Zadania przygotowawcze

Zadania X - powtórzeniowe
1. Niech
(
f (x, y) =
x3 y−xy 3
x2 +y 2
0
dla (x, y) ∈ R2 \ {(0, 0)}
w.p.p.
Znaleźć wszystkie cztery pochodne cząstkowe drugiego rzędu funkcji f , w szczególności
stwierdzić, że pochodne mieszane w punkcie (0, 0) nie są sobie równe. Jaki stąd wniosek?
2. Zbadaj ekstrema lokalne następujących funkcji :
a) f (x, y) = (x + 5y + xy)
√
b) f (x, y) = 1 − x2 + y 2
c) f (x, y) = (6 − x − y)x2 y 3
√
d) f (x, y) = x − 2y + ln x2 + y 2 + 3arctg xy
3. Obliczyć jakobiany przekształceń. Znaleźć przekształcenie odwrotne do tych przekształceń
oraz znaleźć obrazy zbiorów A otrzymanych za pomocą tych przekształceń:
a) (u, v) 7→ (x, y) = ( 12 (u + v), 12 (u − v), A = {(u, v) : 1 ¬ u ¬ 2, −u ¬ v ¬ 4 − u},
√
√
b) (u, v) 7→ (x, y) = (u, v u), A = {(u, v) : 0 ¬ u ¬ 1, 0 ¬ v u},
c) (u, v) 7→ (x, y) = (2u + 3v, u − v), A = {(u, v) : u2 + v 2 ¬ 1}.
4. Obliczyć jakobiany przekształceń:
a) (r, ϕ, z) 7→ (r cos ϕ, r sin ϕ, z) - są to tzw. współrzędne walcowe. Co jest obrazem zbioru
A = (0, 1i × (−π, π) × (0, 1) ?
b) (r, ϕ, ψ) 7→ (r cos ϕ cos ψ, r sin ϕ cos ψ, r sin ψ) - są to tzw. współrzędne sferyczne w R3 .
Co jest obrazem zbioru A = (0, 1i × (−π, π) × h− π2 , π2 i?
Wykaż, że powyższe przekształcenia są dyfeomorfizmami z podanych obszarów na ich
obrazy.
5. Wyznaczyć σ-ciało w X generowane przez:
a) rodzinę złożoną z dwóch danych podzbiorów zbioru X;
b) rodzinę wszystkich podzbiorów jednoelementowych podzbiorów zbioru X.
6. Niech (fn ) będzie ciągiem funkcji rzeczywistych ciągłych określonych na R. Wykazać, że
zbiór A = {x ∈ R : limn→∞ fn (x) = +∞} jest borelowski.
7. Dla każdego A ⊂ N kładziemy:
(
µ(A) =
0
jeśli zbiór A jest skończony,
+∞ jeśli zbiór A jest nieskończony.
Czy funkcja ta jest miarą na σ-ciele wszystkich podzbiorów N?
1
8. Dla każdego A ⊂ X kładziemy:
(
µ(A) =
0
jeśli zbiór A jest co najwyżej przeliczalny,
+∞ jeśli zbiór A jest nieprzeliczalny.
Czy funkcja ta jest miarą na σ-ciele wszystkich podzbiorów N?
9. Prostopadłościan, którego dolną podstawą jest prostokąt D położony w płaszczyźnie Oxy
i ograniczony prostymi x = 1, y = 2, x = −1, y = −2, został ścięty od góry powierzchnią
z = 6 − x2 − y 2 . Obliczyć objętość powstałej bryły.
RR
10. Obliczyć całkę D sin x cos ydxdy, gdzie obszarem całkowania jest trójkąt o wierzchołkach
A(a, 0), B(0, a), C(0, 0), a > 0.
11. Znaleźć objętość bryły ograniczonej obszarami:
a) z = a2 − x2 , y = 2x, x + y = a, z = 0, y = 0;
b) y = x2 , z = x2 + y 2 , y = 1, z = 0;
c) z 2 = xy, x + y = 4, x + y = 6.
