Integracja
Biały szum
AR(1)
E (yt ) = µ ∀t
var(yt ) = σ 2
∀t
Integracja
Stacjonarność
Integracja
Biały szum
AR(1)
E (yt ) = µ ∀t
var(yt ) = σ 2 ∀t
2
σ t=s
cov =
0 t=
6 s
Integracja
Biały szum
AR(1)
−3
−2
Szereg czasowy
−1
0
1
2
Stacjonarność
Integracja
0
20
40
60
t
Integracja
80
100
Stacjonarność
Integracja
Biały szum
AR(1)
Proces AR(1) dany jest wzorem
yt = ρyt−1 + εt
εt ∼IID (0, σ 2 )
Integracja
Stacjonarność
Integracja
Biały szum
AR(1)
εt ∼IID (0, σ 2 )
yt = ρyt−1 + εt
Jest on stacjonarny dla | ρ |< 1
Integracja
Stacjonarność
Integracja
Biały szum
AR(1)
εt ∼IID (0, σ 2 )
yt = ρyt−1 + εt
Dowód stacjonarności.
Integracja
Stacjonarność
Integracja
Biały szum
AR(1)
εt ∼IID (0, σ 2 )
yt = ρyt−1 + εt
Zapiszmy równanie dla t − 1
yt−1 = ρyt−2 + εt
Integracja
Stacjonarność
Integracja
Biały szum
AR(1)
εt ∼IID (0, σ 2 )
yt = ρyt−1 + εt
Zapiszmy równanie dla t − 1
yt−1 = ρyt−2 + εt
Podstawiając do wzoru na AR(1) uzyskujemy
yt = ρyt−1 + εt = ρρyt−2 + ρεt−1 + εt
Integracja
Stacjonarność
Integracja
Biały szum
AR(1)
Podstawiając rekurencyjnie uzyskamy
yt =
∞
X
ρi εt−i
i=0
Integracja
Stacjonarność
Integracja
Biały szum
AR(1)
yt =
∞
X
ρi εt−i
i=0
Wobec tego
E (yt ) = E
∞
X
i=0
∞
X
ρi εt−i =
ρi εt−i E (εt−i ) = 0
| {z }
i=0
Integracja
0
Biały szum
AR(1)
Stacjonarność
Integracja
yt =
∞
X
ρi εt−i
i=0
Wobec tego
E (yt ) = E
∞
X
i=0
var(yt ) = var
∞
X
i=0
∞
X
ρi εt−i =
ρi εt−i E (εt−i ) = 0
| {z }
i
ρ εt−i =
i=0
0
∞
X
σ2
ρ2i var(εt−i ) =
| {z } 1 − ρ2
i=0
Integracja
σ2
Biały szum
AR(1)
Stacjonarność
Integracja
cov(yt , yt+h ) = cov
∞
X
ρi εt−i ,
∞
X
i=0
i=0
Integracja
ρi εt−i−h
Biały szum
AR(1)
Stacjonarność
Integracja
∞
X
ρi εt−i ,
∞
X
i=0
i
i=0
i=0
n−1
X
ρi εt−i−h
ρ εt−i +
∞
X
h
ρ εt−i−h ,
i=0
Integracja
∞
X
i=0
ρi εt−i−h
Biały szum
AR(1)
Stacjonarność
Integracja
∞
X
ρi εt−i ,
∞
X
i
ρ εt−i +
i=0
cov(yt , yt+h ) = ρh
∞
X
h
ρ εt−i−h ,
i=0
∞
X
i=0
i=0
n−1
X
ρi εt−i−h
∞
X
i=0
ρ2i var(εt−i−h ) = ρh
i=0
Integracja
ρi εt−i−h
σ2
1 − ρ2
Biały szum
AR(1)
Stacjonarność
Integracja
∞
X
ρi εt−i ,
∞
X
i
ρ εt−i +
i=0
cov(yt , yt+h ) = ρh
∞
X
h
ρ εt−i−h ,
i=0
∞
X
i=0
i=0
n−1
X
ρi εt−i−h
∞
X
i=0
ρ2i var(εt−i−h ) = ρh
i=0
ρi εt−i−h
σ2
1 − ρ2
W obliczeniach założono, że | ρ |< 1. Jest ono konieczne do
udowodnienia stacjonarności
Integracja
Biały szum
AR(1)
−2
−1
Szereg AR(1)
0
1
2
3
Stacjonarność
Integracja
0
20
40
60
t
Integracja
80
100
Stacjonarność
Integracja
Biały szum
AR(1)
Szereg trendostacjonarny
Szereg czasowy nazywamy trendostacjonarnym, gdy szereg
odchyleń jego wartości od trendu jest szeregiem stacjonarnym
yt − E (yt )
Integracja
Stacjonarność
Integracja
Biały szum
AR(1)
Niech
yt = β0 + βt + εt
Integracja
Stacjonarność
Integracja
Biały szum
AR(1)
Niech
wobec tego E (yt ) = β0 + βt
Integracja
Stacjonarność
Integracja
Biały szum
AR(1)
Niech
wobec tego E (yt ) = β0 + βt
a yt − E (yt ) = εt
Integracja
Stacjonarność
Integracja
Biały szum
AR(1)
Twierdzenie Wolda
