Graniastosłupy

Graniastosłupy
Zad. 1:
Oblicz pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu o objętości 27 i przekątnej długości
91 , wiedząc, Ŝe długości trzech krawędzi tego prostopadłościanu, wychodzących z tego
samego wierzchołka, tworzą ciąg geometryczny.
Odp.: P = 78.
Zad. 2:
Szkoła zaplanowała budowę otwartego basenu w kształcie prostopadłościanu o szerokości 5
m i długości 20 m. Jaka powinna być głębokość basenu, aby koszt wyłoŜenia dna i boków
basenu kaflami o wymiarach 25 cm × 25 cm był mniejszy od 6200 zł, jeŜeli koszt wyłoŜenia
1 m2 wynosi 30 zł? RozwaŜ dwa przypadki: a) kafle układamy w całości; b) kafle moŜna ciąć
co najwyŜej na 2 części.
Odp.: a) Co najwyŜej 2 m (koszt nie przekroczy 6000 zł). b) Co najwyŜej 2,125 m (koszt
nie przekroczy 6187,5 zł).
Zad. 3: (profil matematyczno-fizyczny)
Podstawą graniastosłupa prostego jest równoległobok o kącie ostrym α. Przekątne graniastosłupa są nachylone do płaszczyzny podstawy pod kątami β i γ (β < γ), a wysokość graniastosłupa ma długość H. Oblicz objętość tego graniastosłupa.
Odp.: V = 41 H 3 tgα( ctg 2 β − ctg 2 γ ) .
Zad. 4: (profil matematyczno-fizyczny)
Sześcian o krawędzi długości 1 przecięto płaszczyzną przechodzącą przez przekątną podstawy i nachyloną do płaszczyzny podstawy pod kątem α. Oblicz pole otrzymanego przekroju
dla:
a) α = π6 ;
b) α = π3 .
Znajdź stosunek objętości brył, które powstały w wyniku przecięcia sześcianu opisaną wyŜej
płaszczyzną dla α = π6 .
Odp.: a) P =
3
3
; b) P =
2
3
(
)
6 − 1 . Stosunek objętości rozwaŜanych brył dla α =
π
6
wynosi
6 6 − 1.
Zad. 5:
Długości nierównych krawędzi prostopadłościanu tworzą rosnący ciąg arytmetyczny. Najkrótsza krawędź ma długość 6 cm, a objętość prostopadłościanu wynosi 480 cm3. Oblicz
długość przekątnej prostopadłościanu oraz kąt, jaki tworzy ta przekątna z płaszczyzną podstawy.
Odp.: Przekątna prostopadłościanu ma długość 10 2 cm i tworzy z płaszczyzną podstawy
kąt 45°.
Zad. 6:
Długości nierównych krawędzi prostopadłościanu tworzą ciąg geometryczny. Objętość prostopadłościanu jest równa 216 cm3, a pole powierzchni całkowitej wynosi 252 cm2. Oblicz
długość przekątnej tego prostopadłościanu.
134
Odp.: 3 21 cm .
Zad. 7:
Przekątna prostopadłościanu o podstawie kwadratowej ma długość d i tworzy ze ścianą
boczną kąt α. Oblicz objętość i pole powierzchni bocznej tego prostopadłościanu. Jakie wartości moŜe przyjmować α?
Odp.: V = d 3 sin 2 α cos 2α , Pb = 4d 2 sin α cos 2α , gdzie α ∈ (0; π4 ) .
Zad. 8:
Suma długości wszystkich krawędzi graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa
48, a pole jego powierzchni całkowitej wynosi 90.
a) Oblicz długości krawędzi graniastosłupa.
b) Znajdź cosinus kąta nachylenia przekątnej graniastosłupa do płaszczyzny podstawy.
Odp.: a) Krawędź podstawy ma długość 3, a krawędź boczna 6 lub krawędź podstawy ma
3
5 3
długość 5, a krawędź boczna 2. b) cos α =
lub cos α =
.
3
9
Zad. 9:
W prostopadłościanie punkt przecięcia przekątnych dolnej podstawy połączono odcinkiem
długości m ze środkiem S jednej z krawędzi bocznych. Odcinek ten jest nachylony do płaszczyzny podstawy pod kątem α, a do jednej ze ścian bocznych, do których naleŜy punkt S, pod
kątem β. Oblicz pole powierzchni całkowitej i objętość prostopadłościanu.