12. Stosując zamianę zmiennych oblicz całkę
RR
D
√dxdy
x2 +y 2
gdzie D jest wnętrzem okręgu jed-
nostkowego.
13. Oblicz objętość elipsoidy o równaniu
x2
a2
+
y2
b2
+
z2
c2
= 1.
14. Oblicz objętość bryły ograniczonej paraboloidą 2az = x2 + y 2 i sferą x2 + y 2 + z 2 = 3a2 .
RRR √
15. ( 21 *) Oblicz całkę potrójną V x2 + y 2 + z 2 dxdydz, gdzie obszar V jest ograniczony powierzchnią x2 + y 2 + z 2 = z.
16. Oblicz granice całek;
a)
b)
−|x|
sinn xdx;
Re
R1 √
n
xlnxdx;
0
R
x50 +n7
c)
d)
e)
cos(e n+5xn )
1
;
R n+5 sin x2
e|πx|
RR
n
n
x +y
−x−y
dxdy;
R2+ 1+xn +y n e
RR x+y n −3x−2y
e
dxdy,
A 1+ n
R
gdzie A = {(x, y) : x > 0, x + y > 0}.
17. Oblicz miarę zbioru G = {(x, y) : x2 < y < 2x2 , 1 < xy < 2}. Wskazówka: zastosuj
podstawienie : u = xy, v = xy2 .
18. Oblicz całkę
2
R
R
e−x dx. Wskazówka: oblicz najpierw całkę
19. Oblicz całki:
a)
RR
A
xdxdy, gdzie A = {(x, y) : x2 + y 2 < x}.
2
RR
R2
e−x
2 −y 2
dxdy.
b)
RR
R2
e−x
2 −xy−y 2
dxdy
20. Dla jakich c funkcja
ν(A) =
Z
A
cxe−|x| dl1
określona dla A z σ-ciała zbiorów borelowskich na R+ jest miarą na tym σ- ciele (l1
oznacza jednowymiarową miarę Lebesgue’a). Czy jest to miara skończona? Jeśli tak, to
dobierz stałą c tak, aby miara ta była miara probabilistyczną.
21. Dana jest miara µ określona dla σ-ciała wszystkich podzbiorów zbioru liczb rzeczywistych.
Miara ta jest skupiona na zbiorze liczb naturalnych
(tzn. µ(R \ N) = 0, ponadto µ({n}) =
R
1
.
Czy
jest
to
miara
probabilistyczna?
Oblicz
dµ
oraz (może być ciut trudniejsze, ale
A
2n
R
powinno się dać policzyć) A xdµ dla A = h−15, 10), A = (0, +∞).
22. Udowodnij, że kombinacja wypukła skończenie wielu miar probabilistycznych określonych
na tych samych przestrzeniach jest miarą probabilistyczną. Jaka jest wartość oczekiwana
zmiennej X względem nowej miary, jeśli znamy wartości oczekiwane X względem początkowych miar?
23. (*) Zbiór Cantora na prostej. Rozpatrzmy zbiór I0 = [0, 1] (odcinek jednostkowy domknięty). Dzielimy go na trzy równe odcinki, przy czym dwa zewnętrzne są domknięte
(tj. na odcinki [0, 31 ], ( 13 , 23 ), [ 23 , 1]). Następnie z naszego zbioru usuwamy odcinek środkowy
i otrzymujemy w ten sposób zbiór I1 . Następnie każdy z dwóch odcinków z których składa
się zbiór I1 dzielimy jak poprzednio i usuwamy odcinki środkowe - otrzymujemy w ten
sposób zbiór I2 . Procedurę tę powtarzamy nieskończenie wiele razy. Zbiorem Cantora naT
zywamy zbiór C = n∈N In . Zauważ, że zbiór ten nie zawiera żadnego odcinka. Wykaż, że
jest to zbiór domknięty. Uzasadnij jego mierzalność. Dlaczego jest to zbiór miary zero?
3