Zestaw Υ. Imię i nazwisko: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (1) [1
Transkrypt
Zestaw Υ. Imię i nazwisko: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (1) [1
(1) (2) (3) (4) Zestaw Υ. Imię i nazwisko: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [1 pkt.] Zdanie ∀x : f (x) > g(x) ⇒ ∀x, y : f (x) > g(y) jest (a) zawsze prawdziwe (b) zawsze fałszywe (c) zależy od funkcji f, g 0 a−1 [1 pkt.] Macierz a+1 2 (a) zawsze ma macierz odwrotną (b) nie ma macierzy odwrotnej (c) dla pewnych wartości a nie ma macierzy odwrotnej (podaj te wartości: . . . . . . ) 2 [1 pkt.] Funkcja ex w 0 (a) ma minimum (b) ma maksimum (c) nie ma ekstremum [1 pkt.] Czy dla dowolnych zbiorów A, B, C prawdziwa jest równość (A \ B) ∪ (B \ C) = (A ∪ B) \ C? (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) Uzasadnić, lub wskazać przykład, gdy nie ma równości. ∞ \ 1 1 [1 pkt.] Podaj, czym jest − ,2 − . n n n=1 [2 pkt.] Niech f (x) = 2 − |x|. Czy f jest suriekcją? (Odpowiedź uzasadnij.) Pokaż na przykładzie, że równość f −1 (f (A)) = A nie musi być prawdziwa. [1 pkt.] Znajdź zespolone pierwiastki równania z 2 + (1 − 2i)z − i = 0. [1 pkt.] Znajdź zbiór {z : Im z̄ 2 = 0}. x + y + z = 3 [2 pkt.] Rozwiąż układ równań 2x − y = z z + 2y + 1 = 0 2 3 0 −1 1 0 −1 [1 pkt.] Spośród macierzy , , 0 −1 wybierz dwie takie, 1 2 −1 2 −1 1 2 których iloczyn jest macierzą kwadratową i znajdź ten iloczyn. Policz wyznacznik iloczynu. [1 pkt.] Znajdź dowolną prostą prostą prostopadłą do prostej o równaniu 3.25x − 12y = 72 . (12) [2 pkt.] Policz granice ciągów 2 3n2 n +1 , (a) an = n2 − 1 3n2 − n − cos n . (b) bn = (n + sin n)2 √ √ (13) [2 pkt.] Znajdź dziedzinę funkcji f (x) = x2 − 4 − x2 + 4 i policz granice na końcach przedziałów dziedziny. Czy ta funkcja jest monotoniczna? (Uzasadnienie.) (14) [1 pkt.] Policz drugą pochodną funkcji sin(x3 ). (15) [5 pkt.] Zbadaj funkcję i naszkicuj jej wykres ( x3 − x dla x ≤ 0 f (x) = x dla x > 0 x+1 (16) [1 pkt.] Znajdź średnią liczbę punktów, jaką można otrzymać za zadanie z tego egzaminu. Jakie jest odchylenie standardowe? (1) (2) (3) (4) Zestaw Ξ. Imię i nazwisko: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [1 pkt.] Zdanie ∃x, y : f (x) > g(y) ⇒ ∃x : f (x) > g(x) jest (a) zawsze prawdziwe (b) zawsze fałszywe (c) zależy od funkcji f, g 0 a+1 [1 pkt.] Macierz a+1 1 (a) zawsze ma macierz odwrotną (b) nie ma macierzy odwrotnej (c) dla pewnych wartości a nie ma macierzy odwrotnej (podaj te wartości: . . . . . . ) 3 [1 pkt.] Funkcja ex w 0 (a) ma minimum (b) ma maksimum (c) nie ma ekstremum [1 pkt.] Czy dla dowolnych zbiorów A, B, C prawdziwa jest równość (A \ B) ∩ (B \ C) = (A ∩ B) \ C? Uzasadnić, lub wskazać przykład, gdy nie ma równości. ∞ [ 1 1 (5) [1 pkt.] Podaj, czym jest − ,2 − . n n n=1 (6) [2 pkt.] Niech f (x) = 2 − |x|. Czy f jest iniekcją? (Odpowiedź uzasadnij.) Pokaż na przykładzie, że równość f (f −1 (A)) = A nie musi być prawdziwa. (7) [1 pkt.] Znajdź zespolone pierwiastki równania z 2 − (1 + 2i)z + i = 0. (8) [1 pkt.] Znajdź zbiór {z : Im z̄(z+ i) = 0}. x − y − z = −1 (9) [2 pkt.] Rozwiąż układ równań 2x = y + z z + 2y + 1 = 0 2 3 0 1 0 1 −1 (10) [1 pkt.] Spośród macierzy , , −1 0 wybierz dwie takie, −2 2 −1 2 1 1 2 których iloczyn jest macierzą kwadratową i znajdź ten iloczyn. Policz wyznacznik iloczynu. (11) [1 pkt.] Znajdź dowolną prostą prostą prostopadłą do prostej o równaniu √ 3 2x + 1.2y = 13 . (12) [2 pkt.] Policz granice ciągów 2 2n2 n −1 (a) an = , n2 + 1 (2n + cos n)2 . (b) bn = 2 n − n − sin n √ √ (13) [2 pkt.] Znajdź dziedzinę funkcji f (x) = x2 − 9 − x2 + 9 i policz granice na końcach przedziałów dziedziny. Czy ta funkcja jest monotoniczna? (Uzasadnienie.) (14) [1 pkt.] Policz drugą pochodną funkcji cos(x2 ). (15) [5 pkt.] Zbadaj funkcję i naszkicuj jej wykres ( x3 − x dla x ≥ 0 f (x) = x dla x < 0 x−2 (16) [1 pkt.] Znajdź średnią liczbę punktów, jaką można otrzymać za zadanie z tego egzaminu. Jakie jest odchylenie standardowe?