Jeżeli proces stochastyczny yt jest słabo stacjonarny to można go
przedstawić jako sumę procesu deterministycznego i procesu
MA(∞)
∞
X
yt = E (yt | yt−1 , . . . , yt−p ) +
θi εt−i
i=0
Integracja
Stacjonarność
Integracja
Błądzenie przypadkowe
Test Dickeya-Fullera
Rozszerzony Test Dickeya-Fullera
Test KPSS
Regresja pozorna
Przykładem procesu niestacjonarnego jest błądzenie
przypadkowe
yt = yt−1 + εt
εt ∼IID (0, σ 2 )
Integracja
Stacjonarność
Integracja
Test KPSS
Regresja pozorna
przypadkowe
yt = yt−1 + εt
εt ∼IID (0, σ 2 )
Podstawiając yt−1 = yt−2 + εt−1 otrzymujemy
yt = yt−2 + εt−1 + εt
Integracja
Stacjonarność
Integracja
Test KPSS
Regresja pozorna
przypadkowe
yt = yt−1 + εt
εt ∼IID (0, σ 2 )
Podstawiając yt−1 = yt−2 + εt−1 otrzymujemy
yt = yt−2 + εt−1 + εt
Powtarzając czynność rekurencyjnie uzyskujemy
yt = y0 +
t
X
i=0
Integracja
εi
Stacjonarność
Integracja
Test KPSS
Regresja pozorna
zatem yt jest sumą niezależnych zmiennych o jednakowym
rozkładzie
Integracja
Stacjonarność
Integracja
Test KPSS
Regresja pozorna
rozkładzie
E (yt ) = y0 < ∞
Integracja
Test KPSS
Regresja pozorna
Stacjonarność
Integracja
rozkładzie
E (yt ) = y0 < ∞
ale
var(yt ) = var(y0 +
t
X
εi ) =
i=0
t
X
i=0
Integracja
var(εi ) = tσ 2
Test KPSS
Regresja pozorna
Stacjonarność
Integracja
rozkładzie
E (yt ) = y0 < ∞
ale
var(yt ) = var(y0 +
t
X
εi ) =
i=0
oraz
cov(yt , yt+h ) =
t
X
var(εi ) = tσ 2
i=0
t−h
X
var(εi ) = (t − h)σ 2
i=1
Integracja
Test KPSS
Regresja pozorna
Stacjonarność
Integracja
rozkładzie
E (yt ) = y0 < ∞
ale
var(yt ) = var(y0 +
t
X
εi ) =
i=0
oraz
cov(yt , yt+h ) =
t
X
var(εi ) = tσ 2
i=0
t−h
X
var(εi ) = (t − h)σ 2
i=1
zatem wariancja i kowariancja zależą od czasu
Integracja
Test KPSS
Regresja pozorna
−10
−8
Bladzenie przypadkowe
−6
−4
−2
0
Stacjonarność
Integracja
0
20
40
60
t
Integracja
80
100
Stacjonarność
Integracja
Test KPSS
Regresja pozorna
Jeżeli od procesu błądzenia przypadkowego odejmiemy yt−1 z
obu stron uzyskamy
∆yt = εt
Integracja
Stacjonarność
Integracja
Test KPSS
Regresja pozorna
obu stron uzyskamy
∆yt = εt
Taki proces będziemy nazywać procesem zintegrowanym
Integracja
Stacjonarność
Integracja
Test KPSS
Regresja pozorna
obu stron uzyskamy
∆yt = εt
Procesy stacjonarne nazywa się procesami zintegrowanymi
rzędu 0 i oznacza I(0)
Integracja
Stacjonarność
Integracja
Test KPSS
Regresja pozorna
obu stron uzyskamy
∆yt = εt
Procesy stacjonarne nazywa się procesami zintegrowanymi
rzędu 0 i oznacza I(0)
Proces który do d-krotnym różnicowaniu jest stacjonarny
nazywamy zróżnicowanym stopnia d i oznaczamy I(d)
Integracja
Stacjonarność
Integracja
Test KPSS
Regresja pozorna
Znaczenie szeregów I(1) w ekonomii
Integracja
Stacjonarność
Integracja
Test KPSS
Regresja pozorna
Szeregi I(2) są stosowane do modelowania hiperinflacji
Integracja
Stacjonarność
Integracja
Test KPSS
Regresja pozorna
Szeregi o wyższym stopniu integracji nie mają zastosowań w
ekonomii
Integracja
Stacjonarność
Integracja
Test KPSS
Regresja pozorna
