Inżynieria Finansowa Lista 9: Proces Ornsteina

Inżynieria Finansowa
Lista 9: Proces Ornsteina-Uhlenbecka
Dla a > 0, b, σ > 0 = const proces opisany równaniem
dr = a(b − r)dt + σdB(t),
(1)
nazywamy procesem Ornsteina-Uhlenbecka. Dla b = 0 otrzymujemy klasyczny proces OrnsteinaUhlenbecka.
∫
1. Znajdź rozkład zmiennej st exp(−a(t − u))dB(u), gdzie a ̸= 0 jest stałą.
2. Niech r(0) będzie zmienną losową mierzalną względem F 0 .
(a) Pokaż, że proces
r(t) = e−at r(0) + (1 − e−at )b + σe−at
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
∫
t
eau dB(u)
0
jest rozwiązaniem równania (1).
Niech 0 ¬ s ¬ t. Przedstaw r(t) w języku r(s); a nie r(0).
Policz E(r(t)|F s ) oraz Var(r(t)|F s ).
Znajdź graniczne wartości E(r(t)|F s ) i Var(r(t)|F s ) dla t → ∞.
Policz Cov(r(t), r(u)|F s ) dla 0 ¬ s ¬ t ¬ u.
Niech r(0) będzie zmienną o rozkładzie normalnym o średniej b i wariancji σ 2 /2a. Jaki
rozkład ma wtedy r(t)?
1