Transmitancja operatorowa

Transmitancja operatorowa, podstawowe człony liniowe
Transmitancja operatorowa (funkcja przejścia, G(s)) – stosunek transformaty Laplace'a
sygnału wyjściowego do transformaty Laplace'a sygnału wejściowego układu przy zerowych
warunkach początkowych:
U
Obiekt sterowania
Y
U – wejścia,
Y – wyjścia,
Transmitancje układów ciągłych
Dynamika obiektu opisana jest równaniem:
an
d n y(t)
d n -1 y(t)
dy(t)
d m u(t)
d m-1u(t)
du(t)
+
a
+
...
+
a
+
a
y(t)
=
b
+
b
+ ... + b1
+ a 0 u(t)
n -1
1
0
m
m -1
n
n -1
m
m -1
dt
dt
dt
dt
dt
dt
(1)
Dla układów opisanych liniowymi równaniami różniczkowymi o stałych współczynnikach
transmitancja operatorowa jest funkcją wymierną zmiennej zespolonej s, tzn. można ją
przedstawić za pomocą ilorazu dwóch wielomianów:
,
. Pierwiastki licznika określane są
gdzie dla układów realizowalnych fizycznie
zerami transmitancji, natomiast pierwiastki mianownika określa się biegunami transmitancji
lub wartościami własnymi.
Przykład 1.
Wyznaczyć transmitancję obiektu RL:
J(t)
R1
U1(t)
U1 (t) = R1I(t) + L
U 2 (t) = R 2 I(t)
L
R2
dI(t)
+ R 2 I(t)
dt
U2(t)
Rozwiązanie
U1 (s) = U 2 (s)(
G(s) =
R1
L
+ 1) +
sU 2 (s)
R2
R2
U 2 (s)
R2
=
U1 (s) sL + R1 + R 2
Zadanie 1. Wyznaczyć transmitancję układu G(s)=U2(s)/U1(s) ?
Zadanie 2. Wyznaczyć transmitancję układu?
Rozwiązanie:
Zakładamy, że napięcie U2(t) odkłada się na rezystancji R3 o wartości bliskiej
nieskończoności:
R3 ® ¥
Obwód tworzą 2 oczka:
u1( t ) = i ( t ) × R1 + i2 ( t ) × R2
u2 ( t ) + L
di3 ( t )
dt
= i2 ( t ) × R2
gdzie
u2 ( t ) = i3 ( t ) × R3
Oraz jeden węzeł:
i ( t ) = i2 ( t ) + i3 ( t )
Eliminujemy prąd i2:
u1( t ) = i ( t ) × R1 + ( i ( t ) - i3 ( t ) ) × R2
u2 ( t ) + L
di3 ( t )
dt
= ( i ( t ) - i3 ( t ) ) × R2
I podstawiamy za i3:
æ
u2 ( t ) ö
u1( t ) = i ( t ) × R1 + ç i ( t ) ÷ × R2
R3 ø
è
u2 ( t ) ö
L du2 ( t ) æ
×
= çi(t) ÷ × R2
R3
dt
R3 ø
è
u2 ( t ) +
Stąd:
1
æ 1
ö R2
i(t) = ç
u1( t ) +
u2 ( t ) ÷
R3
è R2
ø R2 + R1
I po podstawieniu
u2 ( t ) ö
L du2 ( t ) æ æ 1
1
ö R2
×
= çç
u1( t ) +
u2 ( t ) ÷
÷ × R2
R3
dt
R3
R3 ø
ø R2 + R1
è è R2
u2 ( t ) +
Upraszczając
L du2 ( t )
R2
R2 × R2
R2
×
=
u1( t ) +
u2 ( t ) u2 ( t )
R3
dt
R2 + R1
R3
( R2 + R1) R3
u2 ( t ) +
Dokonując transformacji Laplacea
U2 ( s ) +
L
R2
R2 × R2
R2
× sU2 ( t ) =
U1( s ) +
U2 ( s ) U2 ( s )
R3
R2 + R1
R2
+
R1
R3
R3
(
)
Upraszczamy zależność do postaci
æ
L
R2 × R2
R2 ö
R2
U2 ( s ) çç1 +
×s +
U1( s )
÷÷ =
( R2 + R1) R3 R3 ø R2 + R1
è R3
Stąd
æ
L ( R1 + R2 )
R2 × R2 R2 ( R1 + R2 ) ö
×s +
U2 ( s ) ç R1 + R2 +
÷ = R2 × U1( s )
R3
R3
R3
è
ø
Transmitancja wynosi
G (s) =
U2 ( s )
U1( s )
R2
=
R1 + R2 +
L ( R1 + R2 )
R2 × R2 R2 ( R1 + R2 )
×s +
R3
R3
R3
A ponieważ:
R3 ® ¥
Można ją zapisać jako:
G (s) =
U2 ( s )
U1( s )
=
R2
R1 + R2
Podstawowe sygnały wejściowe
Delta δ to obiekt matematyczny o następujących własnościach:
∞
0
x
Funkcja skokowa Heaviside'a (skok jednostkowy), jest funkcją nieciągłą która przyjmuje
wartość 0 dla ujemnych argumentów i wartość 1 w pozostałych przypadkach:
1(t)
1
0
ì0 dla t<0
1(t) = í
î1 dla t ³ 0
ì0 dla t<t 0
1(t - t 0 ) = í
î1 dla t ³ t 0
Przekształcenie Laplace’a dla:
1
s
d(t)- > 1
1(t)- >
Przykład 2.
