symulator wiązki pełnodostępnej obsługującej zintegrowane nie

Adam Kaliszan
Mariusz Głąbowski
Katedra Sieci Telekomunikacyjnych i Komputerowych
Politechnika Poznańska
ul. Piotrowo 3A, 60-965 Poznań
e-mail: [email protected]
2006
Poznańskie Warsztaty Telekomunikacyjne
Poznań 7 - 8 grudnia 2006
SYMULATOR WIĄZKI PEŁNODOSTĘPNEJ OBSŁUGUJĄCEJ
ZINTEGROWANE NIE-POISSONOWSKIE STRUMIENIE ZGŁOSZEŃ
Streszczenie: W artykule przedstawiono sposoby prowadzenia badań symulacyjnych wiązki pełnodostępnej obsługującej ruch zintegrowany, której oferowane są strumienie zgłoszeń Bernoullego, Pascala i Poissona. Opisany symulator
opiera się na metodzie planowania zdarzeń. Metoda ta oferuje więcej możliwości niż popularne symulacje typu Monte
Carlo stosowane często w inżynierii ruchu. W artykule opisano sposoby symulowania różnych strumieni zgłoszeń oraz
sposób ich obiektowej implementacji.
1. Wprowadzenie
Podstawowym systemem z ruchem zintegrowanym jest
tzw. wiązka pełnodostępna, która jest modelem pojedynczego łącza z nieograniczonym dostępem do zasobów. Wiązce tej oferowane są niezależne strumienie
zgłoszeń. Jeśli założymy, że strumienie te są Poissonowskimi strumieniami to system taki może być symulowany metodą Monte Carlo [1]. Jeśli system rozszerzymy o obsługę nie-Poissonowskich strumieni zgłoszeń, takich jak strumienie Pascala lub Bernoullego,
to konieczne jest stosowanie symulacji czasowej. Możliwości takie zapewnia m.in. metoda planowania zdarzeń. Celem artykułu jest zaprezentowanie symulatora
wiązki doskonałej z ruchem zintegrowanym o rozkładzie Poissona, Bernoullego i Pascala. Artykuł zorganizowany jest w następujący sposób. W rozdziale 2
opisano model wiązki pełnodostępnej oraz strumienie
zgłoszeń Poissona, Bernoullego i Pascala. W rozdziale 3 przedstawiono metodę symulacji opisanych strumieni zgłoszeń. Rezultaty symulacji wybranych wiązek oraz czasy trwania symulacji zostały przedstawione w rozdziale 4. Rozdział 5 zawiera podsumowanie.
2. Wiązka pełnodostępna i oferowane jej
strumienie zgłoszeń
Wiązka pełnodostępna obsługuje m klas zgłoszeń.
Każdą klasę opisują parametry takie jak: zasoby żądane do obsługi pojedynczego zgłoszenia, strumień napływania zgłoszeń oraz strumień obsługi. Strumienie
zgłoszeń mogą mieć różne rozkłady. Najpopularniejsze rozkłady zostały opisane w artykule w następnych podrozdziałach. Czasy obsługi zgłoszeń wszystkich klas mają charakter wykładniczy z parametrami:
µ1 , µ2 , . . . , µm .
Wiązka
Klasa nr 1: z1 , λ1 , µ1
-
Klasa nr 2: S2 , z2 , γ2 , µ2
-
1
2
3.
.
.
Klasa nr m: Nm , zm , γm , µm
-
V
Rys. 1. Model systemu multi-rate z pojedynczym
(separowanym) łączem
2.1. Model wiązki pełnodostępnej
Przyjmijmy, że zasoby wiązki żądane dla realizacji
zgłoszeń poszczególnych klas ruchu stanowią wielokrotność pewnej wartości przepływności, tzw. Podstawowej Jednostki Pasma 1 . Wiązka pełnodostępna ma
pojemność V PJP, które są dostępne dla wszystkich
pojawiających się zgłoszeń. Oznacza to, że w wiązce pełnodostępnej nie występuje zależność strumienia
zgłoszeń od stanu, w którym system się znajduje [3].
Zgłoszenie klasy i wymaga zi PJP do zestawienia połączenia. Opisany model wiązki pełnodostępnej obsługującej m klas zgłoszeń przedstawiono na rysunku 1.