(
)
Odp.: P = 8m 2 sin α sin β + ( sin α + sin β) cos 2 α − sin 2 β ,
V = 8m 3 sin α sin β cos 2 α − sin 2 β .
Zad. 10*:
Sześcian o krawędzi długości a przecięto płaszczyzną przechodzącą przez przekątną podstawy i nachyloną do płaszczyzny podstawy pod kątem ostrym α. Oblicz pole otrzymanego
przekroju (rozwaŜ róŜne przypadki w zaleŜności od kąta α).
a2
Odp.: P =
dla α ∈ (0; β〉 lub P = 2 sin α − cos α a 2 sin 2 α dla α ∈ ( β; π2 ) , gdzie β
2 cosα
jest takim kątem, Ŝe tgβ = 2 .
(
)
Zad. 11:
W graniastosłupie prawidłowym trójkątnym pole powierzchni bocznej jest równe sumie pól
obu podstaw. Oblicz cosinus kąta nachylenia przekątnej ściany bocznej do sąsiedniej ściany
bocznej.
2 13
.
Odp.: cos α =
13
Zad. 12:
W graniastosłupie prostym, którego podstawą jest trójkąt równoboczny o boku długości 10
cm, przekątna ściany bocznej tworzy z sąsiednią ścianą kąt 30°. Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej graniastosłupa.
(
)
Odp.: V = 250 6 cm 3 , P = 50 3 +6 2 cm 2 .
135
Zad. 13:
Podstawą graniastosłupa prostego jest trójkąt ABC, w którym |AC| = 2, |∠CAB| = 60°,
|∠ABC| = 45°. Przekątna ściany bocznej o największym polu tworzy z płaszczyzną podstawy
kąt 60°. Oblicz objętość i pole powierzchni bocznej tego graniastosłupa.
(
)
Odp.: V = 6 + 3 3 , Pb = 3 2 + 2 3 + 6 + 4 .
Zad. 14:
W graniastosłupie prawidłowym czworokątnym przekątna podstawy jest równa d i tworzy z
przekątną ściany bocznej wychodzącą z tego samego wierzchołka kąt α. Oblicz objętość tego
graniastosłupa.
d 3 − cos 2α
Odp.: V =
, gdzie α ∈ ( π4 ; π2 ) .
4 cos α
Zad. 15:
Krawędź boczna graniastosłupa prawidłowego trójkątnego ma długość k. Przekątna ściany
bocznej tworzy z drugą ścianą boczną kąt α. Oblicz pole powierzchni całkowitej i objętość
tego graniastosłupa
Odp.: P =
2 k 2 tgα
(
3tgα + 3 3 − tg 2 α
3 − tg 2 α
),V =
3k 3 tg 2 α
.
3 − tg 2 α
Zad. 16:
Pokój Kasi ma kształt prostopadłościanu, którego podstawa ma wymiary 4,5 m i 4 m, a wysokość wynosi 2,5 m. Kasia chce pomalować swój pokój na biało (sufit i ściany). Okno i
drzwi zajmują 20% powierzchni ścian. Jeden litr farby wystarczy na pomalowanie 13 m2. Ile
litrów farby naleŜy kupić, aby pomalować pokój dwukrotnie?
Odp.: 8 litrów.
Zad. 17:
Firma „Słodzik” wyprodukowała czekoladowe cukierki w kształcie prostopadłościanu o wymiarach 2 cm, 2 cm, 4 cm. Czekoladowa ścianka ma grubość 0,25 cm. Wnętrze cukierków
wypełniono likworem. Ile cukierków moŜna napełnić jednym litrem likworu?
Odp.: 126 cukierków.
Zad. 18
Przekrój prostopadłościanu ABCDA1B1C1D1 płaszczyzną przechodzącą przez przekątną DB
dolnej podstawy i wierzchołek C1 górnej podstawy jest trójkątem równobocznym o polu S.
Kąt nachylenia tego trójkąta do płaszczyzny podstawy prostopadłościanu ma miarę α.
a) Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu.
b) Oblicz odległość wierzchołka C od płaszczyzny przekroju.
(
)
Odp.: a) V = 2S sin α S cos α , P = 4S cos α + 2 sin α ; b) sin α S cos α .
Zad. 19:
W prostopadłościanie ABCDA’B’C’D’ przekątne CD’ i CB’ dwóch sąsiednich ścian bocznych tworzą z płaszczyzną podstawy prostopadłościanu kąty odpowiednio α i β. Znajdź cosinus kąta między tymi przekątnymi.
Odp.: cos|∠B’CD’| = sinα sinβ.
136