Znaleźć odpowiedź impulsową układu o transmitancji:
R2
R + R2
L
G(s) = 1
gdzie T =
1 + sT
R1 + R 2
Rozwiązanie:
G(s) = x(s) × G(s)
x(s) = 1
R 2 1 - Tt R 2 - Tt
g(t) = L {G(s) ×1} =
e =
e
R1 + R 2 T
L
-1
W Matlabie?
R2
R1 + R 2
R2
G(s) =
, niech
=1 oraz T=10
1 + sT
R1 + R 2
1
G(s) =
s10 + 1
L=[0 1]
M=[10 1]
t0
t
Tworzymy G=tf(L,M)
tf() – oblicza transmitancję
Następnie rysujemy przebieg odpowiedzi na skok impulsowy
impulse(G)
Oraz przebieg odpowiedzi na skok jednostkowy
step(G,t)
t - czas np. t=10
Przykład 3.
Znaleźć odpowiedź na skok jednostkowy układu o transmitancji:
R2
R + R2
G(s) = 1
1 + sT
-1
h(t) = L {G(s) × x(s)}
R2
t
1
R2
R + R2
h(t) = L-1{G(s) × } = L-1{ 1
}=
(1 - e T )
s
(1 + sT)s
R1 + R 2
Zadanie 3.
Wyznaczyć odpowiedź na skok jednostkowy i impulsowy układu o transmitancji z Przykładu
1 oraz z Zadania 1 i 2. Dla każdego przypadku wykreślić charakterystyki czasowe. Przyjąć
R1=1 R2=1 L=1
Zadanie 4.
Wyznaczyć odpowiedź operatorową dwójnika (połączenie szeregowe R i L) I(s) oraz oryginał
(odpowiedź czasową) o zerowych warunkach początkowych po podanym wymuszeniu
skokowemu na napięcie stałe ?
Zadanie 5.
Wyznaczyć odpowiedź operatorową układu po podanym wymuszeniu skokowemu na
napięcie stałe U1(t)=U?
J(t)
R1
U1(t)
U2(t)=U2=5, R1=R2=1
Zadanie 6.
L
R2
U2(t)
Wyznaczyć odpowiedź operatorową dwójnika (połączenie szeregowe R i L) I(s) oraz oryginał
(odpowiedź czasową) o zerowych warunkach początkowych po podanym wymuszeniu
impulsowemu U?
Zadanie 7.
Wyznaczyć odpowiedź operatorową dwójnika (połączenie szeregowe RC) I(s) oraz oryginał
(odpowiedź czasową) o zerowych warunkach początkowych po podanym wymuszeniu
impulsowemu =U i skokowo załączonym na napięcie stałe U?
Podstawowe człony liniowe
1. Człon proporcjonalny
Wyznaczyć charakterystykę skokową i impulsową?
Stąd transmitancja członu proporcjonalnego ma postać:
gdzie stała k jest współczynnikiem wzmocnienia.
Odpowiedź impulsowa:
Charakterystyka skokowa:
,
.
2. Człon inercyjny I rzędu
Wyznaczyć charakterystykę skokową i impulsową?
Odpowiedź impulsowa:
Charakterystyka skokowa członu inercyjnego I rzędu wynosi:
3. Człon całkujący idealny
W automatyce człon całkujący (idealny) (ang. integral term) to człon, który na wyjściu daje
sygnał y(t) proporcjonalny do całki sygnału wejściowego x(t):
Poddanie powyższego związku obustronnej transformacji Laplace'a daje związek pomiędzy
transformatami obu sygnałów:
Stąd transmitancja członu całkującego ma postać:
Jego odpowiedź impulsowa:
Charakterystyka skokowa:
Wyznaczyć charakterystykę skokową i impulsową?
4. Człon różniczkujący
Wyznaczyć charakterystykę skokową i impulsową?
Poddanie powyższego związku obustronnej transformacji Laplace'a daje związek pomiędzy
transformatami obu sygnałów:
Stąd transmitancja członu różniczkującego ma postać:
Odpowiedź impulsowa:
Charakterystyka skokowa:
5. Człon inercyjny drugiego rzędu
.
Poza ogólnymi założeniami na T1 i T2 musi zachodzić:
T1 + T2 > 0
oraz
Odpowiedź impulsowa:
6. Człon opóźniający
Wyznaczyć charakterystykę skokową i impulsową?
W automatyce człon opóźniający to człon, który na wyjściu daje sygnał y(t) będący
powtórzeniem sygnału wejściowego x(t) opóźnionym o stałą wartość T:
Poddanie powyższego związku obustronnej transformacji Laplace'a daje związek pomiędzy
transformatami obu sygnałów:
Stąd transmitancja członu opóźniającego ma postać
gdzie stała T jest czasem opóźnienia.
Odpowiedź impulsowa:
Charakterystyka skokowa członu opóźniającego wynosi:
,
.