Parametry, które określają każdą klasę zgłoszeń, zostały omówione w dalszej części artykułu.
2.2. Strumień zgłoszeń Poissona
Strumień zgłoszeń Poissona określany jest często jako strumień najprostszy. Posiada on następujące cechy: pojedynczość, brak następstw i stacjonarność [4].
Prawdopodobieństwo, że w czasie t napłynęło n zgłoszeń klasy i jest równe:
n
Pn (t) =
(λi · t)
· e−λi t .
n!
(1)
Na podstawie wzoru (1) prawdopodobieństwo, że
w czasie t nie pojawiło się żadne zgłoszenie, jest równe
P0 (t) = e−λi t ,
(2)
1 Przy konstruowaniu modeli multi-rate dla systemów szerokopasmowych B-ISDN przyjmuje się, że PJP jest największym
wspólnym podzielnikiem pasm równoważnych wszystkich oferowanych systemowi strumieni zgłoszeń [2, 3].
natomiast prawdopodobieństwo pojawienia się jednego zgłoszenia w czasie t jest równe:
P1 (t) = λi t · e−λi t .
(3)
Prawdopodobieństwa te zależne są od długości przedziału czasu t. Nie zależą one od czasu pojawienia się
poprzedniego zgłoszenia. Na podstawie wzorów (2),
(3) można obliczyć dystrybuantę F (t) pomiędzy kolejnymi zgłoszeniami, która określa prawdopodobieństwo, że czas pomiędzy zgłoszeniami T będzie krótszy
od zadanego czasu t. Prawdopodobieństwo takie jest
równoważne prawdopodobieństwu, że w czasie t pojawi się jedno lub więcej zgłoszeń klasy:
F (t) =
∞
X
Pn (t) = 1 − P0 (t) = 1 − e−λi t .
(4)
n=1
Na podstawie dystrybuanty F (t) można zamienić
próbki z generatora o rozkładzie równomiernym na
próbki o rozkładzie opisanym przez dystrybuantę
F (t). W tym celu próbki otrzymane z rozkładu równomiernego o przedziale od 0 do 1 oznaczone jako pF
należy podstawić do funkcji dystrybuanty:
F (t) = pF .
(5)
Wzór (5) można tak przekształcić, by na podstawie
znajomości funkcji F (t) rozkładu Poissona (wzór (4))
obliczyć t, które jest próbką z generatora losowego
o rozkładzie Poissona:
ln(pF )
.
t=−
λi
(6)
(7)
Rozkład ten jest rozkładem wykładniczym. Średnia
wartość tego rozkładu to λ−1
i . Niech πi,1 (t) oznacza
prawdopodobieństwo, że w przedziale czasu o długości
t pojawi się choć jedno zgłoszenie klasy i oraz niech
Λi (t) oznacza intensywność strumienia zgłoszeń klasy i w czasie t, która jest równa:
Λi (t) = lim
∆t→0
πi,1 (t + ∆t)
.
∆t
t=−
ln(pF )
.
γi
(10)
Nie jest określany moment pojawienia się nowego zgłoszenia, gdy źródło jest w stanie nieaktywnym. Intensywność strumienia zgłoszeń Bernoullego zależy od
liczby źródeł, które są w stanie aktywnym. Liczba aktywnych źródeł zależy od liczby aktualnie obsługiwanych zgłoszeń yi (t) i jest równa S −yi (t). Można wykazać, że intensywność strumienia zgłoszeń Bernoullego
jest równa
Λi (t) = (Si − yi (t)) · γi .
(11)
2.4. Strumień zgłoszeń Pascala
W strumieniu Pascala początkowa liczba źródeł klasy i jest równa Ni . Każde źródło generuje zgłoszenia
z intensywnością γi . Liczba źródeł klasy i zależy od
liczby zgłoszeń w systemie i jest równa Ni + yi (t). Intensywność zgłoszeń w strumieniu Pascala zależy od
liczby źródeł tego strumienia i jest równa
Λi (t) = (Ni + yi (t)) · γi .