Szeregi o wyższym stopniu integracji nie mają zastosowań w
ekonomii
Dla szeregu zintegrowanego funkcje ACF i PACF mają
charakterystyczny przebieg
Integracja
1.00
0
10
20
Lag
Bartlett’s formula for MA(q) 95% confidence bands
30
40
−0.50
Autocorrelations of e6
−0.50
0.00
0.50
−1.00
Test KPSS
Regresja pozorna
Partial autocorrelations of e6
0.00
0.50
1.00
Stacjonarność
Integracja
0
10
95% Confidence bands [se = 1/sqrt(n)]
Integracja
20
Lag
30
40
Stacjonarność
Integracja
Test KPSS
Regresja pozorna
Chcemy zbadać czy zmienna jest stacjonarna
Integracja
Stacjonarność
Integracja
Test KPSS
Regresja pozorna
Zapisujemy model w postaci AR(1)
yt = ρyt−1 + εt
εt ∼IID (0, σ 2 )
jeżeli ρ = 1 to yt jest błądzeniem przypadkowym
Integracja
(1)
Stacjonarność
Integracja
Test KPSS
Regresja pozorna
yt = ρyt−1 + εt
εt ∼IID (0, σ 2 )
jeżeli | ρ |< 1 to yt jest stacjonarny
Integracja
(1)
Stacjonarność
Integracja
Test KPSS
Regresja pozorna
yt = ρyt−1 + εt
εt ∼IID (0, σ 2 )
H0 : yt jest niestacjonarny
H1 : yt jest stacjonarny
Integracja
(1)
Stacjonarność
Integracja
Test KPSS
Regresja pozorna
yt = ρyt−1 + εt
εt ∼IID (0, σ 2 )
dla | ρ |> 1 to yt jest eksplozywny
Integracja
(1)
Stacjonarność
Integracja
Test KPSS
Regresja pozorna
Jeżeli od (1) odejmiemy yt−1 z obu stron to
∆yt = (ρ − 1)yt−1 + εt
∆yt = γyt−1 + εt
Integracja
Stacjonarność
Integracja
Test KPSS
Regresja pozorna
Jeżeli od (1) odejmiemy yt−1 z obu stron to
∆yt = (ρ − 1)yt−1 + εt
∆yt = γyt−1 + εt
Zatem aby przeprowadzić test wystarczy przeprowadzić
regresję zmiennej zróżnicowanej na jej wartość opóźnioną
Integracja
Stacjonarność
Integracja
Test KPSS
Regresja pozorna
Ale przy prawdziwej H0 yt jest zmienną niestacjonarną
Integracja
Stacjonarność
Integracja
Test KPSS
Regresja pozorna
Zatem statystyka testowa nie ma rozkładu t-Studenta
Integracja
Stacjonarność
Integracja
Test KPSS
Regresja pozorna
Dickey i Fuller wyprowadzili wartości krytyczne testu
Integracja
Stacjonarność
Integracja
Test KPSS
Regresja pozorna
Dickey i Fuller wyprowadzili wartości krytyczne testu
Aby procedura była prawidłowa składnik losowy nie może
podlegać autokorelacji
Integracja
Stacjonarność
Integracja
Test KPSS
Regresja pozorna
Rozszerzenie polega na uwzględnieniu po prawej stronie
równania opóźnionych wartości zmiennej zależnej
∆yt = γyt−1 +
k
X
γi ∆yt−i + εt
i=1
Integracja
Stacjonarność
Integracja
Test KPSS
Regresja pozorna
∆yt = γyt−1 +
k
X
γi ∆yt−i + εt
i=1
stała k to najmniejsza liczba przy której reszty nie podlegają
autokorelacji
Integracja
Stacjonarność
Integracja
Test KPSS
Regresja pozorna
∆yt = γyt−1 +
k
X
γi ∆yt−i + εt
i=1
stała k to najmniejsza liczba przy której reszty nie podlegają
autokorelacji
test przeprowadza się w sposób analogiczny do testu DF
Integracja
Stacjonarność
Integracja
Test KPSS
Regresja pozorna
Dickey-Fuller test for unit root
Number of obs
=
131
---------- Interpolated Dickey-Fuller --------Test
1% Critical
5% Critical
10% Critical
