Zadania na Zaj¦cia Wyrównawcze z Matematyki Zestaw nr 2

Zadania na Zaj¦cia Wyrównawcze z Matematyki
Zestaw nr 2
1. Rozwi¡» nierówno±ci:
x
2 > exp x,
ex
√ >
2
x
1
,
2
2 < |e2x − 3| < 3,
exp (−x) ≤ x5 + 1
2. Rozwi¡» równania:
7x−5 = 95−x ,
√
ln x2 − 1 = 1,
ln 1 −
√
1
x−1 =− ,
2
logx 5 = log5 x
3. Rozwi¡» nierówno±¢:
|x| + 1 > |x − 1|
4. Rozwi¡» nierówno±¢:
x2 (3x − 1)(x + 3)(3 − x)(1 + 3x) ≥ 0
5. Rozwi¡» w zale»no±ci od warto±ci parametru p nierówno±¢:
1
≥ 4px
2
x2 + p +
6. Jak¡ gur¦ geometryczn¡ wyznacza na pªaszczy¹nie x − y ukªad nierówno±ci:
2x + y ≤ 4,
x+4
≥ y, y ≥ −1 .
2
Czy punkt o wspóªrz¦dnych (1, 1) nale»y do tej gury? Podaj wsp. jej wierzchoªków.
7. Narysuj zbiór wyznaczony na pªaszczy¹nie nierówno±ciami:
|x + y| > x − y,
|x| + |y| ≤ 1
8. Rozwi¡» nierówno±¢ wymiern¡:
(x + 1)2 − x2
< −1
x(2x + 1)
9. Znajd¹ x speªniaj¡cy równanie:
10. Rozwi¡» równanie:
ex − e−x = 1.
√
Projekt Wiedza i kompetencje z zyki, chemii
i informatyki na potrzeby gospodarki - Wiking
x + 7 + 1 = 2x
Projekt jest wspóªnansowany z Europejskiego Funduszu Spoªecznego
w ramach programu operacyjnego KAPITAŠ LUDZKI
Poddziaªanie 4.1.1 Wzmocnienie potencjaªu dydaktycznego uczelni
Zadania domowe
1. Poka», »e dla a > 0, b > 0 zachodzi:
a+b √
≥ ab
2
2. Sprawd¹, czy poni»sze wyra»enie jest prawdziwe:
exp π > π e
3. Jaki zbiór wyznacza na pªaszczy¹nie nierówno±¢:
x2 − 2x > 3 − y 2 .
Które z punktów: (x = −1, y = 0), (x = 1, y = −2), (x = 3, y = 3) nale»¡ do tego zbioru?
4. Znajd¹ wszystkie rozwi¡zania równania:
x2 + y 2 − 2x = 7
b¦d¡ce parami liczb caªkowitych.
5. Rozwi¡» ukªady nierówno±ci:
a)
|x| + |y| ≤ 1,
y ≥ 1 + x,
y ≥1−x
b)
|x| + |y| ≤ 1,
1 ≤ |x| + y
6. Wyznacz najmniejsz¡ i najwi¦ksz¡ warto±¢ x (y ) w zbiorze zdeniowanym na pªaszczy¹nie
nierówno±ciami:
y ≥ x2 − 4,
y ≤ 2x − x2
7. Dla jakich warto±ci parametrów, poni»sze nierówno±ci s¡ prawdziwe dla ka»dego x:
x2 + px + q ≤ 0,
8. Wyznacz x z równania:
ax2 + bx + c ≥ 0
log2 x7 = 8 + ln x.
Projekt Wiedza i kompetencje z zyki, chemii
i informatyki na potrzeby gospodarki - Wiking
Projekt jest wspóªnansowany z Europejskiego Funduszu Spoªecznego
w ramach programu operacyjnego KAPITAŠ LUDZKI
Poddziaªanie 4.1.1 Wzmocnienie potencjaªu dydaktycznego uczelni