(12)
2.5. Strumień obsługi
Gęstość rozkładu Poissona jest równa
f (t) = λi e−λi t .
zgłoszeń jest równa γi , a gdy jest w stanie nieaktywnym, to jego intensywność jest równa 0. Źródło jest
w stanie nieaktywnym, gdy jest obsługiwane zgłoszenie pochodzące od tego źródła. Czasy pomiędzy nowymi zgłoszeniami pojedynczego źródła mogą być losowane w taki sam sposób, co odstępy czasu pomiędzy
zgłoszeniami w strumieniu Poissona:
(8)
Na podstawie właściwości strumienia Poissona, takich
jak pojedynczość i brak następstw, można wykazać,
że
Λi (t) = λi .
(9)
2.3. Strumień zgłoszeń Bernoullego
Strumień zgłoszeń Bernoullego ma ograniczoną liczbę źródeł ruchu. Przyjmijmy, że liczba źródeł ruchu
klasy i, która oferuje strumień zgłoszeń o rozkładzie
Bernoullego, jest równa Si . Odstępy pomiędzy nowymi zgłoszeniami wygenerowanymi przez pojedyncze
źródło mają rozkład wykładniczy. Źródła mogą być
w dwóch różnych stanach. Jeśli źródło klasy i jest
w stanie aktywnym, to jego intensywność generowania
W artykule przyjęto, że czasy obsługi zgłoszeń mają
rozkład wykładniczy i pojedyncze zgłoszenie klasy i
obsługiwane jest z intensywnością µi . Generator liczb
losowych o rozkładzie wykładniczym, odpowiadający
czasom obsługi pojedynczych zgłoszeń, można zaimplementować w analogiczny sposób co generator opisujący strumień pojedynczego źródła zgłoszeń:
tobsł = −
ln(pF )
,
µi
(13)
gdzie PF jest próbką z generatora o rozkładzie równomiernym o wartościach od 0 do 1. Należy podkreślić,
że tobsł określa czas obsługi pojedynczego zgłoszenia
w systemie, a system może obsługiwać wiele zgłoszeń
równocześnie. W symulacji dla każdego takiego zgłoszenia należy indywidualnie wylosować czas obsługi.
Intensywność strumienia obsługi zgłoszeń klasy i zależy od liczby obsługiwanych zgłoszeń tej klasy yi (t).
Można wykazać, że intensywność strumienia obsługi
klasy i jest równa [4]
Ni (t) = µi yi (t).
(14)
Model, w którym systemowi oferowany jest Poissonowski strumień zgłoszeń, a czas obsługi pojedynczego
zgłoszenia jest wykładniczy, nazywany jest modelem
Erlanga. Model ten został przedstawiony na rysunku 2
dla systemu, który obsługuje tylko zgłoszenia pojedynczej klasy i. Rysunek 3 przedstawia model Engse-
λi
0
λi
zi
µi
2µi
2zi
λi
3µi
3zi
λi
4µi
4zi
λi
5µi
5zi
λi
...
6µi
Rys. 2. Diagram stanów procesu obsługi zgłoszeń
w modelu Erlanga
Si γi
0
(Si−1)γi (Si−2)γi (Si−3)γi (Si−4)γi (Si−5)γi
zi
µi
2µi
2zi
3µi
3zi
4µi
4zi
5µi
5zi
...
6µi
Rys. 3. Diagram stanów procesu obsługi zgłoszeń
w modelu Engseta
ta, w którym strumień zgłoszeń ma rozkład Bernoullego a czas obsługi pojedynczego zgłoszenia ma rozkład
wykładniczy. Zakładamy przy tym, że S > V . Podobnie zilustrowany system obsługuje tylko zgłoszenia pojedynczej klasy i. Rysunek 4 przedstawia diagram stanów dla systemu ze strumieniem zgłoszeń o
rozkładzie Pascala obsługującym tylko zgłoszenia klasy i. Zilustrowane systemy mają tylko stany o wielokrotnościach zi . Przez numer stanu rozumiemy liczbę zajętych PJP przez zgłoszenia klasy i. Pojedyncze
zgłoszenie tej klasy żąda zi PJP, zatem po przyjęciu
do obsługi kolejnego zgłoszenia tej klasy system przechodzi ze stanu n do stanu n + zi . Jeśli założymy, że
system obsługuje tylko zgłoszenia klasy i (tak jak na
rysunkach 2–4) to stany, które nie są wielokrotnością
zi nie są dozwolone.