Statistic
Value
Value
Value
-----------------------------------------------------------------------------Z(t)
-3.766
-3.500
-2.888
-2.578
-----------------------------------------------------------------------------MacKinnon approximate p-value for Z(t) = 0.0033
Integracja
Stacjonarność
Integracja
Test KPSS
Regresja pozorna
Test KPSS ma hipotezy zapisane w sposób ”tradycyjny”
Integracja
Stacjonarność
Integracja
Test KPSS
Regresja pozorna
Test KPSS ma hipotezy zapisane w sposób ”tradycyjny”
Integracja
Stacjonarność
Integracja
Test KPSS
Regresja pozorna
KPSS test for inflacja
Maxlag = 12 chosen by Schwert criterion
Autocovariances weighted by Bartlett kernel
Critical values for H0: inflacja is trend stationary
10%: 0.119 5% : 0.146 2.5%: 0.176 1% : 0.216
Lag order
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Test statistic
2.73
1.4
.951
.728
.595
.507
.444
.397
.361
.332
.309
.289
.273
Integracja
Stacjonarność
Integracja
Test KPSS
Regresja pozorna
Eksperyment Newbolda-Davisa
Generujemy obserwacje dla dwóch niezależnych zmiennych
yt = yt−1 + εt1
εt1 ∼ N (0, 1)
xt = xt−1 + εt2
εt2 ∼ N (0, 1)
cov(εt1 , εt2 ) = 0
Integracja
Stacjonarność
Integracja
Test KPSS
Regresja pozorna
yt = yt−1 + εt1
εt1 ∼ N (0, 1)
xt = xt−1 + εt2
εt2 ∼ N (0, 1)
cov(εt1 , εt2 ) = 0
Szacujemy parametry regresji εt1 na εt2 oraz yt na xt
Integracja
Stacjonarność
Integracja
Test KPSS
Regresja pozorna
yt = yt−1 + εt1
εt1 ∼ N (0, 1)
xt = xt−1 + εt2
εt2 ∼ N (0, 1)
cov(εt1 , εt2 ) = 0
zapamiętujemy statystykę t oraz DW dla każdej regresji
Integracja
Stacjonarność
Integracja
Test KPSS
Regresja pozorna
yt = yt−1 + εt1
εt1 ∼ N (0, 1)
xt = xt−1 + εt2
εt2 ∼ N (0, 1)
cov(εt1 , εt2 ) = 0
zapamiętujemy statystykę t oraz DW dla każdej regresji
powtarzamy duża liczbę razy np. 1000
Integracja
Stacjonarność
Integracja
średnia
5% percentyl
% istotnych
DW
Test KPSS
Regresja pozorna
teoretyczne
0,000
1,677
5
2,00
εt1 na εt2
0,0036
1,564
4,33
2,01
Integracja
y na x
0,0048
8,293
63,24
0,33
Stacjonarność
Integracja
Test KPSS
Regresja pozorna
Zignorowanie zjawiska regresji pozornej może prowadzić do
zbudowania błędnego modelu
Integracja
Stacjonarność
Integracja
Test KPSS
Regresja pozorna
Aby temu zapobiec można różnicować zmienne
Integracja
Stacjonarność
Integracja
Test KPSS
Regresja pozorna
Aby temu zapobiec można różnicować zmienne
Ale różnicowanie powoduje utratę informacji i uniemożliwia
wyznaczenie relacji długookresowej
Integracja

Integracja - Ekonometria

Transkrypt

Podobne dokumenty

szkolny_plan_nauczan..

Specyfikacja techniczna UPS - przeznaczenie do pracy z serwerami

Teoria chaosu a rynki kapitałowe SPIS TREŚCI

5. Procesy stochastyczne, stacjonarność, integracja - E-SGH

PROFIL SPOŁECZNO

TECHNIKUM NR 8 .Porty i terminale. KLASA IV B.2016/2017

Modelowanie statystyczne w praktyce z wykorzystaniem R

REGULAMIN PROMOCJI: „PROGRAM LOJALNOŚCIOWY” § 1

Harmonogram egzaminów w 2016 r. CZAS TRWANIA