3. Badania symulacyjne wiązki pełnodostępnej
3.1. Metoda planowania zdarzeń
W metodzie planowania zdarzeń występuje czas systemowy, według którego posortowane są zdarzenia przechowywane na liście zdarzeń. Proces symulacji polega na pobieraniu pierwszego zdarzenia z listy zdarzeń, przestawianiu czasu systemowego do czasu tego
zdarzenia i „wykonaniu” pobranego zdarzenia. Przez
„wykonanie zdarzenia” należy rozumieć reakcję symulowanego systemu na to właśnie zdarzenie. Na przykład wykonywanie zdarzenia typu zakończenie obsługi zgłoszenia polega na zwolnieniu zasobów zajętych
przez to zgłoszenie w symulowanym systemie. Wykonanie zdarzenia często pociąga za sobą zaplanowanie
nowych zdarzeń, które są dodawane do listy zdarzeń.
Przed rozpoczęciem symulacji konieczna jest jej inicjacja, która polega na ustaleniu stanu początkowego systemu. W procesie inicjacji planowane jest też pierwsze (lub kilka) zdarzenie, które zapoczątkuje proces
Ni γi
0
(Ni+1)γi (Ni+2)γi (Ni+3)γi (Ni+4)γi (Ni+5)γi
zi
µi
2µi
2zi
3µi
3zi
4µi
4zi
5µi
5zi
...
6µi
Rys. 4. Diagram stanów procesu obsługi strumienia
zgłoszeń Pascala
symulacji. Należy podkreślić, że po inicjacji w czasie
procesu symulacji lista zdarzeń nigdy nie może być
pusta.
3.2. Symulowanie wiązki obsługującej Poissonowskie strumienie zgłoszeń
Rozważmy symulację systemu obsługującego m klas
z Poissonowskimi strumieniami zgłoszeń. W procesie
inicjacji dodawane jest m zdarzeń typu pojawienie
się nowego zgłoszenia klasy 1, 2, . . . , m i stan systemu ustawiany jest na n = 0.
W procesie symulacji zawsze wykonywane jest pierwsze zdarzenie z listy zdarzeń. Jeśli tym zdarzeniem jest
zdarzenie typu pojawienie się nowego zgłoszenia
klasy i, to należy sprawdzić, czy system dysponuje wystarczającymi zasobami by przyjąć do obsługi to zgłoszenie (n < V − zi ):
Tak Planowane jest nowe zdarzenie typu pojawienie
się nowego zgłoszenia. Jego czas określany jest na
podstawie rozkładu wykładniczego z intensywnością λi . Następnie zajmowane są zasoby systemowe (przechodzi on ze stanu n do stanu n + zi
i planowane jest zdarzenie typu zakończenie obsługi zgłoszenia klasy i. Jego czas określany jest
na podstawie rozkładu wykładniczego z intensywnością µi ,
Nie Planowane jest nowe zdarzenie typu pojawienie
się nowego zgłoszenia. Jego czas określany jest na
podstawie rozkładu wykładniczego z intensywnością λi .
Jeśli wykonywanym zdarzeniem w procesie symulacji
jest zdarzenie typu zakończenie obsługi zgłoszenia
klasy i to zwalniane są zasoby zajęte przez obsłużone zgłoszenie (system przechodzi ze stanu n do stanu
n − zi ).
Podsumowując w symulacji m Poissonowskich strumieni zgłoszeń są dwa typy zdarzeń: pojawienie się nowego zgłoszenia i zakończenie obsługi zgłoszenia. Na
liście zdarzeń może być maksymalnie m + V elementów.
3.3. Symulowanie strumienia zgłoszeń Bernoullego
Rozważmy symulację wiązki, która obsługuje tylko
zgłoszenia jednej klasy i. Przyjmijmy, że strumień
zgłoszeń klasy i ma rozkład Bernoullego o S źródłach.
W procesie inicjacji należy dodać S zdarzeń typu pojawienie się nowego zgłoszenia klasy i oraz ustawić stan
zajętości systemu na n = 0.
W procesie symulacji, wykonując zdarzenie typu pojawienie się nowego zgłoszenia klasy i, należy
sprawdzić czy system dysponuje wolnymi zasobami by
przyjąć do obsługi zgłoszenie klasy i:
Tak Planowane jest zdarzenie typu zakończenie obsługi zgłoszenia klasy i oraz zajmowane są zasoby systemu. Czas zakończenia obsługi zgłoszenia
określany jst za pomocą losowego rozkładu wykładniczego z intensywnością µi ,
Nie Planowane jest zdarzenie typu pojawienie się nowego zgłoszenia klasy i. Czas tego zgłoszenia
określany jest zgodnie ze wzorem (10).
Wykonując zdarzenie typu zakończenie obsługi
zgłoszenia klasy i należy zaplanować zdarzenie typu pojawienie się nowego zgłoszenia i zwolnić zasoby
systemu.
Podsumowując, w symulacji pojedynczego strumienia
Bernoullego dla każdego źródła tego strumienia planowane jest osobno zdarzenie typu pojawienie się nowego zgłoszenia. Zatem strumień pojedynczej klasy i
o rozkładzie Bernoullego ma zawsze Si zdarzeń typu
pojawienie się nowego zgłoszenia lub jego zakończenie.
Opisana metoda pozwala na badanie systemu, któremu oferowane jest wiele różnych strumieni zgłoszeń.
3.4. Symulowanie strumienia zgłoszeń Pascala
Rozważmy symulację wiązki, w której klasa i oferuje
strumień zgłoszeń o rozkładzie Pascala. W momencie
inicjacji symulacji należy dla klasy i dodać N zdarzeń
czasowych typu pojawienie się nowego zgłoszenia klasy i.
W procesie symulacji, wykonując takie zdarzenie typu
pojawienie się nowego zgłoszenia klasy i, należy
sprawdzić czy system dysponuje wolnymi zasobami by
przyjąć do obsługi kolejne zgłoszenie:
Tak System przyjmuje do obsługi nowe zgłoszenia,
planuje zdarzenia typu pojawienie się nowego
zgłoszenia oraz zakończenie obsługi zgłoszenia.
Następnie system dodaje nowe źródło zgłoszeń,
które powiązane jest z obsługiwanym właśnie
zgłoszeniem. Dla nowego źródła planowane jest
również zdarzenie typu pojawienie się nowego
zgłoszenia pochodzącego od nowo dodanego źródła,
Nie System odrzuca przychodzące zgłoszenie i planuje nowe zdarzenie typu pojawienie się nowego
zgłoszenia.
Jeśli w symulacji wykonywane jest zdarzenie typu zakończenie obsługi zgłoszenia klasy i, to zwalniane
są zasoby zajmowane przez zgłoszenie tej klasy. Następnie usuwane jest z symulacji źródło powiązane z
wykonanym zdarzeniem (źródło, które zostało dodane do systemu w momencie rozpoczęcia obsługi tego zgłoszenia) i zdarzenie typu pojawienie się nowego
zgłoszenia, które pochodzi od usuwanego źródła.
Podsumowując pojedyncza klasa ze strumieniem zgłoszeń Pascala może mieć maksymalnie N +2V zdarzeń.
4. Porównanie wyników i czasów trwania
symulacji
Badane systemy dysponowały pojemnością V = 50
PJP i obsługiwały 4 klasy zgłoszeń. Dla wszystkich
badanych systemów intensywności strumieni zgłoszeń poszczególnych klas podzielono według proporcji:
a1 z1 : a2 z2 : a3 z3 : a4 z4 = 1 : 1 : 1 : 1 i zgłoszenia
tych klas żądały odpowiednio z1 = 1, z2 = 3, z3 = 1,
Czas [ms]
1
0.5
0.2
0.1
0.05
0.02
0.01
0.005
0.002
0.001
0.0005
klasa 1, 3
klasa 2, 4
0.0002
0.0001
0.6
0.7
0.8
0.9
1
a
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
Rys. 5. Prawdopodobieństwo strat B(t) dla systemu,
któremu zaoferowano 4 Poissnowskie strumienie
zgłoszeń (V = 50, z1 = z3 = 1, z2 = z4 = 3,
a1 z1 : a2 z2 : a3 z3 : a4 z4 = 1 : 1 : 1 : 1)
z4 = 3. Nie-Poissonowskie strumienie wraz ze wzrostem liczby źródeł coraz bardziej przypominają strumienie Poissonowskie. Z tego względu pierwszy badany system obsługiwał tylko klasy, które oferowały Poissonowskie strumienie zgłoszeń. Rysunek 5 przedstawia zależność prawdopodobieństwa strat Bi (n) zgłoszeń klasy i od P
natężenia ruchu oferowanego jednostm
ce pasma a =
i=1 ai ti /V . Badania przeprowadzono dla a ∈ (0.6 ÷ 1.5) Erlanga. Na rysunkach 6 – 8
zamieszczono charakterystyki dla systemów, którym
oferowano 2 klasy o Poissonowskich strumieniach zgłoszeń i 2 o strumieniach zgłoszeń o rozkładzie Bernoullego. Badane systemu różnią się liczbą źródeł dla niePoissonowskich strumieni zgłoszeń. Na rysunkach 9 –
11 zamieszczono charakterystyki dla systemów, którym zaoferowano 2 klasy o Poissonowskich strumieniach zgłoszeń i 2 o strumieniach zgłoszeń o rozkładzie
Pascala.
Zamiana Poissonowskiego strumienia zgłoszeń na
strumień zgłoszeń o rozkładzie Bernoullego nie ma
znaczącego wpływu na wydłużenie procesu symulacji. Wzrost czasu trwania symulacji spowodowany jest
wydłużeniem się listy zdarzeń czasowych. Na rysunku 12 przedstawiono zależność czasu symulacji od ruchu oferowanego dla systemów obsługujących strumienie zgłoszeń Poissona i Bernoullego. Charakterystyki
tych systemów zostały przedstawione na rysunkach 6 –
8. Czasy te porównano z czasem symulacji dla systemu
obsługującego tylko Poissonowskie strumienie zgłoszeń (rysunek 6). Na rysunku 12 można zaobserwować, że wzrost czasu symulacji jest proporcjonalny do
wzrostu liczby źródeł zgłoszeń w nie-Poissonowskich
strumieniach zgłoszeń. Fakt ten można wytłumaczyć
tym, że wraz ze wzrostem liczby źródeł wzrasta średnia długość listy zdarzeń czasowych. Dodając do tej listy nowe zdarzenie, należy je umieścić tak, by lista była nadal posortowana względem czasów zdarzeń. Czas
przeszukiwania listy jest proporcjonalny do jej długości.
Czas [ms]
1
0.5
Czas [ms]
1
0.5
0.2
0.1
0.05
0.2
0.1
0.05
0.02
0.01
0.005
0.02
0.01
0.005
0.002
0.001
0.0005
0.002
0.001
0.0005
klasa 1
klasa 2
klasa 3
klasa 4
0.0002
0.0001
0.6
0.7
0.8
0.9
1
a
1.1
1.2
1.3
klasa 1
klasa 2
klasa 3
klasa 4
0.0002
0.0001
1.4
1.5
Rys. 6. Prawdopodobieństwo strat B(t) dla systemu,
któremu zaoferowano 2 Poissonowskie strumienie
zgłoszeń i 2 strumienie zgłoszeń o rozkładzie
Bernoullego (V = 50, z1 = z3 = 1, z2 = z4 = 3,
a1 z1 : a2 z2 : a3 z3 : a4 z4 = 1 : 1 : 1 : 1, S3 = 15,
S4 = 5)
0.6
Czas [ms]
1
0.5
0.2
0.1
0.05
0.2
0.1
0.05
0.02
0.01
0.005
0.02
0.01
0.005
0.002
0.001
0.0005
0.002
0.001
0.0005
0.0002
0.0001
0.6
0.7
0.8
0.9
1
a
1.1
1.2
1.3
0.8
0.9
1
a
1.1
1.5
Rys. 7. Prawdopodobieństwo strat B(t) dla systemu,
któremu zaoferowano 2 Poissonowskie strumienie
zgłoszeń i 2 strumienie zgłoszeń o rozkładzie
Bernoullego (V = 50, z1 = z3 = 1, z2 = z4 = 3,
a1 z1 : a2 z2 : a3 z3 : a4 z4 = 1 : 1 : 1 : 1, S3 = 45,
S4 = 15)
1.3
1.4
1.5
klasa 1
klasa 2
klasa 3
klasa 4
0.0002
0.0001
1.4
1.2
Rys. 8. Prawdopodobieństwo strat B(t) dla systemu,
któremu zaoferowano 2 Poissonowskie strumienie
zgłoszeń i 2 strumienie zgłoszeń o rozkładzie
Bernoullego (V = 50, z1 = z3 = 1, z2 = z4 = 3,
a1 z1 : a2 z2 : a3 z3 : a4 z4 = 1 : 1 : 1 : 1, S3 = 135,
S4 = 45)
Czas [ms]
1
0.5
klasa 1
klasa 2
klasa 3
klasa 4
0.7
0.6
0.7
0.8
0.9
1
a
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
Rys. 9. Prawdopodobieństwo strat B(t) dla systemu,
któremu zaoferowano 2 Poissonowskie strumienie
zgłoszeń i 2 strumienie zgłoszeń o rozkładzie Pascala
(V = 50, z1 = z3 = 1, z2 = z4 = 3,
a1 z1 : a2 z2 : a3 z3 : a4 z4 = 1 : 1 : 1 : 1, S3 = 15,
S4 = 5)
Czas [ms]
1
0.5
5. Podsumowanie
W artykule zaprezentowano sposób symulowania Poissonowskich i nie-Poissonowskich strumieni zgłoszeń za
pomocą metody planowania zdarzeń. Opisana metoda pozwala nie tylko na symulowanie dowolnych strumieni zgłoszeń lecz również na symulowanie dowolnych wiązek jak na przykład wiązka z ograniczoną dostępnością. Czas trwania symulacji zależy od długości
listy zdarzeń. Implementując bardziej zaawansowane
struktury danych do przechowywania zdarzeń można
zmniejszyć czasy symulacji.
0.2
0.1
0.05
0.02
0.01
0.005
0.002
0.001
0.0005
klasa 1
klasa 2
klasa 3
klasa 4
0.0002
0.0001
0.6
0.7
0.8
0.9
1
a
1.1
1.2
1.3
Literatura
1.4
1.5
Rys. 10. Prawdopodobieństwo strat B(t) dla
systemu, któremu zaoferowano 2 Poissonowskie
strumienie zgłoszeń i 2 strumienie zgłoszeń o
rozkładzie Pascala (V = 50, z1 = z3 = 1, z2 = z4 = 3,
a1 z1 : a2 z2 : a3 z3 : a4 z4 = 1 : 1 : 1 : 1, S3 = 45,
S4 = 15)
Czas [ms]
1
0.5
0.02
0.01
0.005
0.002
0.001
0.0005
klasa 1
klasa 2
klasa 3
klasa 4
0.0002
0.0001
0.7
0.8
0.9
1
a
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
Rys. 11. Prawdopodobieństwo strat B(t) dla
systemu, któremu zaoferowano 2 Poissonowskie
strumienie zgłoszeń i 2 strumienie zgłoszeń o
rozkładzie Pascala (V = 50, z1 = z3 = 1, z2 = z4 = 3,
a1 z1 : a2 z2 : a3 z3 : a4 z4 = 1 : 1 : 1 : 1, S3 = 135,
S4 = 45)
Czas [ms]
2000
1500
1000
500
System z rysunku nr 5
System z rysunku nr 6
System z rysunku nr 7
System z rysunku nr 8
0
0.6
[2] J.W. Roberts, redaktor. Performance Evaluation and
Design of Multiservice Networks, Final Report COST
224. Commission of the European Communities, Brussels, Holland, 1992.
[3] J.W. Roberts, V. Mocci, I. Virtamo, redaktorzy. Broadband Network Teletraffic, Final Report of Action
COST 242. Commission of the European Communities, Springer, Berlin, 1996.
[4] Maciej Stasiak. Efektywna dostępność w zagadnieniach
modelowania pól komutacyjnych. Wydawnictwo Politechniki Poznańskiej, 2005.
0.2
0.1
0.05
0.6
[1] N. Metropolis, S. Ulam. The Monte Carlo method.
Journal American Statistical Association, (247):335–
341, 1949.
0.7
0.8
0.9
1
1.1
a
1.2
1.3
1.4
Rys. 12. Zależność czasu symulacji od ruchu
oferowanego a dla różnych systemów
1.5